Страница 114, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

2 На модели конуса покажи его основание и боковую поверхность. Можно ли расположить модель конуса так, чтобы видеть: 1) только его основание? 2) только часть боковой поверхности? 3) основание и часть боковой поверхности конуса?

У модели конуса можно выделить две части: основание и боковую поверхность. Основание — это плоский круг. Боковая поверхность — это кривая поверхность, которая соединяет край основания (окружность) с вершиной конуса (острой точкой).

Рассмотрим, можно ли расположить конус так, чтобы видеть его части по-разному.

1) только его основание?

Да, это возможно. Если посмотреть на конус строго перпендикулярно его основанию (например, снизу, если конус стоит на основании, или сверху, если он перевернут), так, чтобы линия взгляда совпадала с осью симметрии конуса. В этом случае наблюдатель увидит только основание в форме круга, а вся боковая поверхность будет скрыта за ним.

Ответ: да.

2) только часть боковой поверхности?

Да, это тоже возможно. Если посмотреть на конус со стороны его вершины, направив взгляд вдоль оси конуса, то основание будет полностью скрыто за боковой поверхностью. Другой способ — посмотреть на конус сбоку так, чтобы глаз наблюдателя находился точно в плоскости основания. В этом случае основание будет выглядеть как отрезок прямой, а не как круг, и будет видна боковая поверхность, проекция которой будет иметь форму треугольника.

Ответ: да.

3) основание и часть боковой поверхности конуса?

Да, конечно. Это самый распространенный ракурс, с которого мы видим конус в повседневной жизни. Если смотреть на конус под углом, не совпадающим с его осью или плоскостью основания (например, сбоку и немного сверху), то будут одновременно видны и основание (которое будет выглядеть как эллипс), и видимая часть его боковой поверхности.

Ответ: да.

3 Считай по порядку и записывай числа:

от 997 до 1 004, от 9 998 до 10 003, от 99 996 до 100 001.

от 997 до 1 004
Чтобы посчитать по порядку от 997 до 1 004, необходимо последовательно перечислять целые числа, начиная с 997 и заканчивая 1 004. Каждое следующее число в ряду больше предыдущего на единицу.
Таким образом, получаем следующий числовой ряд:
997, 998, 999, 1 000, 1 001, 1 002, 1 003, 1 004.
Ответ: $997, 998, 999, 1\ 000, 1\ 001, 1\ 002, 1\ 003, 1\ 004$.

от 9 998 до 10 003
Аналогично, считаем по порядку от 9 998 до 10 003. Начинаем с 9 998 и прибавляем по единице, пока не достигнем 10 003.
Получаем следующий ряд чисел:
9 998, 9 999, 10 000, 10 001, 10 002, 10 003.
Ответ: $9\ 998, 9\ 999, 10\ 000, 10\ 001, 10\ 002, 10\ 003$.

от 99 996 до 100 001
Считаем по порядку от 99 996 до 100 001. Начинаем с числа 99 996 и последовательно увеличиваем его на 1 до тех пор, пока не дойдем до 100 001.
Получаемый числовой ряд:
99 996, 99 997, 99 998, 99 999, 100 000, 100 001.
Ответ: $99\ 996, 99\ 997, 99\ 998, 99\ 999, 100\ 000, 100\ 001$.

4 Запиши цифрами число, которое содержит:

1) 563 единицы второго класса и 847 единиц первого класса;

2) 200 единиц второго класса и 320 единиц первого класса;

3) 15 единиц второго класса и 600 единиц первого класса.

Для решения этой задачи необходимо понимать, что числа в десятичной системе счисления группируются в классы по три разряда (цифры) справа налево. Первый класс — это класс единиц, а второй — класс тысяч.

1) В этом числе 563 единицы второго класса (тысяч) и 847 единиц первого класса (единиц). Чтобы записать это число, мы сначала пишем количество тысяч (563), а затем справа от него — количество единиц (847).
Это можно представить в виде суммы: $563 \times 1000 + 847 = 563000 + 847 = 563847$.
Ответ: 563 847.

2) Здесь 200 единиц второго класса (тысяч) и 320 единиц первого класса (единиц). Записываем число тысяч (200), а затем справа от него число единиц (320).
В виде суммы это выглядит так: $200 \times 1000 + 320 = 200000 + 320 = 200320$.
Ответ: 200 320.

3) В данном случае 15 единиц второго класса (тысяч) и 600 единиц первого класса (единиц). Мы записываем количество тысяч (15), а затем справа от него количество единиц (600).
Математически это равносильно сложению: $15 \times 1000 + 600 = 15000 + 600 = 15600$.
Ответ: 15 600.

5 Сколько граммов составляют 10 кг? 36 кг? 174 кг? 500 кг?

Чтобы перевести массу из килограммов (кг) в граммы (г), необходимо значение в килограммах умножить на 1000, так как в одном килограмме содержится 1000 граммов. Соотношение записывается так: $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.

10 кг?

Для перевода 10 кг в граммы выполним умножение:

$10 \text{ кг} = 10 \times 1000 \text{ г} = 10000 \text{ г}$.

Ответ: 10000 г.

36 кг?

Для перевода 36 кг в граммы выполним умножение:

$36 \text{ кг} = 36 \times 1000 \text{ г} = 36000 \text{ г}$.

Ответ: 36000 г.

174 кг?

Для перевода 174 кг в граммы выполним умножение:

$174 \text{ кг} = 174 \times 1000 \text{ г} = 174000 \text{ г}$.

Ответ: 174000 г.

500 кг?

Для перевода 500 кг в граммы выполним умножение:

$500 \text{ кг} = 500 \times 1000 \text{ г} = 500000 \text{ г}$.

Ответ: 500000 г.

6 (Устно.) Вырази в граммах:

$3 \text{ кг } 800 \text{ г}$; $72 \text{ кг } 400 \text{ г}$; $520 \text{ кг } 16 \text{ г}$; $200 \text{ кг } 200 \text{ г}$.

Для решения этой задачи необходимо помнить основное соотношение между килограммами (кг) и граммами (г): в одном килограмме содержится тысяча граммов.

$1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$

Чтобы перевести смешанное значение массы в граммы, нужно количество килограммов умножить на 1000 и к полученному результату прибавить количество граммов.

3 кг 800 г

1. Переводим килограммы в граммы:
$3 \text{ кг} = 3 \times 1000 \text{ г} = 3000 \text{ г}$
2. Добавляем оставшиеся граммы:
$3000 \text{ г} + 800 \text{ г} = 3800 \text{ г}$
Ответ: 3800 г.

72 кг 400 г

1. Переводим килограммы в граммы:
$72 \text{ кг} = 72 \times 1000 \text{ г} = 72000 \text{ г}$
2. Добавляем оставшиеся граммы:
$72000 \text{ г} + 400 \text{ г} = 72400 \text{ г}$
Ответ: 72400 г.

520 кг 16 г

1. Переводим килограммы в граммы:
$520 \text{ кг} = 520 \times 1000 \text{ г} = 520000 \text{ г}$
2. Добавляем оставшиеся граммы:
$520000 \text{ г} + 16 \text{ г} = 520016 \text{ г}$
Ответ: 520016 г.

200 кг 200 г

1. Переводим килограммы в граммы:
$200 \text{ кг} = 200 \times 1000 \text{ г} = 200000 \text{ г}$
2. Добавляем оставшиеся граммы:
$200000 \text{ г} + 200 \text{ г} = 200200 \text{ г}$
Ответ: 200200 г.

7 Выполни действия.

$126 000 + 539 000$

$360 000 : 12$

$125 000 \cdot 4 : 5$

$814 000 - 675 000$

$510 000 : 17$

$234 000 : 9 \cdot 4$

126 000 + 539 000

Чтобы найти сумму, можно сложить числа в классе тысяч, а затем к результату приписать три нуля.
1) Складываем тысячи: $126 + 539 = 665$.
2) Приписываем три нуля: $665 000$.
$126 000 + 539 000 = 665 000$.
Ответ: 665 000

814 000 – 675 000

Чтобы найти разность, можно вычесть числа в классе тысяч, а затем к результату приписать три нуля.
1) Вычитаем тысячи: $814 - 675 = 139$.
2) Приписываем три нуля: $139 000$.
$814 000 - 675 000 = 139 000$.
Ответ: 139 000

360 000 : 12

Для выполнения деления, можно разделить число тысяч на делитель, а затем приписать к результату три нуля.
1) Делим тысячи: $360 : 12 = 30$.
2) Приписываем три нуля: $30 000$.
$360 000 : 12 = 30 000$.
Ответ: 30 000

510 000 : 17

Для выполнения деления, можно разделить число тысяч на делитель, а затем приписать к результату три нуля.
1) Делим тысячи: $510 : 17 = 30$.
2) Приписываем три нуля: $30 000$.
$510 000 : 17 = 30 000$.
Ответ: 30 000

125 000 ⋅ 4 : 5

Выполним действия по порядку, слева направо.
1) Первое действие – умножение: $125 000 \cdot 4 = 500 000$.
2) Второе действие – деление: $500 000 : 5 = 100 000$.
Ответ: 100 000

234 000 : 9 ⋅ 4

Выполним действия по порядку, слева направо.
1) Первое действие – деление: $234 000 : 9 = 26 000$.
2) Второе действие – умножение: $26 000 \cdot 4 = 104 000$.
Ответ: 104 000

8 Эвкалипт живёт 3 000 лет, каштан — на 1 000 лет меньше, а баобаб живёт столько, сколько каштан и эвкалипт вместе. Найди продолжительность жизни баобаба.

Для того чтобы найти продолжительность жизни баобаба, необходимо выполнить два последовательных действия.

1. Найдём продолжительность жизни каштана

В условии задачи сказано, что эвкалипт живёт 3 000 лет, а каштан — на 1 000 лет меньше. Чтобы найти, сколько лет живёт каштан, нужно из продолжительности жизни эвкалипта вычесть 1 000 лет.

$3000 - 1000 = 2000$ (лет)

Таким образом, продолжительность жизни каштана составляет 2 000 лет.

2. Найдём продолжительность жизни баобаба

Из условия мы знаем, что баобаб живёт столько, сколько каштан и эвкалипт вместе. Чтобы найти продолжительность жизни баобаба, сложим возраст эвкалипта (3 000 лет) и возраст каштана (2 000 лет).

$3000 + 2000 = 5000$ (лет)

Ответ: продолжительность жизни баобаба составляет 5 000 лет.

9 Сравни.

$108 \text{ км}$ $180 \text{ км}$

$270 \text{ кг}$ $27 \text{ кг}$

$2 \text{ км } 500 \text{ м}$ $250 \text{ м}$

$80 \text{ кг } 90 \text{ г}$ $8 \text{ кг } 900 \text{ г}$

$6 \text{ кг } 200 \text{ г}$ $6200 \text{ г}$

$340 \text{ км } 20 \text{ м}$ $350 \text{ км}$

108 км ◯ 180 км
Так как обе величины выражены в одинаковых единицах измерения (километрах), для сравнения достаточно посмотреть на числовые значения. Сравниваем числа 108 и 180. Поскольку $108 < 180$, то и 108 км меньше, чем 180 км.
Ответ: $108 \text{ км} < 180 \text{ км}$

270 кг ◯ 27 кг
Единицы измерения (килограммы) у обеих величин одинаковы. Сравниваем числа 270 и 27. Так как $270 > 27$, то и 270 кг больше, чем 27 кг.
Ответ: $270 \text{ кг} > 27 \text{ кг}$

2 км 500 м ◯ 250 м
Чтобы сравнить эти величины, необходимо привести их к одной единице измерения. Переведем все в метры, зная, что в одном километре 1000 метров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$).
$2 \text{ км} 500 \text{ м} = 2 \times 1000 \text{ м} + 500 \text{ м} = 2000 \text{ м} + 500 \text{ м} = 2500 \text{ м}$.
Теперь сравним $2500 \text{ м}$ с $250 \text{ м}$.
Так как $2500 > 250$, то $2 \text{ км} 500 \text{ м} > 250 \text{ м}$.
Ответ: $2 \text{ км} 500 \text{ м} > 250 \text{ м}$

80 кг 90 г ◯ 8 кг 900 г
Для сравнения величин, состоящих из разных единиц, удобнее сначала сравнить старшие единицы. Сравниваем килограммы: $80 \text{ кг} > 8 \text{ кг}$. Так как количество килограммов слева больше, то и вся величина слева больше. Для проверки можно перевести обе величины в граммы ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$).
$80 \text{ кг} 90 \text{ г} = 80 \times 1000 \text{ г} + 90 \text{ г} = 80090 \text{ г}$.
$8 \text{ кг} 900 \text{ г} = 8 \times 1000 \text{ г} + 900 \text{ г} = 8900 \text{ г}$.
Так как $80090 > 8900$, то $80 \text{ кг} 90 \text{ г} > 8 \text{ кг} 900 \text{ г}$.
Ответ: $80 \text{ кг} 90 \text{ г} > 8 \text{ кг} 900 \text{ г}$

6 кг 200 г ◯ 6 200 г
Приведем величину слева к граммам, чтобы сравнить ее с величиной справа. В одном килограмме 1000 грамм ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$).
$6 \text{ кг} 200 \text{ г} = 6 \times 1000 \text{ г} + 200 \text{ г} = 6000 \text{ г} + 200 \text{ г} = 6200 \text{ г}$.
Теперь сравним полученное значение $6200 \text{ г}$ с величиной справа, которая также равна $6200 \text{ г}$.
Так как $6200 = 6200$, то величины равны.
Ответ: $6 \text{ кг} 200 \text{ г} = 6200 \text{ г}$

340 км 20 м ◯ 350 км
Сначала сравним старшие единицы измерения — километры. $340 \text{ км} < 350 \text{ км}$. Разница между километрами составляет $10 \text{ км}$, что равно $10000 \text{ м}$. Эта разница значительно больше, чем $20 \text{ м}$ в левой части, поэтому можно сразу сказать, что левая величина меньше. Для полной уверенности переведем обе величины в метры ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$).
$340 \text{ км} 20 \text{ м} = 340 \times 1000 \text{ м} + 20 \text{ м} = 340020 \text{ м}$.
$350 \text{ км} = 350 \times 1000 \text{ м} = 350000 \text{ м}$.
Так как $340020 < 350000$, то $340 \text{ км} 20 \text{ м} < 350 \text{ км}$.
Ответ: $340 \text{ км} 20 \text{ м} < 350 \text{ км}$

10 Рабочий за смену изготовил 78 деталей, а его ученик — в 3 раза меньше. После этого им осталось изготовить ещё 136 деталей.

Объясни, что означают следующие выражения:

$78 : 3;$

$136 - (78 + 78 : 3);$

$78 - 78 : 3;$

$136 + (78 + 78 : 3).$

$78 + 78 : 3;$

Для начала разберем условие задачи:

• Рабочий изготовил: 78 деталей.
• Ученик изготовил: в 3 раза меньше, чем рабочий, то есть $78 : 3$ деталей.
• Осталось изготовить: 136 деталей.

Теперь объясним значение каждого выражения:

78 : 3; Это выражение показывает, сколько деталей изготовил ученик за смену. Согласно условию, рабочий изготовил 78 деталей, а ученик — в 3 раза меньше, что математически выражается делением: $78 : 3 = 26$ деталей.
Ответ: количество деталей, изготовленных учеником.

78 – 78 : 3; Это выражение показывает, на сколько больше деталей изготовил рабочий, чем его ученик. Для этого из количества деталей, изготовленных рабочим (78), вычитается количество деталей, изготовленных учеником ($78 : 3$): $78 - 26 = 52$ детали.
Ответ: на сколько деталей больше изготовил рабочий, чем ученик.

78 + 78 : 3; Это выражение показывает, сколько всего деталей изготовили рабочий и ученик вместе за смену. Для этого складывается количество деталей, сделанных рабочим (78), и количество деталей, сделанных учеником ($78 : 3$): $78 + 26 = 104$ детали.
Ответ: общее количество деталей, изготовленных рабочим и учеником вместе.

136 – (78 + 78 : 3); Это выражение показывает разницу между количеством деталей, которые осталось изготовить (136), и общим количеством деталей, которые уже были сделаны ($78 + 78 : 3$). Оно отвечает на вопрос: «На сколько больше деталей осталось сделать, чем уже сделано?». $136 - (78 + 26) = 136 - 104 = 32$ детали.
Ответ: на сколько деталей больше осталось изготовить, чем уже изготовлено.

136 + (78 + 78 : 3); Это выражение показывает общее количество деталей, которое нужно было изготовить по плану (весь заказ). Оно складывает количество уже изготовленных деталей ($78 + 78 : 3$) и количество деталей, которые еще осталось изготовить (136): $136 + 104 = 240$ деталей.
Ответ: общее количество деталей, которое нужно было изготовить по плану (весь заказ).

11 Выполни деление с остатком и сделай проверку.

$397 : 12$

$680 : 17$

$465 : 32$

$803 : 26$

397 : 12

1. Выполним деление с остатком:
Сначала делим $39$ на $12$. Ближайшее число к $39$, которое делится на $12$ без остатка, — это $36$ ($12 \cdot 3 = 36$). Записываем $3$ в частное. Находим остаток: $39 - 36 = 3$. Сносим следующую цифру ($7$), получаем число $37$. Делим $37$ на $12$. Ближайшее число к $37$, которое делится на $12$ без остатка, — это $36$ ($12 \cdot 3 = 36$). Записываем $3$ в частное. Находим остаток: $37 - 36 = 1$. Получаем неполное частное $33$ и остаток $1$.
$397 : 12 = 33$ (ост. $1$).

2. Сделаем проверку:
Чтобы выполнить проверку, нужно неполное частное умножить на делитель и прибавить остаток. Результат должен быть равен делимому.
Остаток ($1$) должен быть меньше делителя ($12$). $1 < 12$. Условие выполняется.
$33 \cdot 12 + 1 = 396 + 1 = 397$.
$397 = 397$. Деление выполнено верно.
Ответ: $33$ (ост. $1$).

680 : 17

1. Выполним деление:
Сначала делим $68$ на $17$. Получаем $4$, так как $17 \cdot 4 = 68$. Записываем $4$ в частное. Находим остаток: $68 - 68 = 0$. Сносим следующую цифру ($0$), получаем число $0$. Делим $0$ на $17$, получаем $0$. Записываем $0$ в частное. Получаем частное $40$ и остаток $0$. Деление выполнено нацело.
$680 : 17 = 40$.

2. Сделаем проверку:
Для проверки нужно частное умножить на делитель. Результат должен быть равен делимому.
$40 \cdot 17 = 680$.
$680 = 680$. Деление выполнено верно.
Ответ: $40$.

465 : 32

1. Выполним деление с остатком:
Сначала делим $46$ на $32$. Получаем $1$, так как $32 \cdot 1 = 32$. Записываем $1$ в частное. Находим остаток: $46 - 32 = 14$. Сносим следующую цифру ($5$), получаем число $145$. Делим $145$ на $32$. Ближайшее число к $145$, которое делится на $32$ без остатка, — это $128$ ($32 \cdot 4 = 128$). Записываем $4$ в частное. Находим остаток: $145 - 128 = 17$. Получаем неполное частное $14$ и остаток $17$.
$465 : 32 = 14$ (ост. $17$).

2. Сделаем проверку:
Остаток ($17$) должен быть меньше делителя ($32$). $17 < 32$. Условие выполняется.
$14 \cdot 32 + 17 = 448 + 17 = 465$.
$465 = 465$. Деление выполнено верно.
Ответ: $14$ (ост. $17$).

803 : 26

1. Выполним деление с остатком:
Сначала делим $80$ на $26$. Ближайшее число к $80$, которое делится на $26$ без остатка, — это $78$ ($26 \cdot 3 = 78$). Записываем $3$ в частное. Находим остаток: $80 - 78 = 2$. Сносим следующую цифру ($3$), получаем число $23$. $23$ меньше, чем $26$, поэтому при делении $23$ на $26$ получаем $0$. Записываем $0$ в частное. Находим остаток: $23 - (26 \cdot 0) = 23$. Получаем неполное частное $30$ и остаток $23$.
$803 : 26 = 30$ (ост. $23$).

2. Сделаем проверку:
Остаток ($23$) должен быть меньше делителя ($26$). $23 < 26$. Условие выполняется.
$30 \cdot 26 + 23 = 780 + 23 = 803$.
$803 = 803$. Деление выполнено верно.
Ответ: $30$ (ост. $23$).

2 С одной автозаправки одновременно в противоположных направлениях выехали два мотоциклиста. Через $2 \text{ ч}$ расстояние между ними стало равно $246 \text{ км}$. Найди скорость первого мотоциклиста, если скорость второго $58 \text{ км/ч}$.

Для решения задачи определим, с какой общей скоростью мотоциклисты удалялись друг от друга (это называется скоростью удаления). Затем, зная общую скорость и скорость одного из мотоциклистов, мы сможем найти скорость второго.

1. Находим скорость удаления мотоциклистов.
Скорость удаления показывает, на сколько километров увеличивается расстояние между объектами за единицу времени. Чтобы найти ее, нужно общее расстояние, которое стало между мотоциклистами, разделить на время, которое они были в пути.
$v_{уд} = S / t$
Подставляем известные значения:
$v_{уд} = 246 \text{ км} / 2 \text{ ч} = 123 \text{ км/ч}$
Таким образом, мотоциклисты удалялись друг от друга со скоростью 123 км/ч.

2. Находим скорость первого мотоциклиста.
Когда два объекта движутся в противоположных направлениях, их скорость удаления равна сумме их скоростей.
$v_{уд} = v_1 + v_2$
Мы знаем скорость удаления ($123 \text{ км/ч}$) и скорость второго мотоциклиста ($v_2 = 58 \text{ км/ч}$). Чтобы найти скорость первого мотоциклиста ($v_1$), нужно из скорости удаления вычесть скорость второго.
$v_1 = v_{уд} - v_2$
$v_1 = 123 \text{ км/ч} - 58 \text{ км/ч} = 65 \text{ км/ч}$

Ответ: 65 км/ч.

3 Сколько сантиметров в половине метра? в четверти километра? в трёх десятых километра? в двух пятых дециметра?

Сколько сантиметров в половине метра?

Известно, что в одном метре 100 сантиметров. Половина — это одна вторая ($ \frac{1}{2} $). Чтобы найти количество сантиметров в половине метра, нужно 100 сантиметров разделить на 2.
$100 \text{ см} \div 2 = 50 \text{ см}$
Ответ: 50 сантиметров.

Сколько сантиметров в четверти километра?

Сначала переведем километры в сантиметры. В 1 километре 1000 метров, а в 1 метре 100 сантиметров. Следовательно, в 1 километре $1000 \times 100 = 100\,000$ сантиметров. Четверть — это одна четвертая ($ \frac{1}{4} $). Чтобы найти количество сантиметров в четверти километра, нужно 100 000 разделить на 4.
$100\,000 \text{ см} \div 4 = 25\,000 \text{ см}$
Ответ: 25 000 сантиметров.

Сколько сантиметров в трёх десятых километра?

В одном километре 100 000 сантиметров. Чтобы найти три десятых ($ \frac{3}{10} $) от этого числа, нужно сначала найти одну десятую часть, разделив 100 000 на 10, а затем умножить полученный результат на 3.
$(100\,000 \text{ см} \div 10) \times 3 = 10\,000 \text{ см} \times 3 = 30\,000 \text{ см}$
Ответ: 30 000 сантиметров.

Сколько сантиметров в двух пятых дециметра?

В одном дециметре 10 сантиметров. Чтобы найти две пятых ($ \frac{2}{5} $) от этого числа, нужно сначала найти одну пятую часть, разделив 10 на 5, а затем умножить результат на 2.
$(10 \text{ см} \div 5) \times 2 = 2 \text{ см} \times 2 = 4 \text{ см}$
Ответ: 4 сантиметра.

4 В магазин привезли 45 велосипедов — трёхколёсных и двухколёсных. У всех велосипедов 110 колёс. Сколько велосипедов каждого вида привезли в магазин?

Для решения задачи введем переменные:

• Пусть $x$ — количество трёхколёсных велосипедов.
• Пусть $y$ — количество двухколёсных велосипедов.

Основываясь на данных из условия, составим систему из двух уравнений.

Первое уравнение будет отражать общее количество велосипедов:

$x + y = 45$

Второе уравнение будет отражать общее количество колёс (у трёхколёсного велосипеда 3 колеса, у двухколёсного — 2):

$3x + 2y = 110$

Теперь решим эту систему. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 45 - x$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:

$3x + 2(45 - x) = 110$

Раскроем скобки и найдём значение $x$:

$3x + 90 - 2x = 110$

$x + 90 = 110$

$x = 110 - 90$

$x = 20$

Мы нашли, что количество трёхколёсных велосипедов равно 20.

Теперь найдём количество двухколёсных велосипедов, подставив найденное значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 45 - 20$

$y = 25$

Количество двухколёсных велосипедов равно 25.

Проверка:

Общее число велосипедов: $20 + 25 = 45$ (соответствует условию).

Общее число колёс: $20 \times 3 + 25 \times 2 = 60 + 50 = 110$ (соответствует условию).

Ответ: в магазин привезли 20 трёхколёсных и 25 двухколёсных велосипедов.

5 Вырази в квадратных сантиметрах: $12 \, \text{дм}^2$, $70 \, \text{м}^2$, $15 \, \text{м}^2 \, 5 \, \text{дм}^2$.

Для того чтобы выразить данные величины в квадратных сантиметрах, необходимо знать следующие соотношения единиц площади:

• 1 квадратный дециметр (дм²) равен 100 квадратным сантиметрам (см²). Это потому, что в 1 дециметре 10 сантиметров, следовательно, $1 \text{ дм}^2 = 10 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 100 \text{ см}^2$.
• 1 квадратный метр (м²) равен 10 000 квадратным сантиметрам (см²). Это потому, что в 1 метре 100 сантиметров, следовательно, $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 10 000 \text{ см}^2$.

Теперь выполним преобразования для каждого значения из задания.

12 дм²

Чтобы перевести 12 квадратных дециметров в квадратные сантиметры, нужно умножить количество квадратных дециметров на 100.

$12 \text{ дм}^2 = 12 \times 100 \text{ см}^2 = 1200 \text{ см}^2$.

Ответ: $1200 \text{ см}^2$.

70 м²

Чтобы перевести 70 квадратных метров в квадратные сантиметры, нужно умножить количество квадратных метров на 10 000.

$70 \text{ м}^2 = 70 \times 10 000 \text{ см}^2 = 700 000 \text{ см}^2$.

Ответ: $700 000 \text{ см}^2$.

15 м² 5 дм²

В этом случае необходимо сначала перевести каждую часть (квадратные метры и квадратные дециметры) в квадратные сантиметры, а затем сложить полученные значения.

1. Переводим квадратные метры в квадратные сантиметры:

$15 \text{ м}^2 = 15 \times 10 000 \text{ см}^2 = 150 000 \text{ см}^2$.

2. Переводим квадратные дециметры в квадратные сантиметры:

$5 \text{ дм}^2 = 5 \times 100 \text{ см}^2 = 500 \text{ см}^2$.

3. Складываем результаты:

$150 000 \text{ см}^2 + 500 \text{ см}^2 = 150 500 \text{ см}^2$.

Ответ: $150 500 \text{ см}^2$.

6 Автомобиль проехал 32 км за 30 мин. Сколько километров проедет велосипедист за это же время, если его скорость составляет $ \frac{3}{8} $ скорости автомобиля?

Для решения этой задачи можно использовать прямую пропорциональность. Поскольку время движения автомобиля и велосипедиста одинаково (30 минут), то расстояние, которое они проедут, будет прямо пропорционально их скоростям. Это значит, что если скорость велосипедиста составляет $\frac{3}{8}$ от скорости автомобиля, то и расстояние, которое он проедет, будет равно $\frac{3}{8}$ от расстояния, пройденного автомобилем.

Таким образом, нет необходимости вычислять скорость каждого из них. Достаточно найти часть от расстояния, которое проехал автомобиль.

1. Находим расстояние, которое проедет велосипедист.

Расстояние, пройденное автомобилем, равно 32 км. Нам нужно найти $\frac{3}{8}$ от этого числа. Для этого умножим расстояние на дробь:

$S_{велосипедиста} = S_{автомобиля} \cdot \frac{3}{8}$

$32 \text{ км} \cdot \frac{3}{8} = \frac{32 \cdot 3}{8} \text{ км}$

Сократим 32 и 8. Так как $32 \div 8 = 4$, получаем:

$4 \cdot 3 = 12 \text{ км}$

Ответ: 12 км.

$100000 - (10725 \div 275 - 24102 \div 618) - 650 \cdot 140$

$(114845 \div 515 + 22377) \div 10 - 75 \cdot 30$

100 000 - (10 725 : 275 - 24 102 : 618) - 650 · 140

Решим выражение, соблюдая порядок действий: сначала действия в скобках (деление, затем вычитание), затем умножение и в конце вычитание слева направо.

1. Выполним деление в скобках: $10 725 : 275 = 39$.

2. Выполним второе деление в скобках: $24 102 : 618 = 39$.

3. Выполним вычитание в скобках: $39 - 39 = 0$.

4. Теперь выполним умножение: $650 \cdot 140 = 91 000$.

5. Подставим полученные значения в исходное выражение: $100 000 - 0 - 91 000$.

6. Выполним вычитание: $100 000 - 91 000 = 9 000$.

Ответ: $9000$.

(114 845 : 515 + 22 377) : 10 - 75 · 30

Решим выражение, соблюдая порядок действий: сначала действия в скобках (деление, затем сложение), затем деление и умножение слева направо, и в конце вычитание.

1. Выполним деление в скобках: $114 845 : 515 = 223$.

2. Выполним сложение в скобках: $223 + 22 377 = 22 600$.

3. Теперь выражение выглядит так: $22 600 : 10 - 75 \cdot 30$.

4. Выполним деление: $22 600 : 10 = 2 260$.

5. Выполним умножение: $75 \cdot 30 = 2 250$.

6. Выполним вычитание: $2 260 - 2 250 = 10$.

Ответ: $10$.

8 Могут ли две окружности с общим центром пересекаться, если они имеют разные диаметры?

Окружность — это множество всех точек на плоскости, находящихся на заданном расстоянии (радиусе) от данной точки (центра). Две окружности с общим центром называются концентрическими.

Пусть у нас есть две окружности с общим центром в точке $O$. Пусть их диаметры равны $D_1$ и $D_2$, а радиусы — $R_1$ и $R_2$ соответственно. Мы знаем, что радиус равен половине диаметра: $R_1 = D_1 / 2$ и $R_2 = D_2 / 2$.

По условию задачи, диаметры окружностей разные: $D_1 \neq D_2$. Из этого следует, что их радиусы также будут разными: $R_1 \neq R_2$.

Все точки первой окружности находятся на расстоянии ровно $R_1$ от центра $O$. Все точки второй окружности находятся на расстоянии ровно $R_2$ от центра $O$.

Чтобы окружности пересеклись, они должны иметь хотя бы одну общую точку. Предположим, что такая общая точка $A$ существует. Если точка $A$ лежит на первой окружности, то расстояние от центра до этой точки равно $R_1$. Если же точка $A$ лежит на второй окружности, то расстояние от центра до нее равно $R_2$.

Поскольку точка $A$ должна принадлежать обеим окружностям одновременно, то расстояние от центра $O$ до точки $A$ должно быть равно и $R_1$, и $R_2$. Это привело бы к выводу, что $R_1 = R_2$.

Однако это противоречит нашему начальному условию, что радиусы (и диаметры) окружностей различны. Следовательно, наше предположение о существовании общей точки неверно.

Таким образом, две окружности с общим центром и разными диаметрами не могут пересекаться.

Ответ: Нет, две окружности с общим центром не могут пересекаться, если они имеют разные диаметры.

9 Девять чисел записаны в виде таблицы из трёх строк и трёх столбцов. Складывая числа первой строки, Ваня получил сумму 818, числа второй строки дали в сумме 819, а числа третьей строки — 917. Проделав те же вычисления для столбцов, Ваня получил суммы 985, 722 и 848. Правильны ли его вычисления?

Для того чтобы проверить правильность вычислений, необходимо найти общую сумму всех девяти чисел в таблице. Это можно сделать двумя независимыми способами: во-первых, сложив суммы по строкам, и во-вторых, сложив суммы по столбцам. Если все вычисления верны, то результат в обоих случаях должен быть одинаковым, так как в обоих случаях мы складываем одни и те же девять чисел, но в разном порядке.

1. Вычислим сумму всех чисел, складывая суммы по строкам.

Суммы по строкам равны 818, 819 и 917.Их общая сумма $S_{строк}$ равна:$S_{строк} = 818 + 819 + 917 = 2554$

2. Вычислим сумму всех чисел, складывая суммы по столбцам.

Суммы по столбцам равны 985, 722 и 848.Их общая сумма $S_{столбцов}$ равна:$S_{столбцов} = 985 + 722 + 848 = 2555$

3. Сравним полученные результаты.

Сумма, полученная при сложении сумм строк ($S_{строк} = 2554$), не равна сумме, полученной при сложении сумм столбцов ($S_{столбцов} = 2555$).$2554 \neq 2555$

Поскольку итоговые суммы не совпадают, это означает, что в вычислениях Вани была допущена как минимум одна ошибка.

Ответ: нет, вычисления Вани неверны.

1 Вычисли.

$15\,600 \cdot 27$

$283 \cdot 490$

$1\,700 \cdot 68$

$119 \cdot 7\,400$

$15 600 \cdot 27$

Для решения этого примера удобно отбросить нули в числе $15 600$, выполнить умножение, а затем добавить нули к результату. Это равносильно представлению числа $15 600$ в виде $156 \cdot 100$.

Сначала умножим $156$ на $27$. Это можно сделать в столбик:

1. Умножим $156$ на единицы, то есть на $7$:
$156 \cdot 7 = 1092$. Это первое неполное произведение.

2. Умножим $156$ на десятки, то есть на $20$ (или на $2$, но результат запишем со сдвигом влево на один разряд):
$156 \cdot 2 = 312$. Это второе неполное произведение (фактически $3120$).

3. Сложим полученные неполные произведения:
$1092 + 3120 = 4212$.

Таким образом, $156 \cdot 27 = 4212$.

Теперь вернем два нуля, которые мы отбросили вначале, то есть умножим результат на $100$:

$4212 \cdot 100 = 421200$.

Ответ: $421200$

$283 \cdot 490$

В этом примере удобно отбросить ноль в числе $490$, выполнить умножение $283$ на $49$, а затем добавить ноль к результату.

Умножим $283$ на $49$ в столбик:

1. Умножим $283$ на $9$:
$283 \cdot 9 = 2547$.

2. Умножим $283$ на $4$ (десятки):
$283 \cdot 4 = 1132$.

3. Сложим неполные произведения, учитывая сдвиг второго:
$2547 + 11320 = 13867$.

Таким образом, $283 \cdot 49 = 13867$.

Теперь добавим к результату ноль, который мы отбросили от числа $490$ (то есть умножим на $10$):

$13867 \cdot 10 = 138670$.

Ответ: $138670$

$1 700 \cdot 68$

Как и в первом примере, отбросим нули в числе $1 700$ и умножим $17$ на $68$.

Выполним умножение $17$ на $68$:

1. Умножим $17$ на $8$:
$17 \cdot 8 = 136$.

2. Умножим $17$ на $6$ (десятки):
$17 \cdot 6 = 102$.

3. Сложим неполные произведения со сдвигом:
$136 + 1020 = 1156$.

Таким образом, $17 \cdot 68 = 1156$.

Теперь вернем два нуля, которые мы отбросили от числа $1 700$ (умножим на $100$):

$1156 \cdot 100 = 115600$.

Ответ: $115600$

$119 \cdot 7 400$

В этом примере отбросим два нуля в числе $7 400$ и умножим $119$ на $74$.

Выполним умножение $119$ на $74$ в столбик:

1. Умножим $119$ на $4$:
$119 \cdot 4 = 476$.

2. Умножим $119$ на $7$ (десятки):
$119 \cdot 7 = 833$.

3. Сложим неполные произведения со сдвигом:
$476 + 8330 = 8806$.

Таким образом, $119 \cdot 74 = 8806$.

Теперь вернем два нуля, которые мы отбросили от числа $7 400$ (умножим на $100$):

$8806 \cdot 100 = 880600$.

Ответ: $880600$

$72 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$ $72\,000 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$

$72 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$ $1\,200 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$

$72 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$ $20 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$72 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$ $200 \frac{\text{дм}}{\text{с}}$

Для того чтобы сравнить значения скорости, представленные в разных единицах измерения, необходимо привести их к единой единице. В данном случае удобно перевести 72 км/ч в остальные единицы измерения.

Выполним предварительные расчеты:

• Перевод 72 км/ч в м/мин:
  $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$
  $1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$
  $72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \times \frac{1000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = \frac{72000}{60} \frac{\text{м}}{\text{мин}} = 1200 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$
• Перевод 72 км/ч в м/с:
  $1 \text{ ч} = 3600 \text{ с}$
  $72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \times \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{72000}{3600} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 20 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
• Перевод 72 км/ч в дм/с:
  $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$
  Исходя из предыдущего расчета, $72 \text{ км/ч} = 20 \text{ м/с}$.
  $20 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 20 \times 10 \frac{\text{дм}}{\text{с}} = 200 \frac{\text{дм}}{\text{с}}$

Теперь проведем сравнения.

Мы знаем, что $72 \text{ км/ч} = 1200 \text{ м/мин}$.

Сравниваем $1200 \text{ м/мин}$ и $72\ 000 \text{ м/мин}$.

$1200 < 72\ 000$, следовательно $72 \text{ км/ч} < 72\ 000 \text{ м/мин}$.

Ответ: $72 \text{ км/ч} < 72\ 000 \text{ м/мин}$

Мы знаем, что $72 \text{ км/ч} = 20 \text{ м/с}$.

Сравниваем $20 \text{ м/с}$ и $20 \text{ м/с}$.

$20 = 20$, следовательно $72 \text{ км/ч} = 20 \text{ м/с}$.

Ответ: $72 \text{ км/ч} = 20 \text{ м/с}$

Мы знаем, что $72 \text{ км/ч} = 1200 \text{ м/мин}$.

Сравниваем $1200 \text{ м/мин}$ и $1\ 200 \text{ м/мин}$.

$1200 = 1200$, следовательно $72 \text{ км/ч} = 1\ 200 \text{ м/мин}$.

Ответ: $72 \text{ км/ч} = 1\ 200 \text{ м/мин}$

Мы знаем, что $72 \text{ км/ч} = 200 \text{ дм/с}$.

Сравниваем $200 \text{ дм/с}$ и $200 \text{ дм/с}$.

$200 = 200$, следовательно $72 \text{ км/ч} = 200 \text{ дм/с}$.

Ответ: $72 \text{ км/ч} = 200 \text{ дм/с}$