Страница 118, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

7 Назови и запиши числа, в которых: 5 десятков тысяч; 5 сотен тысяч; 2 десятка тысяч; 7 сотен тысяч; 9 сотен тысяч; 10 сотен тысяч.

5 десятков тысяч
Десяток тысяч — это 10 000. Чтобы найти число, в котором 5 десятков тысяч, нужно 5 умножить на 10 000.
$5 \times 10 \ 000 = 50 \ 000$
Это число — пятьдесят тысяч.
Ответ: 50 000.

5 сотен тысяч
Сотня тысяч — это 100 000. Чтобы найти число, в котором 5 сотен тысяч, нужно 5 умножить на 100 000.
$5 \times 100 \ 000 = 500 \ 000$
Это число — пятьсот тысяч.
Ответ: 500 000.

2 десятка тысяч
Десяток тысяч — это 10 000. Чтобы найти число, в котором 2 десятка тысяч, нужно 2 умножить на 10 000.
$2 \times 10 \ 000 = 20 \ 000$
Это число — двадцать тысяч.
Ответ: 20 000.

7 сотен тысяч
Сотня тысяч — это 100 000. Чтобы найти число, в котором 7 сотен тысяч, нужно 7 умножить на 100 000.
$7 \times 100 \ 000 = 700 \ 000$
Это число — семьсот тысяч.
Ответ: 700 000.

9 сотен тысяч
Сотня тысяч — это 100 000. Чтобы найти число, в котором 9 сотен тысяч, нужно 9 умножить на 100 000.
$9 \times 100 \ 000 = 900 \ 000$
Это число — девятьсот тысяч.
Ответ: 900 000.

10 сотен тысяч
Сотня тысяч — это 100 000. Чтобы найти число, в котором 10 сотен тысяч, нужно 10 умножить на 100 000.
$10 \times 100 \ 000 = 1 \ 000 \ 000$
Это число — один миллион.
Ответ: 1 000 000.

8 Вычисли в квадратных сантиметрах площадь закрашенной фигуры. Выполни задание разными способами.

Способ 1: По формуле площади ромба (квадрата) через диагонали

Диагонали ромба равны $d_1 = 8$ см и $d_2 = 8$ см.

Площадь ромба $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = \frac{64}{2} = 32$ см$^2$.

Способ 2: Вычитание площади угловых треугольников из площади описанного квадрата

Закрашенная фигура вписана в квадрат со стороной 8 см.

Площадь описанного квадрата $S_{\text{квадрата}} = 8 \cdot 8 = 64$ см$^2$.

По углам описанного квадрата образовались 4 одинаковых прямоугольных треугольника, каждый с катетами 4 см.

Площадь одного такого треугольника $S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = \frac{16}{2} = 8$ см$^2$.

Общая площадь четырех угловых треугольников $S_{\text{4 треугольников}} = 4 \cdot 8 = 32$ см$^2$.

Площадь закрашенной фигуры $S = S_{\text{квадрата}} - S_{\text{4 треугольников}} = 64 - 32 = 32$ см$^2$.

Способ 3: Разделение фигуры на два треугольника

Закрашенную фигуру можно разделить на два одинаковых треугольника, проведя горизонтальную или вертикальную диагональ.

Возьмем, например, горизонтальную диагональ как основание. Длина основания каждого треугольника будет 8 см, а высота каждого треугольника будет 4 см.

Площадь одного треугольника $S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = \frac{32}{2} = 16$ см$^2$.

Площадь закрашенной фигуры $S = 2 \cdot S_{\text{треугольника}} = 2 \cdot 16 = 32$ см$^2$.

Для решения задачи необходимо определить масштаб сетки. Стандартная тетрадная клетка имеет сторону 0,5 см. Примем этот масштаб. Тогда площадь одной клетки составляет $0,5 \text{ см} \times 0,5 \text{ см} = 0,25 \text{ см}^2$.

Способ 1: Использование формулы площади ромба

Закрашенная фигура является ромбом (а также квадратом), площадь которого можно найти через его диагонали по формуле $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$.

Измерим диагонали фигуры по клеткам. Горизонтальная диагональ $d_1$ равна 10 клеткам. Вертикальная диагональ $d_2$ также равна 10 клеткам.

Переведем длины диагоналей в сантиметры: $d_1 = 10 \times 0,5 \text{ см} = 5 \text{ см}$, $d_2 = 10 \times 0,5 \text{ см} = 5 \text{ см}$.

Теперь вычислим площадь: $S = \frac{1}{2} \times 5 \text{ см} \times 5 \text{ см} = \frac{25}{2} \text{ см}^2 = 12,5 \text{ см}^2$.

Ответ: $12,5 \text{ см}^2$.

Способ 2: Метод достраивания до квадрата

Опишем вокруг закрашенной фигуры большой квадрат, стороны которого идут вдоль линий сетки. Сторона этого квадрата будет равна 10 клеткам, или $10 \times 0,5 \text{ см} = 5 \text{ см}$.

Площадь большого квадрата равна $S_{большой} = 5 \text{ см} \times 5 \text{ см} = 25 \text{ см}^2$.

Чтобы найти площадь закрашенной фигуры, нужно из площади большого квадрата вычесть площади четырех одинаковых прямоугольных треугольников, расположенных по углам. Катеты каждого такого треугольника равны 5 клеткам, или $5 \times 0,5 \text{ см} = 2,5 \text{ см}$.

Площадь одного углового треугольника: $S_{треуг} = \frac{1}{2} \times 2,5 \text{ см} \times 2,5 \text{ см} = 3,125 \text{ см}^2$.

Суммарная площадь четырех треугольников: $S_{4 \times треуг} = 4 \times 3,125 \text{ см}^2 = 12,5 \text{ см}^2$.

Площадь закрашенной фигуры: $S = S_{большой} - S_{4 \times треуг} = 25 \text{ см}^2 - 12,5 \text{ см}^2 = 12,5 \text{ см}^2$.

Ответ: $12,5 \text{ см}^2$.

Способ 3: Через нахождение стороны квадрата

Закрашенная фигура является квадратом, и ее площадь можно найти по формуле $S = a^2$, где $a$ — длина стороны квадрата.

Сторону квадрата можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного треугольника, катеты которого лежат на линиях сетки. Длина каждого катета составляет 5 клеток.

В сантиметрах длина катетов: $5 \times 0,5 \text{ см} = 2,5 \text{ см}$.

По теореме Пифагора, квадрат длины стороны ($a^2$) равен сумме квадратов длин катетов: $a^2 = (2,5 \text{ см})^2 + (2,5 \text{ см})^2 = 6,25 \text{ см}^2 + 6,25 \text{ см}^2 = 12,5 \text{ см}^2$.

Таким образом, площадь квадрата $S = a^2 = 12,5 \text{ см}^2$.

Ответ: $12,5 \text{ см}^2$.

9. Две бригады плотников получили заказ на изготовление 680 ящиков. Одна бригада работала 2 дня, а другая — 3 дня. Сколько ящиков изготовила каждая бригада, если в день все бригады изготавливали ящиков поровну?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько последовательных действий.

1. Найдем общее количество дней, которое работали обе бригады.
Первая бригада работала 2 дня, а вторая — 3 дня. Чтобы узнать общее количество отработанных дней, нужно сложить эти значения.
$2 + 3 = 5$ (дней)

2. Рассчитаем, сколько ящиков изготавливала одна бригада за один день.
По условию, производительность у бригад была одинаковой. Чтобы найти дневную выработку, разделим общее количество изготовленных ящиков на общее количество отработанных дней.
$680 / 5 = 136$ (ящиков в день)

3. Определим, сколько ящиков изготовила каждая бригада.
Теперь, зная дневную производительность, можно вычислить общее количество ящиков для каждой бригады, умножив их производительность на количество отработанных дней.
- Первая бригада (работала 2 дня): $136 * 2 = 272$ (ящика).
- Вторая бригада (работала 3 дня): $136 * 3 = 408$ (ящиков).

Проверим правильность вычислений, сложив количество ящиков, изготовленных обеими бригадами: $272 + 408 = 680$. Результат совпадает с общим заказом.

Ответ: первая бригада изготовила 272 ящика, а вторая бригада — 408 ящиков.

10 Фигура, изображённая на рисунке, составлена из спичек. Попробуй из неё убрать 4 спички, не трогая остальные, так, чтобы осталось только 5 квадратов.

Данная задача является классической головоломкой со спичками. Цель — изменить фигуру, убрав определённое количество спичек, чтобы получить новую фигуру с заданными свойствами.

1. Анализ исходной фигуры

Изначально мы имеем квадратную сетку размером $3 \times 3$, собранную из спичек. Эта фигура состоит из $24$ спичек и содержит:

• $9$ маленьких квадратов ($1 \times 1$).
• $4$ средних квадрата ($2 \times 2$).
• $1$ большой квадрат ($3 \times 3$).

Всего в исходной фигуре $9 + 4 + 1 = 14$ квадратов.

2. Условие задачи

Необходимо убрать ровно $4$ спички таким образом, чтобы в итоговой фигуре осталось ровно $5$ квадратов.

3. Решение

Чтобы из $9$ маленьких квадратов получить $5$, нужно разрушить $4$ квадрата. Если убирать спички с внешней стороны фигуры, каждая убранная спичка разрушает один квадрат. Если убирать внутреннюю спичку, разрушаются сразу два смежных квадрата. Оптимальным решением будет убрать $4$ внешние спички.

Нужно убрать по одной центральной спичке с каждой из четырёх сторон большого квадрата. А именно:

• Среднюю спичку на верхней стороне.
• Среднюю спичку на нижней стороне.
• Среднюю спичку на левой стороне.
• Среднюю спичку на правой стороне.

На схеме ниже показано, как будет выглядеть фигура после удаления указанных четырёх спичек:

4. Проверка результата

Давайте посчитаем количество квадратов в получившейся фигуре. Мы видим, что остались нетронутыми:

• $4$ угловых квадрата.
• $1$ центральный квадрат.

Итого: $4 + 1 = 5$ квадратов. Квадраты большего размера ($2 \times 2$ и $3 \times 3$) были разрушены, так как мы убрали часть спичек с их сторон. Таким образом, условие задачи выполнено.

Ответ: Нужно убрать четыре средние спички с каждой из внешних сторон большого квадрата. В результате останется фигура, состоящая из пяти маленьких квадратов: четырёх по углам и одного в центре.

1 Определи, не вычисляя, сколько цифр будет в частном.

$99414 : 126$ $304848 : 87$ $1000000 : 125$

Выполни вычисления.

99 414 : 126

Сначала определим, сколько цифр будет в частном. Делитель 126 — трёхзначное число. Первое неполное делимое должно быть не меньше 126. Берём первые три цифры делимого 99 414 — это число 994. Так как $994 > 126$, то 994 является первым неполным делимым и даст первую цифру частного. После 994 в делимом остаются ещё две цифры (1 и 4). Они дадут ещё две цифры частного. Таким образом, в частном будет $1+2=3$ цифры.

Теперь выполним вычисления. Разделим 99 414 на 126 столбиком:

1. Делим 994 на 126. Получаем 7. $126 \times 7 = 882$. Находим остаток: $994 - 882 = 112$.

2. К остатку 112 сносим следующую цифру 1, получаем 1121. Делим 1121 на 126. Получаем 8. $126 \times 8 = 1008$. Находим остаток: $1121 - 1008 = 113$.

3. К остатку 113 сносим следующую цифру 4, получаем 1134. Делим 1134 на 126. Получаем 9. $126 \times 9 = 1134$. Остаток: $1134 - 1134 = 0$.

Ответ: в частном будет 3 цифры; $99 414 : 126 = 789$.

304 848 : 87

Определим количество цифр в частном. Делитель 87 — двузначное число. Берём первые две цифры делимого — 30. Так как $30 < 87$, этого недостаточно. Берём три цифры — 304. Так как $304 > 87$, значит, 304 — первое неполное делимое. Оно даст первую цифру частного. После 304 в делимом остаются ещё три цифры (8, 4, 8). Они дадут ещё три цифры. Всего в частном будет $1+3=4$ цифры.

Выполним вычисления столбиком:

1. Делим 304 на 87. Получаем 3. $87 \times 3 = 261$. Остаток: $304 - 261 = 43$.

2. К остатку 43 сносим 8, получаем 438. Делим 438 на 87. Получаем 5. $87 \times 5 = 435$. Остаток: $438 - 435 = 3$.

3. К остатку 3 сносим 4, получаем 34. Так как $34 < 87$, в частное пишем 0. Остаток 34.

4. К остатку 34 сносим 8, получаем 348. Делим 348 на 87. Получаем 4. $87 \times 4 = 348$. Остаток: $348 - 348 = 0$.

Ответ: в частном будет 4 цифры; $304 848 : 87 = 3504$.

1 000 000 : 125

Определим количество цифр в частном. Делитель 125 — трёхзначное число. Берём первые три цифры делимого — 100. Так как $100 < 125$, этого недостаточно. Берём четыре цифры — 1000. Так как $1000 > 125$, значит, 1000 — первое неполное делимое. Оно даст первую цифру частного. После 1000 в делимом остаются ещё три нуля. Они дадут ещё три цифры. Всего в частном будет $1+3=4$ цифры.

Выполним вычисления. Можно заметить, что $125 \times 8 = 1000$. Используем это свойство:

$1 000 000 : 125 = (1000 \times 1000) : 125 = (1000 : 125) \times 1000 = 8 \times 1000 = 8000$.

При делении в столбик: сначала делим 1000 на 125, получаем 8. Оставшиеся три нуля из делимого переносим в частное. Получаем 8000.

Ответ: в частном будет 4 цифры; $1 000 000 : 125 = 8000$.

$\frac{1}{2}$ м ◯ $\frac{3}{5}$ м

$\frac{7}{12}$ ч ◯ $\frac{1}{3}$ ч

$\frac{8}{25}$ р. ◯ $\frac{1}{4}$ р.

Сравнение $\frac{1}{2}$ м и $\frac{3}{5}$ м

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю. Для дробей $\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{5}$ наименьшим общим знаменателем будет 10, так как это наименьшее общее кратное чисел 2 и 5.

Приведем дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 10, умножив ее числитель и знаменатель на 5:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10}$

Приведем дробь $\frac{3}{5}$ к знаменателю 10, умножив ее числитель и знаменатель на 2:

$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10}$

Теперь сравним полученные дроби: $\frac{5}{10}$ и $\frac{6}{10}$. Поскольку знаменатели равны, сравниваем числители. Так как $5 < 6$, то и $\frac{5}{10} < \frac{6}{10}$.

Таким образом, $\frac{1}{2}$ м < $\frac{3}{5}$ м.

Ответ: $\frac{1}{2}$ м < $\frac{3}{5}$ м

Сравнение $\frac{7}{12}$ ч и $\frac{1}{3}$ ч

Для сравнения дробей $\frac{7}{12}$ и $\frac{1}{3}$ приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12 и 3 - это 12.

Дробь $\frac{7}{12}$ уже имеет нужный знаменатель.

Приведем дробь $\frac{1}{3}$ к знаменателю 12, умножив ее числитель и знаменатель на 4:

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}$

Теперь сравним дроби $\frac{7}{12}$ и $\frac{4}{12}$. Так как знаменатели одинаковы, сравниваем числители. Поскольку $7 > 4$, то и $\frac{7}{12} > \frac{4}{12}$.

Следовательно, $\frac{7}{12}$ ч > $\frac{1}{3}$ ч.

Ответ: $\frac{7}{12}$ ч > $\frac{1}{3}$ ч

Сравнение $\frac{8}{25}$ р. и $\frac{1}{4}$ р.

Чтобы сравнить дроби $\frac{8}{25}$ и $\frac{1}{4}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для 25 и 4 будет их произведение, то есть $25 \cdot 4 = 100$.

Приведем дробь $\frac{8}{25}$ к знаменателю 100, умножив ее числитель и знаменатель на 4:

$\frac{8}{25} = \frac{8 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{32}{100}$

Приведем дробь $\frac{1}{4}$ к знаменателю 100, умножив ее числитель и знаменатель на 25:

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100}$

Теперь сравним полученные дроби: $\frac{32}{100}$ и $\frac{25}{100}$. Сравниваем числители, так как знаменатели равны. Поскольку $32 > 25$, то и $\frac{32}{100} > \frac{25}{100}$.

Таким образом, $\frac{8}{25}$ р. > $\frac{1}{4}$ р.

Ответ: $\frac{8}{25}$ р. > $\frac{1}{4}$ р.

3 Моторная лодка проплыла по течению реки 48 км за 3 ч, а против течения за 4 ч. Найди скорость течения реки.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $V_{собст}$ – собственная скорость моторной лодки (скорость в стоячей воде).
• $V_{теч}$ – скорость течения реки.
• $V_{по~теч}$ – скорость лодки по течению реки, которая равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения: $V_{по~теч} = V_{собст} + V_{теч}$.
• $V_{против~теч}$ – скорость лодки против течения реки, которая равна разности собственной скорости лодки и скорости течения: $V_{против~теч} = V_{собст} - V_{теч}$.

1. Сначала найдем скорость лодки по течению. Известно, что лодка прошла расстояние $S = 48$ км за время $t_1 = 3$ ч. Скорость находится по формуле $V = S/t$.

$V_{по~теч} = \frac{48 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 16 \text{ км/ч}$

2. Теперь найдем скорость лодки против течения. Расстояние то же, $S = 48$ км, а время в пути составило $t_2 = 4$ ч.

$V_{против~теч} = \frac{48 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 12 \text{ км/ч}$

3. Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} V_{собст} + V_{теч} = 16 \\ V_{собст} - V_{теч} = 12 \end{cases}$

4. Чтобы найти скорость течения ($V_{теч}$), вычтем второе уравнение из первого:

$(V_{собст} + V_{теч}) - (V_{собст} - V_{теч}) = 16 - 12$

$V_{собст} + V_{теч} - V_{собст} + V_{теч} = 4$

$2 \cdot V_{теч} = 4$

$V_{теч} = \frac{4}{2}$

$V_{теч} = 2 \text{ км/ч}$

Таким образом, скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Ответ: 2 км/ч.

4 Сколько точек пересечения могут иметь прямая и окружность?

Объясни с помощью чертежа.

Взаимное расположение прямой и окружности на плоскости определяет количество их общих точек. Существует три возможных случая.

Это происходит, когда прямая проходит на некотором расстоянии от окружности, не касаясь и не пересекая её. В этом случае расстояние от центра окружности до прямой, обозначим его $d$, больше радиуса окружности $r$. Математически это записывается как $d > r$.

Ответ: 0 точек.

Это происходит, когда прямая касается окружности в одной-единственной точке. Такая прямая называется касательной к окружности. В этом случае расстояние от центра окружности до прямой $d$ в точности равно радиусу $r$. Математически это записывается как $d = r$.

Ответ: 1 точка.

Это происходит, когда прямая пересекает окружность, проходя через неё. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние от центра окружности до прямой $d$ меньше радиуса $r$. Математически это записывается как $d < r$.

Ответ: 2 точки.

5 Составь задачу по таблице и реши её.

В таблице приведены следующие данные:

Масса одного мешка

Для 1-й машины: ?

Для 2-й машины: ?

Масса одного мешка для 1-й и 2-й машины одинаковая.

Количество мешков

Для 1-й машины: 45

Для 2-й машины: 58

Масса всех мешков

Для 1-й машины: 2475 кг

Для 2-й машины: ?

Общая масса всех мешков (для 1-й и 2-й машины вместе) составляет 5665 кг.

Таким образом, $2475 \text{ кг} + \text{Масса всех мешков для 2-й машины} = 5665 \text{ кг}$.

Составь задачу по таблице

С поля на двух машинах вывозили картофель в одинаковых по массе мешках. На первую машину погрузили 45 мешков, общая масса которых составила 2 475 кг. На вторую машину погрузили 58 таких же мешков. Общая масса картофеля на двух машинах составила 5 665 кг. Какова масса одного мешка и какова общая масса картофеля на второй машине?

Реши её

Для решения задачи необходимо выполнить несколько действий.

1. Сначала найдем массу одного мешка. Для этого общую массу картофеля на первой машине разделим на количество мешков:

$2475 / 45 = 55$ (кг) – масса одного мешка.

2. Теперь, зная массу одного мешка, найдем общую массу картофеля на второй машине. Для этого умножим массу одного мешка на количество мешков на второй машине:

$55 * 58 = 3190$ (кг) – масса всех мешков на второй машине.

3. Выполним проверку. Сложим массу картофеля с первой и второй машины, чтобы убедиться, что она равна общей массе, указанной в условии:

$2475 + 3190 = 5665$ (кг).

Результат совпадает с данными из таблицы, следовательно, задача решена верно.

Ответ: масса одного мешка – 55 кг, масса всех мешков на второй машине – 3190 кг.

6 По плану токарю нужно изготовить 18 деталей за 6 ч. Но за счёт насадки нового резца токарь работал быстрее, чем обычно, успевая вытачивать одну деталь за 15 мин. Сколько деталей сверх плана может сделать токарь за счёт сэкономленного времени?

Для решения задачи выполним последовательно несколько действий.

1. Найдем время, которое токарь должен был потратить на изготовление одной детали по плану.

Сначала переведем общее время из часов в минуты, зная, что в 1 часе 60 минут:

$6 \text{ ч} = 6 \times 60 \text{ мин} = 360 \text{ мин}$

Теперь разделим общее время на плановое количество деталей:

$360 \text{ мин} \div 18 \text{ деталей} = 20 \text{ мин/деталь}$

Таким образом, по плану на изготовление одной детали отводилось 20 минут.

2. Рассчитаем, сколько времени токарь потратит на изготовление 18 деталей с новой скоростью.

С новым резцом токарь тратит на одну деталь 15 минут. На изготовление 18 деталей ему понадобится:

$18 \text{ деталей} \times 15 \text{ мин/деталь} = 270 \text{ мин}$

3. Определим, сколько времени токарь сэкономит.

Для этого вычтем из планового времени фактическое время, затраченное на работу:

$360 \text{ мин} - 270 \text{ мин} = 90 \text{ мин}$

Токарь сэкономит 90 минут рабочего времени.

4. Вычислим, сколько деталей сверх плана он сможет изготовить за сэкономленное время.

Разделим сэкономленное время на время, необходимое для изготовления одной детали с новой скоростью:

$90 \text{ мин} \div 15 \text{ мин/деталь} = 6 \text{ деталей}$

Ответ: за счёт сэкономленного времени токарь может сделать 6 деталей сверх плана.

7 Вычисли значения выражений.

$126150 : 3 - (10800 : 54 + 207 \cdot 324 : 46 - 1058)$

$(140530 : 611 \cdot 170) : 100 - (11829 - 23 \cdot 506)$

$126150 : 3 - (10800 : 54 + 207 \cdot 324 : 46 - 1058)$

Решим выражение по действиям, соблюдая их правильный порядок: сначала действия в скобках, затем деление и вычитание слева направо.

1. Выполним действия в скобках: $(10800 : 54 + 207 \cdot 324 : 46 - 1058)$. Внутри скобок сначала выполняем умножение и деление слева направо, а затем сложение и вычитание.

1) $10800 : 54 = 200$

2) $207 \cdot 324 = 67068$

3) $67068 : 46 = 1458$

4) $200 + 1458 = 1658$

5) $1658 - 1058 = 600$

2. Теперь подставим результат вычислений в скобках в основное выражение:

6) $126150 : 3 = 42050$

7) $42050 - 600 = 41450$

Ответ: 41450

$(140530 : 611 \cdot 170) : 100 - (11829 - 23 \cdot 506)$

Решим второе выражение по действиям. Сначала вычислим значения в каждой паре скобок, а затем выполним оставшиеся операции деления и вычитания.

1. Вычислим значение в первых скобках: $(140530 : 611 \cdot 170)$.

1) $140530 : 611 = 230$

2) $230 \cdot 170 = 39100$

2. Вычислим значение во вторых скобках: $(11829 - 23 \cdot 506)$.

3) $23 \cdot 506 = 11638$

4) $11829 - 11638 = 191$

3. Подставим полученные значения в исходное выражение и выполним оставшиеся действия:

5) $39100 : 100 = 391$

6) $391 - 191 = 200$

Ответ: 200

8 1) Могут ли диагонали прямоугольника разбить его на 4 равных треугольника? Если могут, то при каком условии?

2) Могут ли диаметры окружности разбить её на 4 равные части? Если могут, то при каком условии?

1) Да, диагонали прямоугольника могут разбить его на 4 равных треугольника. Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ с диагоналями $AC$ и $BD$, пересекающимися в точке $O$.

Диагонали любого прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO = BO = CO = DO$. Это означает, что все четыре треугольника, на которые диагонали делят прямоугольник ($ΔAOB$, $ΔBOC$, $ΔCOD$ и $ΔDOA$), являются равнобедренными. При этом противолежащие треугольники равны между собой (например, $ΔAOB = ΔCOD$ по трем сторонам, так как $AO=CO$, $BO=DO$ и $AB=CD$).

Чтобы все четыре треугольника были равны, необходимо, чтобы были равны и смежные треугольники, например, $ΔAOB$ и $ΔBOC$. Сравним их стороны: у них есть общая сторона $BO$, и стороны $AO$ и $CO$ равны. Для того чтобы эти треугольники были равны по третьему признаку (по трем сторонам), необходимо равенство их третьих сторон: $AB = BC$.

Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, является квадратом. В этом случае диагонали будут не только равны, но и перпендикулярны, и все четыре образовавшихся треугольника будут равными равнобедренными прямоугольными треугольниками.

Ответ: да, могут, при условии, что этот прямоугольник является квадратом.

2) Да, диаметры окружности могут разбить её на 4 равные части. Для этого необходимо провести два диаметра.

Два диаметра, пересекаясь в центре окружности, разделяют круг на четыре сектора. Площадь сектора прямо пропорциональна его центральному углу. Чтобы все четыре части (сектора) были равны по площади, их центральные углы также должны быть равны.

Полный угол вокруг центра окружности составляет $360^\circ$. Если разделить его на четыре равные части, то величина каждого центрального угла будет $360^\circ / 4 = 90^\circ$.

Таким образом, для разделения круга на четыре равные части необходимо, чтобы угол между двумя проведенными диаметрами был прямым, то есть диаметры должны быть взаимно перпендикулярны.

Ответ: да, могут, при условии, что эти диаметры взаимно перпендикулярны.

9 Вася подсчитал, что если каждая девочка принесёт по 3 кг макулатуры, а каждый мальчик — по 5 кг, то все 25 учащихся класса соберут 105 кг макулатуры. Сколько мальчиков и сколько девочек в классе?

Эту задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1: Решение с помощью системы уравнений

Пусть $x$ — количество девочек, а $y$ — количество мальчиков в классе.
Из условия задачи мы можем составить два уравнения:
1. Общее количество учащихся: $x + y = 25$
2. Общее количество собранной макулатуры: $3x + 5y = 105$

Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 25 \\ 3x + 5y = 105 \end{cases} $

Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 25 - y$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$3(25 - y) + 5y = 105$

Теперь решим получившееся уравнение:
$75 - 3y + 5y = 105$
$75 + 2y = 105$
$2y = 105 - 75$
$2y = 30$
$y = 15$

Мы нашли, что в классе 15 мальчиков. Теперь найдем количество девочек:
$x = 25 - 15 = 10$
В классе 10 девочек.

Проверка: $10 \text{ девочек} \times 3 \text{ кг} + 15 \text{ мальчиков} \times 5 \text{ кг} = 30 + 75 = 105$ кг. Всё верно.

Ответ: в классе 15 мальчиков и 10 девочек.

Способ 2: Арифметический способ (метод предположения)

Предположим, что все 25 учащихся в классе — это девочки. Тогда все вместе они собрали бы:
$25 \times 3 = 75$ кг макулатуры.

Однако по условию задачи было собрано 105 кг. Найдем разницу:
$105 - 75 = 30$ кг.

Эта разница в 30 кг возникла из-за того, что в классе есть мальчики, и каждый из них принес на $5 - 3 = 2$ кг больше, чем девочка.

Чтобы найти количество мальчиков, нужно общую разницу в весе разделить на разницу, которую дает один мальчик по сравнению с одной девочкой:
$30 \div 2 = 15$
Следовательно, в классе 15 мальчиков.

Теперь найдем количество девочек:
$25 - 15 = 10$
Следовательно, в классе 10 девочек.

Ответ: в классе 15 мальчиков и 10 девочек.