Номер 8, страница 118, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Дорофеев, Миракова

8 1) Могут ли диагонали прямоугольника разбить его на 4 равных треугольника? Если могут, то при каком условии?

2) Могут ли диаметры окружности разбить её на 4 равные части? Если могут, то при каком условии?

1) Да, диагонали прямоугольника могут разбить его на 4 равных треугольника. Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ с диагоналями $AC$ и $BD$, пересекающимися в точке $O$.

Диагонали любого прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO = BO = CO = DO$. Это означает, что все четыре треугольника, на которые диагонали делят прямоугольник ($ΔAOB$, $ΔBOC$, $ΔCOD$ и $ΔDOA$), являются равнобедренными. При этом противолежащие треугольники равны между собой (например, $ΔAOB = ΔCOD$ по трем сторонам, так как $AO=CO$, $BO=DO$ и $AB=CD$).

Чтобы все четыре треугольника были равны, необходимо, чтобы были равны и смежные треугольники, например, $ΔAOB$ и $ΔBOC$. Сравним их стороны: у них есть общая сторона $BO$, и стороны $AO$ и $CO$ равны. Для того чтобы эти треугольники были равны по третьему признаку (по трем сторонам), необходимо равенство их третьих сторон: $AB = BC$.

Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, является квадратом. В этом случае диагонали будут не только равны, но и перпендикулярны, и все четыре образовавшихся треугольника будут равными равнобедренными прямоугольными треугольниками.

Ответ: да, могут, при условии, что этот прямоугольник является квадратом.

2) Да, диаметры окружности могут разбить её на 4 равные части. Для этого необходимо провести два диаметра.

Два диаметра, пересекаясь в центре окружности, разделяют круг на четыре сектора. Площадь сектора прямо пропорциональна его центральному углу. Чтобы все четыре части (сектора) были равны по площади, их центральные углы также должны быть равны.

Полный угол вокруг центра окружности составляет $360^\circ$. Если разделить его на четыре равные части, то величина каждого центрального угла будет $360^\circ / 4 = 90^\circ$.

Таким образом, для разделения круга на четыре равные части необходимо, чтобы угол между двумя проведенными диаметрами был прямым, то есть диаметры должны быть взаимно перпендикулярны.

Ответ: да, могут, при условии, что эти диаметры взаимно перпендикулярны.