Страница 111, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

4 Какое число обозначает цифра 3 на первом месте справа? на втором месте справа? на третьем месте справа? на четвёртом месте справа? на пятом месте справа? на шестом месте справа?

Нуль в записи числа обозначает отсутствие единиц соответствующего разряда.

Например, в числе 80 312 цифра 0 на четвёртом месте справа означает отсутствие единиц четвёртого разряда, т. е. отсутствие единиц тысяч.

Позиция цифры в числе (её место или разряд) определяет её значение. Счёт позиций ведётся справа налево, начиная с первого разряда — разряда единиц.

на первом месте справа
Первое место справа — это разряд единиц. Цифра 3 в этом разряде обозначает три единицы. Математически это можно записать как $3 \times 10^0 = 3 \times 1 = 3$.
Ответ: 3

на втором месте справа
Второе место справа — это разряд десятков. Цифра 3 в этом разряде обозначает три десятка, то есть число 30. Математически это $3 \times 10^1 = 3 \times 10 = 30$.
Ответ: 30

на третьем месте справа
Третье место справа — это разряд сотен. Цифра 3 в этом разряде обозначает три сотни, то есть число 300. Математически это $3 \times 10^2 = 3 \times 100 = 300$.
Ответ: 300

на четвёртом месте справа
Четвёртое место справа — это разряд единиц тысяч. Цифра 3 в этом разряде обозначает три тысячи, то есть число 3 000. Математически это $3 \times 10^3 = 3 \times 1000 = 3000$.
Ответ: 3 000

на пятом месте справа
Пятое место справа — это разряд десятков тысяч. Цифра 3 в этом разряде обозначает три десятка тысяч, то есть число 30 000. Математически это $3 \times 10^4 = 3 \times 10000 = 30000$.
Ответ: 30 000

на шестом месте справа
Шестое место справа — это разряд сотен тысяч. Цифра 3 в этом разряде обозначает три сотни тысяч, то есть число 300 000. Математически это $3 \times 10^5 = 3 \times 100000 = 300000$.
Ответ: 300 000

5 Начерти в тетради таблицу.

Запиши в эту таблицу число, которое содержит:

1) 7 единиц второго разряда;

2) 4 единицы четвёртого разряда и 8 единиц третьего разряда;

3) 9 единиц пятого разряда, 1 единицу четвёртого разряда и 6 единиц второго разряда;

4) 3 единицы шестого разряда, 5 единиц четвёртого разряда.

Прочитай полученные числа.

Для решения задачи необходимо заполнить таблицу разрядов в соответствии с условиями для каждого из четырёх чисел.

Заполненная таблица:

Разбор и чтение чисел:

1) 7 единиц второго разряда
Второй разряд — это разряд десятков. Ставим цифру 7 в столбец "Десятки". В остальных разрядах, которые не указаны, ставим нули.
Получается число: 70.
Прочитаем число: семьдесят.
Ответ: 70.

2) 4 единицы четвёртого разряда и 8 единиц третьего разряда
Четвёртый разряд — это разряд единиц тысяч, ставим в этот столбец цифру 4. Третий разряд — это разряд сотен, ставим туда цифру 8. Остальные ячейки заполняем нулями.
Получается число: 4 800.
Прочитаем число: четыре тысячи восемьсот.
Ответ: 4 800.

3) 9 единиц пятого разряда, 1 единицу четвёртого разряда и 6 единиц второго разряда
Пятый разряд — это десятки тысяч (цифра 9). Четвёртый разряд — единицы тысяч (цифра 1). Второй разряд — десятки (цифра 6). На места остальных разрядов ставим нули.
Получается число: 91 060.
Прочитаем число: девяносто одна тысяча шестьдесят.
Ответ: 91 060.

4) 3 единицы шестого разряда, 5 единиц четвёртого разряда
Шестой разряд — это сотни тысяч (цифра 3). Четвёртый разряд — единицы тысяч (цифра 5). Остальные разряды заполняем нулями.
Получается число: 305 000.
Прочитаем число: триста пять тысяч.
Ответ: 305 000.

8 Выполни вычисления столбиком. Сравни полученные результаты.

$400\ 735 - 307\ 819$ $650\ 412 : 7$ $267 \cdot 348$

Составь сумму с таким же результатом.

400 735 – 307 819

Выполним вычитание столбиком:

$ \begin{array}{@{}r} -\begin{array}{@{}r} \dot{4}\overset{9}{0}\overset{9}{0}\overset{17}{7}\overset{12}{3}5 \\ 307819 \\ \end{array} \\ \hline \phantom{0}92916 \end{array} $

Ответ: 92 916

650 412 : 7

Выполним деление столбиком:

$ \begin{array}{r|l} \_650412 & 7 \\ \cline{2-2} \underline{63}\phantom{0000} & 92916 \\ \_20\phantom{000} \\ \underline{14}\phantom{000} \\ \_64\phantom{00} \\ \underline{63}\phantom{00} \\ \_11\phantom{0} \\ \underline{\phantom{0}7}\phantom{0} \\ \_42 \\ \underline{42} \\ \phantom{4}0 \end{array} $

Ответ: 92 916

267 · 348

Выполним умножение столбиком:

$ \begin{array}{@{}r} \times \begin{array}[t]{@{}r} 267 \\ 348 \\ \end{array} \\ \hline \begin{array}[t]{@{}r} \phantom{+0}2136 \\ +1068\phantom{0} \\ \phantom{+}801\phantom{00} \\ \end{array} \\ \hline \phantom{0}92916 \end{array} $

Ответ: 92 916

Сравни полученные результаты.

Результаты всех трех вычислений одинаковы и равны 92 916.

$400\,735 - 307\,819 = 650\,412 : 7 = 267 \cdot 348 = 92\,916$

Составь сумму с таким же результатом.

Чтобы составить сумму с результатом $92\,916$, нужно найти два слагаемых, которые в сумме дают это число. Например, можно взять числа $90\,000$ и $2\,916$.

$90\,000 + 2\,916 = 92\,916$

Ответ: $90\,000 + 2\,916$

9 В двух четвёртых классах учится менее 50 школьников. За контрольную работу по математике $\frac{1}{7}$ часть учеников получила пятёрки, $\frac{1}{3}$ — четвёрки, $\frac{1}{2}$ — тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ?

Пусть $N$ — общее количество школьников в двух четвёртых классах. По условию задачи, $N < 50$.

Известно, что $\frac{1}{7}$ часть учеников получила пятёрки, $\frac{1}{3}$ — четвёрки, а $\frac{1}{2}$ — тройки. Поскольку количество учеников не может быть дробным числом, общее количество школьников $N$ должно делиться без остатка на 7, на 3 и на 2.

Следовательно, число $N$ должно быть общим кратным для чисел 7, 3 и 2. Найдём их наименьшее общее кратное (НОК):
$НОК(7, 3, 2) = 7 \times 3 \times 2 = 42$.

Таким образом, общее количество учеников $N$ должно быть кратно 42. Единственное число, которое кратно 42 и меньше 50, — это само число 42. Значит, в классах всего 42 ученика.

Теперь найдём, какая часть учеников получила неудовлетворительные оценки. Для этого сначала определим долю учеников, получивших удовлетворительные оценки (пятёрки, четвёрки и тройки), сложив соответствующие дроби:
$\frac{1}{7} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{6}{42} + \frac{14}{42} + \frac{21}{42} = \frac{6 + 14 + 21}{42} = \frac{41}{42}$.

Значит, $\frac{41}{42}$ всех учеников написали работу на удовлетворительные оценки. Оставшаяся часть учеников получила неудовлетворительные оценки. Вычислим эту долю:
$1 - \frac{41}{42} = \frac{42}{42} - \frac{41}{42} = \frac{1}{42}$.

Теперь мы можем найти количество неудовлетворительных работ, умножив их долю на общее число учеников:
$42 \times \frac{1}{42} = 1$.

Ответ: 1.

1 Определи, не вычисляя, сколько цифр будет в частном.

$49440 : 16$

$23976 : 108$

$187512 : 24$

Выполни вычисления.

Определи, не вычисляя, сколько цифр будет в частном.

• Для примера $49440 : 16$:

  Делитель $16$ — двузначное число. Первое неполное делимое — это наименьшее число из цифр делимого, которое больше или равно делителю. Первые две цифры делимого $49 > 16$, значит, первое неполное делимое — $49$. Оно даст первую цифру в частном. После $49$ в делимом остаются ещё 3 цифры ($4$, $4$, $0$). Каждая из них даст ещё по одной цифре в частном. Итого, в частном будет $1 + 3 = 4$ цифры.

  Ответ: 4 цифры.

• Для примера $23976 : 108$:

  Делитель $108$ — трёхзначное число. Первые три цифры делимого $239 > 108$, значит, первое неполное делимое — $239$. Оно даст первую цифру в частном. После $239$ в делимом остаются ещё 2 цифры ($7$, $6$). Следовательно, в частном будет $1 + 2 = 3$ цифры.

  Ответ: 3 цифры.

• Для примера $187512 : 24$:

  Делитель $24$ — двузначное число. Первые две цифры делимого $18 < 24$, поэтому берём три цифры. Первое неполное делимое — $187$. Оно даст первую цифру в частном. После $187$ в делимом остаются ещё 3 цифры ($5$, $1$, $2$). Следовательно, в частном будет $1 + 3 = 4$ цифры.

  Ответ: 4 цифры.

Выполни вычисления.

• $49440 : 16$

  Выполним деление столбиком:

  1. Делим первое неполное делимое $49$ на $16$. Получаем $3$. $3 \times 16 = 48$. Остаток $49 - 48 = 1$.

  2. Сносим следующую цифру $4$. Получаем $14$. Так как $14 < 16$, в частное пишем $0$.

  3. Сносим следующую цифру $4$. Получаем $144$. Делим $144$ на $16$. Получаем $9$. $9 \times 16 = 144$. Остаток $144 - 144 = 0$.

  4. Сносим $0$. Делим $0$ на $16$. Получаем $0$.

  Таким образом, $49440 : 16 = 3090$.

  Ответ: 3090.

• $23976 : 108$

  Выполним деление столбиком:

  1. Делим первое неполное делимое $239$ на $108$. Получаем $2$. $2 \times 108 = 216$. Остаток $239 - 216 = 23$.

  2. Сносим следующую цифру $7$. Получаем $237$. Делим $237$ на $108$. Получаем $2$. $2 \times 108 = 216$. Остаток $237 - 216 = 21$.

  3. Сносим следующую цифру $6$. Получаем $216$. Делим $216$ на $108$. Получаем $2$. $2 \times 108 = 216$. Остаток $216 - 216 = 0$.

  Таким образом, $23976 : 108 = 222$.

  Ответ: 222.

• $187512 : 24$

  Выполним деление столбиком:

  1. Делим первое неполное делимое $187$ на $24$. Получаем $7$. $7 \times 24 = 168$. Остаток $187 - 168 = 19$.

  2. Сносим следующую цифру $5$. Получаем $195$. Делим $195$ на $24$. Получаем $8$. $8 \times 24 = 192$. Остаток $195 - 192 = 3$.

  3. Сносим следующую цифру $1$. Получаем $31$. Делим $31$ на $24$. Получаем $1$. $1 \times 24 = 24$. Остаток $31 - 24 = 7$.

  4. Сносим следующую цифру $2$. Получаем $72$. Делим $72$ на $24$. Получаем $3$. $3 \times 24 = 72$. Остаток $72 - 72 = 0$.

  Таким образом, $187512 : 24 = 7813$.

  Ответ: 7813.

2 Выполни деление. Сделай проверку двумя способами.

$5328 : 148$ $70632 : 324$ $108108 : 297$

5 328 : 148

Решение (деление столбиком):
1. Определяем первое неполное делимое – 532. Делим 532 на 148. Чтобы подобрать цифру частного, можно округлить 148 до 150. $532 \div 150 \approx 3$. Проверяем: $148 \times 3 = 444$. Это меньше 532, значит, цифра 3 подходит. Записываем 3 в частное.
2. Находим остаток: $532 - 444 = 88$.
3. Сносим следующую цифру делимого (8), получаем второе неполное делимое 888.
4. Делим 888 на 148. Оценим: $888 \div 150 \approx 5$ или $6$. Проверим 6: $148 \times 6 = 888$. Цифра 6 подходит.
5. Находим остаток: $888 - 888 = 0$. Деление окончено.
Таким образом, $5328 : 148 = 36$.

Проверка (способ 1: умножение):
Чтобы проверить деление, можно частное умножить на делитель. В результате должно получиться делимое.
$36 \times 148$
1. Умножаем $148$ на $6$ (единицы): $148 \times 6 = 888$.
2. Умножаем $148$ на $3$ (десятки): $148 \times 3 = 444$ десятка, или $4440$.
3. Складываем полученные результаты: $888 + 4440 = 5328$.
Результат умножения $5328$ совпадает с делимым. Решение верное.

Проверка (способ 2: деление):
Второй способ проверки — разделить делимое на частное. В результате должен получиться делитель.
$5328 : 36$
1. Делим 53 на 36. Берем по 1. Остаток $53 - 36 = 17$.
2. Сносим 2, получаем 172. Делим 172 на 36. Берем по 4. $36 \times 4 = 144$. Остаток $172 - 144 = 28$.
3. Сносим 8, получаем 288. Делим 288 на 36. Берем по 8. $36 \times 8 = 288$. Остаток $288 - 288 = 0$.
Результат деления $148$, что равно исходному делителю. Решение верное.

Ответ: 36

70 632 : 324

Решение (деление столбиком):
1. Первое неполное делимое – 706. Делим 706 на 324. Берем по 2. $324 \times 2 = 648$. Записываем 2 в частное.
2. Находим остаток: $706 - 648 = 58$.
3. Сносим следующую цифру (3). Получаем 583. Делим 583 на 324. Берем по 1. $324 \times 1 = 324$. Записываем 1 в частное.
4. Находим остаток: $583 - 324 = 259$.
5. Сносим следующую цифру (2). Получаем 2592. Делим 2592 на 324. Чтобы подобрать цифру, посмотрим на последние цифры: делитель оканчивается на 4, делимое на 2. $4 \times 3 = 12$, $4 \times 8 = 32$. Попробуем 8. $324 \times 8 = 2592$. Цифра 8 подходит. Записываем 8 в частное.
6. Находим остаток: $2592 - 2592 = 0$. Деление окончено.
Таким образом, $70632 : 324 = 218$.

Проверка (способ 1: умножение):
Умножим частное на делитель: $218 \times 324$.
1. Умножаем $218$ на $4$ (единицы): $218 \times 4 = 872$.
2. Умножаем $218$ на $2$ (десятки): $218 \times 2 = 436$ десятков, или $4360$.
3. Умножаем $218$ на $3$ (сотни): $218 \times 3 = 654$ сотни, или $65400$.
4. Складываем результаты: $872 + 4360 + 65400 = 70632$.
Результат $70632$ совпадает с делимым. Решение верное.

Проверка (способ 2: деление):
Разделим делимое на частное: $70632 : 218$.
1. Делим 706 на 218. Берем по 3. $218 \times 3 = 654$. Остаток $706 - 654 = 52$.
2. Сносим 3, получаем 523. Делим 523 на 218. Берем по 2. $218 \times 2 = 436$. Остаток $523 - 436 = 87$.
3. Сносим 2, получаем 872. Делим 872 на 218. Берем по 4. $218 \times 4 = 872$. Остаток $872 - 872 = 0$.
Результат деления $324$ совпадает с исходным делителем. Решение верное.

Ответ: 218

108 108 : 297

Решение (деление столбиком):
1. Первое неполное делимое – 1081. Делим 1081 на 297. Округлим 297 до 300. $1081 \div 300 \approx 3$. Проверяем: $297 \times 3 = 891$. Записываем 3 в частное.
2. Находим остаток: $1081 - 891 = 190$.
3. Сносим следующую цифру (0). Получаем 1900. Делим 1900 на 297. $1900 \div 300 \approx 6$. Проверяем: $297 \times 6 = 1782$. Записываем 6 в частное.
4. Находим остаток: $1900 - 1782 = 118$.
5. Сносим следующую цифру (8). Получаем 1188. Делим 1188 на 297. $1200 \div 300 = 4$. Проверяем: $297 \times 4 = 1188$. Записываем 4 в частное.
6. Находим остаток: $1188 - 1188 = 0$. Деление окончено.
Таким образом, $108108 : 297 = 364$.

Проверка (способ 1: умножение):
Умножим частное на делитель: $364 \times 297$.
1. Умножаем $364$ на $7$ (единицы): $364 \times 7 = 2548$.
2. Умножаем $364$ на $9$ (десятки): $364 \times 9 = 3276$ десятков, или $32760$.
3. Умножаем $364$ на $2$ (сотни): $364 \times 2 = 728$ сотен, или $72800$.
4. Складываем результаты: $2548 + 32760 + 72800 = 108108$.
Результат $108108$ совпадает с делимым. Решение верное.

Проверка (способ 2: деление):
Разделим делимое на частное: $108108 : 364$.
1. Делим 1081 на 364. Берем по 2. $364 \times 2 = 728$. Остаток $1081 - 728 = 353$.
2. Сносим 0, получаем 3530. Делим 3530 на 364. Берем по 9. $364 \times 9 = 3276$. Остаток $3530 - 3276 = 254$.
3. Сносим 8, получаем 2548. Делим 2548 на 364. Берем по 7. $364 \times 7 = 2548$. Остаток $2548 - 2548 = 0$.
Результат деления $297$ совпадает с исходным делителем. Решение верное.

Ответ: 364