Страница 103, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

6 Вычисли значения выражений.

$63\,000 - (36\,000 - 12\,000) : 4$     $63\,000 - 36\,000 - 12\,000 : 4$

$(24\,000 + 16\,000) \cdot 2 - 18\,000$     $24\,000 + 16\,000 \cdot 2 - 18\,000$

$15\,000 \cdot 3 - 28\,000 : 7$     $15\,000 \cdot 3 + 28\,000 : 7$

63 000 - (36 000 - 12 000) : 4
Для вычисления значения выражения следуем порядку действий. Сначала выполняем действие в скобках, затем деление, и в последнюю очередь — вычитание.
1. Вычитание в скобках: $36 000 - 12 000 = 24 000$
2. Деление результата первого действия на 4: $24 000 : 4 = 6 000$
3. Вычитание из 63 000 результата второго действия: $63 000 - 6 000 = 57 000$
Ответ: 57 000

(24 000 + 16 000) ⋅ 2 - 18 000
Сначала выполняем сложение в скобках, затем умножение, и в конце — вычитание.
1. Сложение в скобках: $24 000 + 16 000 = 40 000$
2. Умножение результата первого действия на 2: $40 000 \cdot 2 = 80 000$
3. Вычитание 18 000 из результата второго действия: $80 000 - 18 000 = 62 000$
Ответ: 62 000

15 000 ⋅ 3 - 28 000 : 7
В этом выражении нет скобок. Сначала выполняются умножение и деление (слева направо), а затем вычитание.
1. Умножение: $15 000 \cdot 3 = 45 000$
2. Деление: $28 000 : 7 = 4 000$
3. Вычитание результата второго действия из результата первого: $45 000 - 4 000 = 41 000$
Ответ: 41 000

63 000 - 36 000 - 12 000 : 4
В выражении без скобок первым действием выполняется деление, а затем вычитание по порядку слева направо.
1. Деление: $12 000 : 4 = 3 000$
2. Первое вычитание: $63 000 - 36 000 = 27 000$
3. Второе вычитание: $27 000 - 3 000 = 24 000$
Ответ: 24 000

24 000 + 16 000 ⋅ 2 - 18 000
Сначала выполняется умножение, а затем сложение и вычитание в порядке их следования.
1. Умножение: $16 000 \cdot 2 = 32 000$
2. Сложение: $24 000 + 32 000 = 56 000$
3. Вычитание: $56 000 - 18 000 = 38 000$
Ответ: 38 000

15 000 ⋅ 3 + 28 000 : 7
Сначала выполняем умножение и деление, а затем сложение.
1. Умножение: $15 000 \cdot 3 = 45 000$
2. Деление: $28 000 : 7 = 4 000$
3. Сложение результатов: $45 000 + 4 000 = 49 000$
Ответ: 49 000

7 Вычисли в квадратных сантиметрах площадь треугольника FDK.

Образец.

Чтобы найти площадь треугольника АВС, мысленно достроим треугольник АВС до прямоугольника (см. рис. 1).

Так как диагональ АВ делит прямоугольник на два равных треугольника, то площадь треугольника АВС будет в 2 раза меньше площади полученного прямоугольника, т. е. $(3 \cdot 2) : 2 = 3$ ($ \text{см}^2 $).

Вычисление площади треугольника FDK

Для того чтобы найти площадь треугольника FDK, воспользуемся стандартной формулой для вычисления площади треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$, где $b$ – это длина основания треугольника, а $h$ – это высота, проведенная к этому основанию.

В качестве основания $b$ возьмем сторону FK. Посчитаем ее длину по клеткам на рисунке. Длина стороны FK составляет 6 клеток. Будем считать, что сторона одной клетки равна 1 см. Таким образом, длина основания $b = 6$ см.

Высота $h$ – это перпендикуляр, опущенный из вершины D на прямую, содержащую основание FK. Из рисунка видно, что высота треугольника равна 3 клеткам, следовательно, $h = 3$ см.

Теперь подставим найденные значения в формулу площади:
$S_{FDK} = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 3 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 9 \text{ см}^2$.

Ответ: 9 см².

8 Из 3 кг сырых зёрен кофе получают 2 кг 500 г жареных зёрен. Сколько жареных зёрен кофе получится из 9 кг сырых зёрен? Ответ вырази в килограммах и граммах.

Для решения этой задачи можно использовать метод пропорционального увеличения. Сначала определим, во сколько раз увеличилось количество сырых зёрен.

1) Узнаем, во сколько раз 9 кг больше, чем 3 кг:

$9 \text{ кг} \div 3 \text{ кг} = 3$ (раза)

Количество сырых зёрен увеличилось в 3 раза. Следовательно, количество жареных зёрен, полученных из этого сырья, также увеличится в 3 раза.

2) Умножим массу жареных зёрен, получаемых из 3 кг сырья, на 3:

$(2 \text{ кг } 500 \text{ г}) \times 3$

Для удобства вычислений можно умножить килограммы и граммы по отдельности:

$2 \text{ кг} \times 3 = 6 \text{ кг}$

$500 \text{ г} \times 3 = 1500 \text{ г}$

Получилось 6 кг 1500 г.

3) Переведем 1500 г в килограммы и граммы. Поскольку 1 кг = 1000 г, то:

$1500 \text{ г} = 1000 \text{ г} + 500 \text{ г} = 1 \text{ кг } 500 \text{ г}$

4) Сложим полученные значения:

$6 \text{ кг} + 1 \text{ кг } 500 \text{ г} = 7 \text{ кг } 500 \text{ г}$

Таким образом, из 9 кг сырых зёрен получится 7 кг 500 г жареных.

Ответ: 7 кг 500 г.

9 Ширина прямоугольного участка земли $9 \text{ м}$, а его площадь $243 \text{ м}^2$. Найди длину этого участка. Хватит ли $100 \text{ м}$ сетки-рабицы для того, чтобы огородить этот участок со всех сторон? Останется ли ещё сетка? Если да, то сколько метров?

Найди длину этого участка.
Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина.
По условию задачи, площадь участка $S = 243$ м², а его ширина $b = 9$ м.
Чтобы найти длину участка $a$, нужно его площадь разделить на ширину:
$a = S / b = 243 / 9 = 27$ м.
Ответ: длина этого участка 27 метров.

Хватит ли 100 м сетки-рабицы для того, чтобы огородить этот участок со всех сторон? Останется ли ещё сетка? Если да, то сколько метров?
Чтобы определить, хватит ли сетки, нужно найти периметр ($P$) участка. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$.
Подставим известные значения длины ($a = 27$ м) и ширины ($b = 9$ м):
$P = 2 \cdot (27 + 9) = 2 \cdot 36 = 72$ м.
Для ограждения всего участка требуется 72 метра сетки. В наличии есть 100 метров.
Сравниваем необходимое количество с имеющимся: $72 \text{ м} < 100 \text{ м}$.
Так как 72 меньше 100, то 100 метров сетки хватит, чтобы огородить участок.
Теперь найдем остаток сетки. Для этого вычтем из общего количества сетки длину периметра:
$100 - 72 = 28$ м.
Ответ: да, 100 метров сетки-рабицы хватит. Останется 28 метров сетки.

10 (Старинная задача.)

У продавца шесть корзин. В одних корзинах лежат только куриные яйца, а в других – утиные. В первой корзине 5 яиц, во второй – 6 яиц, в третьей – 12 яиц, в четвёртой – 14 яиц, в пятой – 23 яйца, а в шестой – 29 яиц. «Если я продам яйца вот из этой корзины, – размышляет продавец, – то у меня останется куриных яиц в 2 раза больше, чем утиных». Какую корзину имел в виду продавец?

Для решения этой задачи обозначим количество куриных яиц как $К$, а утиных — как $У$. Согласно условию, после продажи одной из корзин, количество оставшихся куриных яиц будет в два раза больше, чем утиных. Математически это можно записать так:

$К_{ост} = 2 \cdot У_{ост}$

Это означает, что общее количество оставшихся яиц ($К_{ост} + У_{ост}$) должно быть кратно трем, так как $К_{ост} + У_{ост} = 2 \cdot У_{ост} + У_{ост} = 3 \cdot У_{ост}$.

1. Найдем общее количество яиц во всех корзинах.

$5 + 6 + 12 + 14 + 23 + 29 = 89$ яиц.

2. Проверим, какая корзина была продана.

Мы будем поочередно "продавать" каждую корзину, вычитая количество яиц в ней из общей суммы (89), и проверять, делится ли остаток на 3.

• Если продать корзину с 5 яйцами: $89 - 5 = 84$. $84$ делится на 3 ($84 : 3 = 28$). Это возможный вариант.
• Если продать корзину с 6 яйцами: $89 - 6 = 83$. $83$ не делится на 3.
• Если продать корзину с 12 яйцами: $89 - 12 = 77$. $77$ не делится на 3.
• Если продать корзину с 14 яйцами: $89 - 14 = 75$. $75$ делится на 3 ($75 : 3 = 25$). Это возможный вариант.
• Если продать корзину с 23 яйцами: $89 - 23 = 66$. $66$ делится на 3 ($66 : 3 = 22$). Это возможный вариант.
• Если продать корзину с 29 яйцами: $89 - 29 = 60$. $60$ делится на 3 ($60 : 3 = 20$). Это возможный вариант.

3. Проанализируем возможные варианты.

У нас есть несколько вариантов, где оставшееся количество яиц делится на 3. Теперь нужно проверить, можно ли из оставшихся корзин составить необходимое количество утиных яиц ($У_{ост} = \frac{Общий \ остаток}{3}$).

• Вариант 1 (продали 5 яиц): Осталось 84 яйца. Утиных должно быть $84 : 3 = 28$. Оставшиеся корзины: 6, 12, 14, 23, 29. Невозможно составить число 28 из этих чисел.
• Вариант 2 (продали 14 яиц): Осталось 75 яиц. Утиных должно быть $75 : 3 = 25$. Оставшиеся корзины: 5, 6, 12, 23, 29. Невозможно составить число 25 из этих чисел.
• Вариант 3 (продали 23 яйца): Осталось 66 яиц. Утиных должно быть $66 : 3 = 22$. Оставшиеся корзины: 5, 6, 12, 14, 29. Невозможно составить число 22 из этих чисел.
• Вариант 4 (продали 29 яиц): Осталось 60 яиц. Утиных должно быть $60 : 3 = 20$. Оставшиеся корзины: 5, 6, 12, 14, 23. Из этих чисел можно составить 20, сложив яйца из двух корзин: $6 + 14 = 20$.

4. Проверка решения.

Итак, продавец продал корзину с 29 яйцами.

• Корзины с утиными яйцами — те, в которых 6 и 14 яиц. Всего утиных яиц: $6 + 14 = 20$.
• Оставшиеся корзины (5, 12, 23) содержат куриные яйца. Всего куриных яиц: $5 + 12 + 23 = 40$.

Проверяем основное условие: $40 = 2 \cdot 20$. Условие выполняется.

Следовательно, продавец имел в виду корзину с 29 яйцами.

Ответ: Продавец имел в виду корзину, в которой было 29 яиц.

9 Бригада рабочих должна изготовить за день 630 деталей. После 2 ч работы им осталось изготовить 420 деталей. За сколько часов эта бригада изготовит все детали при той же норме выработки за час?

Для решения задачи необходимо сначала определить производительность бригады, а затем рассчитать общее время, необходимое для изготовления всех деталей.

1. Сначала найдем, сколько деталей бригада изготовила за 2 часа. Для этого из общего плана вычтем количество деталей, которое осталось изготовить:

$630 - 420 = 210$ (деталей)

2. Теперь определим норму выработки (производительность) бригады в час. Для этого разделим количество изготовленных деталей на время, потраченное на их изготовление:

$210 \text{ деталей} \div 2 \text{ часа} = 105$ (деталей/час)

3. Зная, что бригада изготавливает 105 деталей в час, найдем, сколько времени потребуется для изготовления всех 630 деталей. Для этого общее количество деталей разделим на часовую норму выработки:

$630 \text{ деталей} \div 105 \text{ деталей/час} = 6$ (часов)

Ответ: 6 часов.

10 Расстояние от пункта А до пункта В равно $6 \text{ км}$, а от пункта В до пункта С вдвое больше. Может ли расстояние между пунктами А и С быть равным: $18 \text{ км}$? $6 \text{ км}$? $10 \text{ км}$? $4 \text{ км}$? $19 \text{ км}$?

Для решения этой задачи сначала определим все известные расстояния.
Расстояние от пункта А до пункта В, обозначим его как $d(A, B)$, по условию равно 6 км.
Расстояние от пункта В до пункта С, $d(B, C)$, вдвое больше, чем $d(A, B)$. Вычислим его:
$d(B, C) = 2 \cdot d(A, B) = 2 \cdot 6 = 12$ км.

Расстояние между пунктами А и С, $d(A, C)$, зависит от того, как расположены эти три точки относительно друг друга. Рассмотрим все возможные случаи, основанные на неравенстве треугольника, которое гласит, что длина любой стороны треугольника (или расстояние между двумя точками) всегда меньше или равна сумме длин двух других сторон.

1. Максимальное расстояние.
Максимальное расстояние между А и С будет, если все три точки лежат на одной прямой и точка В находится между А и С.
A ----- B ----- C
В этом случае $d(A, C) = d(A, B) + d(B, C) = 6 \text{ км} + 12 \text{ км} = 18 \text{ км}$.

2. Минимальное расстояние.
Минимальное расстояние будет, если все три точки лежат на одной прямой и точка А находится между В и С.
B ----- A ----- C
В этом случае $d(A, C) = d(B, C) - d(A, B) = 12 \text{ км} - 6 \text{ км} = 6 \text{ км}$.

3. Промежуточные расстояния.
Если точки А, В и С не лежат на одной прямой, они образуют треугольник со сторонами $d(A, B) = 6$ км, $d(B, C) = 12$ км и $d(A, C)$. Согласно неравенству треугольника, расстояние $d(A, C)$ должно быть строго больше разности и строго меньше суммы двух других расстояний:
$d(B, C) - d(A, B) < d(A, C) < d(B, C) + d(A, B)$
$12 - 6 < d(A, C) < 12 + 6$
$6 \text{ км} < d(A, C) < 18 \text{ км}$.

Объединяя все случаи, мы видим, что расстояние между пунктами А и С может принимать любое значение в диапазоне от 6 км до 18 км включительно.
Теперь проанализируем предложенные варианты.

18 км?

Да, может. Это максимальное возможное расстояние, которое достигается, когда точки лежат на одной прямой в последовательности А-В-С. Ответ: Да.

6 км?

Да, может. Это минимальное возможное расстояние, которое достигается, когда точки лежат на одной прямой в последовательности В-А-С. Ответ: Да.

10 км?

Да, может. Это значение находится в диапазоне возможных расстояний ($6 \le 10 \le 18$). Такой случай возможен, если точки А, В и С образуют треугольник. Ответ: Да.

4 км?

Нет, не может. Минимально возможное расстояние между А и С равно 6 км. Значение 4 км меньше минимально возможного. Ответ: Нет.

19 км?

Нет, не может. Максимально возможное расстояние между А и С равно 18 км. Значение 19 км превышает максимально возможное. Ответ: Нет.