Страница 110, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

1) Объясни, чем похожи и чем различаются числа в каждом столбике.

$2002$

$20002$

$9754$

$9574$

$60008$

$600008$

$350053$

$530053$

2) Сравни числа каждого столбика.

1) Объясни, чем похожи и чем различаются числа в каждом столбике.

Первый столбик: 2 002 и 20 002

Сходства: числа записаны с использованием одинаковых цифр (2 и 0); оба числа оканчиваются на 2, а три последние цифры у них одинаковые (002).

Различия: у чисел разное количество разрядов (цифр). Число 2 002 является четырехзначным, а число 20 002 — пятизначным. Из-за этого значения чисел сильно отличаются.

Второй столбик: 9 754 и 9 574

Сходства: оба числа являются четырехзначными; они записаны с использованием одного и того же набора цифр (9, 7, 5, 4); у них совпадает цифра в разряде тысяч (9) и в разряде единиц (4).

Различия: в числах переставлены местами цифры, стоящие в разрядах сотен и десятков. В первом числе 7 сотен и 5 десятков, а во втором — 5 сотен и 7 десятков.

Третий столбик: 60 008 и 600 008

Сходства: числа записаны с использованием одинаковых цифр (6, 0, 8); оба числа оканчиваются на 8, а четыре последние цифры у них одинаковые (0008).

Различия: у чисел разное количество разрядов. Число 60 008 — пятизначное, а 600 008 — шестизначное.

Четвертый столбик: 350 053 и 530 053

Сходства: оба числа являются шестизначными; у них одинаковый класс единиц, то есть последние три цифры (053) совпадают.

Различия: у чисел разный класс тысяч (первые три цифры). В первом числе 350 тысяч, а во втором — 530 тысяч. Это различие возникло из-за того, что цифры 3 и 5 поменялись местами в старших разрядах (сотни тысяч и десятки тысяч).

2) Сравни числа каждого столбика.

При сравнении чисел сначала нужно посмотреть на количество цифр в них. То число больше, в котором больше цифр. Если количество цифр одинаковое, нужно сравнивать их поразрядно слева направо, начиная со старшего разряда.

Первый столбик:

Число 2 002 — четырехзначное, а число 20 002 — пятизначное. Число, в котором больше цифр, всегда больше.

Ответ: $2 \ 002 < 20 \ 002$

Второй столбик:

Оба числа четырехзначные. Сравниваем цифры в разрядах слева направо. Цифры в разряде тысяч совпадают (9). Переходим к разряду сотен: в первом числе 7 сотен, во втором — 5 сотен. Так как $7 > 5$, то первое число больше второго.

Ответ: $9 \ 754 > 9 \ 574$

Третий столбик:

Число 60 008 — пятизначное, а число 600 008 — шестизначное. Число с большим количеством цифр больше.

Ответ: $60 \ 008 < 600 \ 008$

Четвертый столбик:

Оба числа шестизначные. Сравниваем цифры в старшем разряде (сотни тысяч). В первом числе это 3, а во втором — 5. Так как $3 < 5$, то первое число меньше второго.

Ответ: $350 \ 053 < 530 \ 053$

2 Прочитай числа, записанные в таблице.

Для того чтобы прочитать числа, записанные в таблице, необходимо последовательно рассмотреть каждую строку. Каждая колонка в таблице соответствует определённому разряду числа (единицы, десятки, сотни, единицы тысяч и т.д.). Пустые ячейки означают, что в данном разряде стоит цифра 0.

Первое число (строка 1)

В таблице указана цифра 5 в разряде "Единицы". Остальные разряды (десятки, сотни, тысячи и т.д.) не заполнены, что соответствует нулям. Таким образом, число состоит только из 5 единиц.

Ответ: 5 (пять).

Второе число (строка 2)

Цифра 5 находится в разряде "Десятки", а в разряде "Единицы" стоит 0. Число состоит из 5 десятков и 0 единиц. Записывается как $5 \times 10 + 0 \times 1 = 50$.

Ответ: 50 (пятьдесят).

Третье число (строка 3)

Цифра 5 находится в разряде "Сотни". В разрядах "Десятки" и "Единицы" стоят нули. Число состоит из 5 сотен, 0 десятков и 0 единиц. Записывается как $5 \times 100 + 0 \times 10 + 0 \times 1 = 500$.

Ответ: 500 (пятьсот).

Четвертое число (строка 4)

Цифра 5 находится в разряде "Единицы тысяч". В разрядах "Сотни", "Десятки" и "Единицы" стоят нули. Число состоит из 5 единиц тысяч. Записывается как $5 \times 1000 = 5000$.

Ответ: 5 000 (пять тысяч).

Пятое число (строка 5)

Цифра 5 находится в разряде "Десятки тысяч". В разрядах "Единицы тысяч", "Сотни", "Десятки" и "Единицы" стоят нули. Число состоит из 5 десятков тысяч. Записывается как $5 \times 10000 = 50000$.

Ответ: 50 000 (пятьдесят тысяч).

Шестое число (строка 6)

Цифра 5 находится в разряде "Сотни тысяч". Все последующие разряды ("Десятки тысяч", "Единицы тысяч", "Сотни", "Десятки", "Единицы") равны нулю. Число состоит из 5 сотен тысяч. Записывается как $5 \times 100000 = 500000$.

Ответ: 500 000 (пятьсот тысяч).

3 На каком месте в числе, считая справа налево, пишутся простые единицы, десятки, сотни, единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч?

В десятичной системе счисления позиция цифры в числе, считая справа налево, определяет её разряд. Каждый разряд имеет свое название и соответствует определенной степени числа 10.

простые единицы пишутся на первом месте, считая справа налево. Это разряд единиц, который соответствует значению $10^0 = 1$. Например, в числе 123 456 цифра 6 находится в разряде простых единиц. Ответ: на первом месте.

десятки пишутся на втором месте, считая справа налево. Это разряд десятков, который соответствует значению $10^1 = 10$. Например, в числе 123 456 цифра 5 находится в разряде десятков. Ответ: на втором месте.

сотни пишутся на третьем месте, считая справа налево. Это разряд сотен, который соответствует значению $10^2 = 100$. Например, в числе 123 456 цифра 4 находится в разряде сотен. Ответ: на третьем месте.

единицы тысяч пишутся на четвертом месте, считая справа налево. Это разряд единиц тысяч, который соответствует значению $10^3 = 1000$. Например, в числе 123 456 цифра 3 находится в разряде единиц тысяч. Ответ: на четвертом месте.

десятки тысяч пишутся на пятом месте, считая справа налево. Это разряд десятков тысяч, который соответствует значению $10^4 = 10000$. Например, в числе 123 456 цифра 2 находится в разряде десятков тысяч. Ответ: на пятом месте.

сотни тысяч пишутся на шестом месте, считая справа налево. Это разряд сотен тысяч, который соответствует значению $10^5 = 100000$. Например, в числе 123 456 цифра 1 находится в разряде сотен тысяч. Ответ: на шестом месте.

1 Определи, не вычисляя, сколько цифр будет в частном.

$6346 \div 38$

$175700 \div 35$

$24905 \div 293$

$146718 \div 702$

Выполни вычисления.

6 346 : 38

Чтобы определить количество цифр в частном, не выполняя деления, нужно найти первое неполное делимое. Делитель 38 — двузначное число, поэтому смотрим на первые две цифры делимого 6 346 — это 63. Так как $63 > 38$, то первое неполное делимое — 63. Оно даст первую цифру в частном. После 63 в делимом остаются ещё две цифры (4 и 6). Каждая из них даст ещё по одной цифре в частном. Таким образом, в частном будет $1 + 2 = 3$ цифры.
Выполним вычисление: $6346 : 38 = 167$.
Ответ: в частном 3 цифры; 167.

175 700 : 35

Делитель 35 — двузначное число. Смотрим на первые две цифры делимого 175 700 — это 17. Так как $17 < 35$, то двух цифр недостаточно. Берём три цифры — 175. Первое неполное делимое — 175. Оно даст первую цифру в частном. После 175 в делимом остаются ещё три цифры (7, 0 и 0). Значит, в частном будет ещё три цифры. Всего в частном будет $1 + 3 = 4$ цифры.
Выполним вычисление: $175700 : 35 = 5020$.
Ответ: в частном 4 цифры; 5020.

24 905 : 293

Делитель 293 — трёхзначное число. Смотрим на первые три цифры делимого 24 905 — это 249. Так как $249 < 293$, то трёх цифр недостаточно. Берём четыре цифры — 2490. Первое неполное делимое — 2490. Оно даст первую цифру в частном. После 2490 в делимом остаётся ещё одна цифра (5). Значит, в частном будет ещё одна цифра. Всего в частном будет $1 + 1 = 2$ цифры.
Выполним вычисление: $24905 : 293 = 85$.
Ответ: в частном 2 цифры; 85.

146 718 : 702

Делитель 702 — трёхзначное число. Смотрим на первые три цифры делимого 146 718 — это 146. Так как $146 < 702$, то трёх цифр недостаточно. Берём четыре цифры — 1467. Первое неполное делимое — 1467. Оно даст первую цифру в частном. После 1467 в делимом остаются ещё две цифры (1 и 8). Значит, в частном будет ещё две цифры. Всего в частном будет $1 + 2 = 3$ цифры.
Выполним вычисление: $146718 : 702 = 209$.
Ответ: в частном 3 цифры; 209.

2 Выполни деление с остатком. Сделай проверку.

$2063 : 195$

$17190 : 483$

$600117 : 542$

2 063 : 195

1. Деление:

Чтобы разделить $2063$ на $195$, сначала определим, сколько раз $195$ помещается в $206$. Это $1$ раз.

$1 \times 195 = 195$

Вычитаем из $206$: $206 - 195 = 11$.

Сносим следующую цифру $3$, получаем число $113$.

Число $113$ меньше, чем $195$, поэтому в частное записываем $0$.

Таким образом, неполное частное равно $10$, а остаток равен $113$.

2. Проверка:

Чтобы проверить результат, умножим неполное частное на делитель и прибавим остаток. Результат должен быть равен делимому.

$(10 \times 195) + 113 = 1950 + 113 = 2063$

Поскольку $2063 = 2063$, деление выполнено верно.

Ответ: $10$ (ост. $113$).

17 190 : 483

1. Деление:

Начнем деление $17190$ на $483$. Возьмем первые три цифры делимого, $171$, это меньше, чем $483$. Возьмем четыре цифры, $1719$.

Подберем, сколько раз $483$ помещается в $1719$. Попробуем $3$: $483 \times 3 = 1449$.

Вычитаем: $1719 - 1449 = 270$.

Сносим следующую цифру $0$, получаем число $2700$.

Подберем, сколько раз $483$ помещается в $2700$. Попробуем $5$: $483 \times 5 = 2415$.

Вычитаем: $2700 - 2415 = 285$.

Неполное частное равно $35$, а остаток $285$.

2. Проверка:

$(35 \times 483) + 285 = 16905 + 285 = 17190$

Поскольку $17190 = 17190$, деление выполнено верно.

Ответ: $35$ (ост. $285$).

600 117 : 542

1. Деление:

Начнем деление $600117$ на $542$. Первое неполное делимое - $600$.

$600 : 542 = 1$. Вычитаем: $600 - 542 = 58$.

Сносим $1$, получаем $581$. $581 : 542 = 1$. Вычитаем: $581 - 542 = 39$.

Сносим $1$, получаем $391$. $391 < 542$, поэтому в частное пишем $0$.

Сносим $7$, получаем $3917$. Подберем число: $542 \times 7 = 3794$.

Вычитаем: $3917 - 3794 = 123$.

Неполное частное равно $1107$, а остаток $123$.

2. Проверка:

$(1107 \times 542) + 123 = 599994 + 123 = 600117$

Поскольку $600117 = 600117$, деление выполнено верно.

Ответ: $1107$ (ост. $123$).

3 Дополни таблицу и реши задачу.

Два товарных поезда шли с одинаковой скоростью. Первый поезд был в пути 4 ч, а второй — 7 ч. Второй поезд прошёл на 138 км больше, чем первый. Какое расстояние прошёл каждый поезд?

Скорость | Время | Расстояние

? | 4 ч | ?

? | 7 ч | ?, на 138 км больше

Одинаковая

Заполненная таблица:

Решение задачи:

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем разницу во времени, в течение которого поезда были в пути. Это поможет нам понять, за какое время образовалась разница в расстоянии.

   $7 \text{ ч} - 4 \text{ ч} = 3 \text{ ч}$

   Это означает, что второй поезд был в пути на 3 часа дольше, чем первый.

2. За эти 3 часа второй поезд прошел на 138 км больше. Поскольку их скорости были одинаковыми, мы можем найти эту скорость, разделив разницу в расстоянии на разницу во времени.

   $138 \text{ км} : 3 \text{ ч} = 46 \text{ км/ч}$

   Это скорость каждого поезда.

3. Теперь, зная скорость и время в пути первого поезда, найдем расстояние, которое он прошел. Для этого умножим скорость на время.

   $46 \text{ км/ч} * 4 \text{ ч} = 184 \text{ км}$

   Ответ: первый поезд прошёл 184 км.

4. Аналогично найдем расстояние, которое прошел второй поезд, умножив его скорость на его время в пути.

   $46 \text{ км/ч} * 7 \text{ ч} = 322 \text{ км}$

   Для проверки: $184 \text{ км} + 138 \text{ км} = 322 \text{ км}$. Результаты совпадают, значит, задача решена верно.

   Ответ: второй поезд прошёл 322 км.

4. Вырази в килограммах: $2 \text{ т } 7 \text{ кг}$; $6 \text{ ц } 50 \text{ кг}$; $1 \text{ т } 2 \text{ ц } 30 \text{ кг}$.

Для решения этой задачи необходимо знать следующие соотношения единиц массы:
В 1 тонне (т) содержится 1000 килограммов (кг).
$1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$
В 1 центнере (ц) содержится 100 килограммов (кг).
$1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$

2 т 7 кг
Сначала переведем тонны в килограммы. Для этого умножим количество тонн на 1000:
$2 \text{ т} = 2 \times 1000 \text{ кг} = 2000 \text{ кг}$
Затем прибавим оставшиеся килограммы:
$2000 \text{ кг} + 7 \text{ кг} = 2007 \text{ кг}$
Ответ: 2007 кг.

6 ц 50 кг
Переведем центнеры в килограммы, умножив количество центнеров на 100:
$6 \text{ ц} = 6 \times 100 \text{ кг} = 600 \text{ кг}$
Теперь прибавим оставшиеся килограммы:
$600 \text{ кг} + 50 \text{ кг} = 650 \text{ кг}$
Ответ: 650 кг.

1 т 2 ц 30 кг
В этом случае нужно перевести и тонны, и центнеры в килограммы, а затем все сложить.
Перевод тонн в килограммы:
$1 \text{ т} = 1 \times 1000 \text{ кг} = 1000 \text{ кг}$
Перевод центнеров в килограммы:
$2 \text{ ц} = 2 \times 100 \text{ кг} = 200 \text{ кг}$
Сложим все полученные значения:
$1000 \text{ кг} + 200 \text{ кг} + 30 \text{ кг} = 1230 \text{ кг}$
Ответ: 1230 кг.

5 Вычисли.

$\frac{1}{3}$ от 1 м 8 см

$\frac{2}{5}$ от 3 км

$\frac{3}{5}$ от 1 км 4 м

$\frac{1}{6}$ от 2 дм 4 мм

$\frac{1}{2}$ от 4 га

$\frac{7}{25}$ от 8 а

Чтобы найти дробь от величины, нужно эту величину умножить на дробь. Для удобства вычислений сначала переведем 1 м 8 см в сантиметры.

В одном метре 100 сантиметров, поэтому:

$1 \text{ м} \; 8 \text{ см} = 100 \text{ см} + 8 \text{ см} = 108 \text{ см}$

Теперь вычислим $\frac{1}{3}$ от 108 см:

$\frac{1}{3} \times 108 \text{ см} = \frac{108}{3} \text{ см} = 36 \text{ см}$

Ответ: 36 см.

Переведем километры в метры. В одном километре 1000 метров:

$3 \text{ км} = 3 \times 1000 \text{ м} = 3000 \text{ м}$

Теперь найдем $\frac{2}{5}$ от 3000 м:

$\frac{2}{5} \times 3000 \text{ м} = \frac{2 \times 3000}{5} \text{ м} = 2 \times 600 \text{ м} = 1200 \text{ м}$

Результат можно также представить в километрах и метрах:

$1200 \text{ м} = 1 \text{ км} \; 200 \text{ м}$

Ответ: 1200 м (или 1 км 200 м).

Сначала переведем 1 км 4 м в метры:

$1 \text{ км} \; 4 \text{ м} = 1000 \text{ м} + 4 \text{ м} = 1004 \text{ м}$

Теперь вычислим $\frac{3}{5}$ от 1004 м:

$\frac{3}{5} \times 1004 \text{ м} = \frac{3 \times 1004}{5} \text{ м} = \frac{3012}{5} \text{ м} = 602.4 \text{ м}$

Этот результат можно выразить в метрах и сантиметрах, так как $0.4 \text{ м} = 40 \text{ см}$:

$602.4 \text{ м} = 602 \text{ м} \; 40 \text{ см}$

Ответ: 602,4 м (или 602 м 40 см).

Переведем 2 дм 4 мм в миллиметры. В одном дециметре 100 миллиметров:

$2 \text{ дм} \; 4 \text{ мм} = 2 \times 100 \text{ мм} + 4 \text{ мм} = 204 \text{ мм}$

Теперь найдем $\frac{1}{6}$ от 204 мм:

$\frac{1}{6} \times 204 \text{ мм} = \frac{204}{6} \text{ мм} = 34 \text{ мм}$

Результат можно представить в сантиметрах и миллиметрах:

$34 \text{ мм} = 3 \text{ см} \; 4 \text{ мм}$

Ответ: 34 мм (или 3 см 4 мм).

Чтобы найти половину от 4 гектаров (га), нужно умножить 4 на $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} \times 4 \text{ га} = \frac{4}{2} \text{ га} = 2 \text{ га}$

Для справки, 1 га = 100 а, следовательно 2 га = 200 а.

Ответ: 2 га.

Переведем ары (а) в квадратные метры (м²). В одном аре 100 квадратных метров:

$8 \text{ а} = 8 \times 100 \text{ м}^2 = 800 \text{ м}^2$

Теперь вычислим $\frac{7}{25}$ от 800 м²:

$\frac{7}{25} \times 800 \text{ м}^2 = 7 \times \frac{800}{25} \text{ м}^2 = 7 \times 32 \text{ м}^2 = 224 \text{ м}^2$

Результат можно также представить в арах и квадратных метрах:

$224 \text{ м}^2 = 2 \text{ а} \; 24 \text{ м}^2$

Ответ: 224 м² (или 2 а 24 м²).

6 Могут ли две окружности одинакового радиуса: 1) иметь только две общие точки; 2) иметь только одну общую точку; 3) не иметь общих точек?

Подтверди свои рассуждения с помощью чертежей.

1) иметь только две общие точки
Да, две окружности одинакового радиуса $R$ могут иметь две общие точки. Это происходит, когда окружности пересекаются. Для этого расстояние $d$ между их центрами должно быть больше нуля, но меньше суммы их радиусов (то есть меньше диаметра). Математически это условие записывается так: $0 < d < 2R$.

Ответ: да, могут.

2) иметь только одну общую точку
Да, две окружности одинакового радиуса $R$ могут иметь одну общую точку. Это происходит в случае их внешнего касания. При внешнем касании расстояние $d$ между центрами окружностей равно сумме их радиусов: $d = R + R = 2R$.

Ответ: да, могут.

3) не иметь общих точек
Да, две окружности одинакового радиуса $R$ могут не иметь общих точек. Это происходит, когда одна окружность расположена полностью вне другой. В этом случае расстояние $d$ между их центрами больше суммы их радиусов: $d > 2R$.

Ответ: да, могут.

7 Имеются три коробки в форме прямоугольного параллелепипеда. В каждой из них плотно друг к другу лежат одинаковые шарики диаметром $9 \text{ см}$. Определи длины рёбер каждого прямоугольного параллелепипеда.

Коробка 1:

Длины рёбер: $9 \text{ см} \times 9 \text{ см} \times 9 \text{ см}$

Коробка 2:

Длины рёбер: $18 \text{ см} \times 9 \text{ см} \times 9 \text{ см}$

Коробка 3:

Длины рёбер: $18 \text{ см} \times 18 \text{ см} \times 9 \text{ см}$

Для определения длин рёбер каждого прямоугольного параллелепипеда (коробки) необходимо учесть, что шарики лежат плотно друг к другу. Это означает, что длина, ширина и высота каждой коробки будут равны сумме диаметров шариков, уложенных вдоль соответствующего измерения. Диаметр одного шарика равен 9 см.

Для первой коробки (самой маленькой)

В этой коробке находится всего один шарик. Следовательно, её длина, ширина и высота равны диаметру этого шарика.

Длина = 9 см

Ширина = 9 см

Высота = 9 см

Ответ: длины рёбер первой коробки равны 9 см, 9 см и 9 см.

Для второй коробки (средней)

В этой коробке лежат 3 шарика, выстроенные в один ряд. Таким образом, длина коробки равна сумме диаметров трёх шариков, а ширина и высота равны диаметру одного шарика.

Длина: $3 \times 9 \text{ см} = 27 \text{ см}$

Ширина: $1 \times 9 \text{ см} = 9 \text{ см}$

Высота: $1 \times 9 \text{ см} = 9 \text{ см}$

Ответ: длины рёбер второй коробки равны 27 см, 9 см и 9 см.

Для третьей коробки (самой большой)

В этой коробке шарики уложены в один слой, состоящий из двух рядов. В каждом ряду по 3 шарика. Длина коробки определяется тремя шариками в ряду, ширина — двумя рядами, а высота — одним слоем шариков.

Длина: $3 \times 9 \text{ см} = 27 \text{ см}$

Ширина: $2 \times 9 \text{ см} = 18 \text{ см}$

Высота: $1 \times 9 \text{ см} = 9 \text{ см}$

Ответ: длины рёбер третьей коробки равны 27 см, 18 см и 9 см.