Страница 82, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

6 Выполни действия.

$320 - 306 : 6$

$536 : (68 : 17)$

$610 - 497 : 7 + 48$

$(150 - 125 : 5) \cdot 8$

$(700 - 285 : 3 \cdot 4) : 2$

$27 \cdot (840 : 7 - 19 \cdot 6)$

320 – 306 : 6

Согласно порядку выполнения действий, сначала выполняем деление, а затем вычитание.

1. Делим 306 на 6: $306 : 6 = 51$.
2. Вычитаем полученный результат из 320: $320 - 51 = 269$.

Ответ: 269

536 : (68 : 17)

Сначала выполняем действие в скобках, а затем деление.

1. Делим 68 на 17: $68 : 17 = 4$.
2. Делим 536 на результат действия в скобках: $536 : 4 = 134$.

Ответ: 134

610 – 497 : 7 + 48

Сначала выполняем деление, а затем вычитание и сложение по порядку слева направо.

1. Делим 497 на 7: $497 : 7 = 71$.
2. Вычитаем из 610 полученный результат: $610 - 71 = 539$.
3. Прибавляем 48: $539 + 48 = 587$.

Ответ: 587

(150 – 125 : 5) · 8

Сначала выполняем действия в скобках (сначала деление, потом вычитание), а затем умножение.

1. В скобках делим 125 на 5: $125 : 5 = 25$.
2. Вычитаем результат из 150: $150 - 25 = 125$.
3. Умножаем результат на 8: $125 \cdot 8 = 1000$.

Ответ: 1000

(700 – 285 : 3 · 4) : 2

Сначала выполняем действия в скобках (деление и умножение слева направо, затем вычитание), а после этого деление.

1. В скобках делим 285 на 3: $285 : 3 = 95$.
2. Умножаем результат на 4: $95 \cdot 4 = 380$.
3. Вычитаем из 700 полученное значение: $700 - 380 = 320$.
4. Делим результат на 2: $320 : 2 = 160$.

Ответ: 160

27 · (840 : 7 – 19 · 6)

Сначала выполняем действия в скобках (сначала деление и умножение, затем вычитание), а после этого умножение.

1. В скобках делим 840 на 7: $840 : 7 = 120$.
2. В скобках умножаем 19 на 6: $19 \cdot 6 = 114$.
3. Вычитаем второй результат из первого: $120 - 114 = 6$.
4. Умножаем 27 на полученный результат: $27 \cdot 6 = 162$.

Ответ: 162

7 Заполни пропуски в таблице, выполнив вычисления.

Длина прямоугольника: 28 дм, 31 дм, 16 дм, 25 дм, 19 дм, 44 дм

Ширина прямоугольника: 22 дм, 19 дм, 34 дм, 25 дм, 31 дм, 6 дм

Периметр прямоугольника: 100 дм, 100 дм, 100 дм, 100 дм, 100 дм, 100 дм

Площадь прямоугольника: 616 $дм^2$, 589 $дм^2$, 544 $дм^2$, 625 $дм^2$, 589 $дм^2$, 264 $дм^2$

Сравни результаты в третьей и четвёртой строках таблицы. Какой вывод можно сделать? При каких размерах прямоугольник имеет наибольшую площадь? Как называется такой прямоугольник?

Сначала выполним вычисления, чтобы заполнить пропуски в таблице. Будем использовать формулу периметра прямоугольника $P = 2 \cdot (a + b)$ и формулу площади $S = a \cdot b$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина.

1. Первый столбец:

Дано: Длина $a = 28$ дм, Периметр $P = 100$ дм.

Находим ширину $b$ из формулы периметра: $100 = 2 \cdot (28 + b)$.

Делим обе части на 2: $50 = 28 + b$.

Вычисляем ширину: $b = 50 - 28 = 22$ дм.

Теперь находим площадь $S$: $S = 28 \cdot 22 = 616 \text{ дм}^2$.

В таблицу вписываем: Ширина – 22 дм, Площадь – 616 дм².

2. Второй столбец:

Дано: Длина $a = 31$ дм, Ширина $b = 19$ дм.

Находим периметр $P$: $P = 2 \cdot (31 + 19) = 2 \cdot 50 = 100$ дм.

Находим площадь $S$: $S = 31 \cdot 19 = 589 \text{ дм}^2$.

В таблицу вписываем: Периметр – 100 дм, Площадь – 589 дм².

3. Третий столбец:

Дано: Длина $a = 16$ дм, Ширина $b = 34$ дм.

Находим периметр $P$: $P = 2 \cdot (16 + 34) = 2 \cdot 50 = 100$ дм.

Находим площадь $S$: $S = 16 \cdot 34 = 544 \text{ дм}^2$.

В таблицу вписываем: Периметр – 100 дм, Площадь – 544 дм².

4. Четвёртый столбец:

Дано: Длина $a = 25$ дм, Ширина $b = 25$ дм.

Находим периметр $P$: $P = 2 \cdot (25 + 25) = 2 \cdot 50 = 100$ дм.

Находим площадь $S$: $S = 25 \cdot 25 = 625 \text{ дм}^2$.

В таблицу вписываем: Периметр – 100 дм, Площадь – 625 дм².

5. Пятый столбец:

Дано: Длина $a = 19$ дм, Ширина $b = 31$ дм.

Находим периметр $P$: $P = 2 \cdot (19 + 31) = 2 \cdot 50 = 100$ дм.

Находим площадь $S$: $S = 19 \cdot 31 = 589 \text{ дм}^2$.

В таблицу вписываем: Периметр – 100 дм, Площадь – 589 дм².

6. Шестой столбец:

Дано: Длина $a = 44$ дм, Ширина $b = 6$ дм.

Находим периметр $P$: $P = 2 \cdot (44 + 6) = 2 \cdot 50 = 100$ дм.

Находим площадь $S$: $S = 44 \cdot 6 = 264 \text{ дм}^2$.

В таблицу вписываем: Периметр – 100 дм, Площадь – 264 дм².

Теперь ответим на вопросы.

Сравни результаты в третьей и четвёртой строках таблицы. Какой вывод можно сделать?

В третьей строке (Периметр) все значения одинаковы и равны 100 дм. В то же время в четвёртой строке (Площадь) мы видим разные значения: 616, 589, 544, 625, 589, 264 дм². Это показывает, что при одинаковом периметре площадь прямоугольников может быть разной.

Ответ: Вывод: прямоугольники с одинаковым периметром могут иметь разную площадь.

При каких размерах прямоугольник имеет наибольшую площадь?

Сравнивая полученные значения площадей, мы видим, что самое большое значение – 625 дм². Это значение соответствует прямоугольнику из четвёртого столбца, у которого длина и ширина равны 25 дм.

Ответ: Прямоугольник имеет наибольшую площадь при длине 25 дм и ширине 25 дм.

Как называется такой прямоугольник?

Прямоугольник, у которого длина и ширина равны, то есть все стороны равны, называется квадратом. Из всех прямоугольников с одинаковым периметром именно квадрат имеет наибольшую площадь.

Ответ: Такой прямоугольник называется квадрат.

8 Из Санкт-Петербурга в Москву выехали одновременно три автомобиля. Первый из них прибыл в Москву через 8 ч 45 мин, второй — на 2 ч 56 мин позднее первого, а третий — на 1 ч 48 мин раньше второго. Сколько времени был в пути третий автомобиль?

Для решения задачи выполним действия по шагам.

1. Вычислим, сколько времени был в пути второй автомобиль.
Из условия известно, что время в пути первого автомобиля составляет 8 ч 45 мин. Второй автомобиль был в пути на 2 ч 56 мин дольше. Чтобы найти время в пути второго автомобиля, нужно сложить время первого автомобиля и разницу во времени.

$8 \text{ ч } 45 \text{ мин } + 2 \text{ ч } 56 \text{ мин }$

Сначала сложим минуты: $45 \text{ мин } + 56 \text{ мин } = 101 \text{ мин }$.
Поскольку 1 час равен 60 минутам, переведем 101 минуту в часы и минуты: $101 \text{ мин } = 1 \text{ ч } 41 \text{ мин }$.

Теперь сложим часы из первоначального выражения и добавим час, полученный из минут:
$8 \text{ ч } + 2 \text{ ч } + 1 \text{ ч } 41 \text{ мин } = 11 \text{ ч } 41 \text{ мин }$.

Таким образом, время в пути второго автомобиля составило 11 ч 41 мин.

2. Вычислим, сколько времени был в пути третий автомобиль.
Третий автомобиль прибыл на 1 ч 48 мин раньше второго. Это значит, что его время в пути было меньше. Чтобы найти его, нужно из времени второго автомобиля вычесть эту разницу.

$11 \text{ ч } 41 \text{ мин } - 1 \text{ ч } 48 \text{ мин }$

Вычесть 48 минут из 41 минуты напрямую нельзя. Поэтому мы "займем" 1 час из 11 часов и переведем его в минуты (1 час = 60 минут), добавив к имеющимся 41 минуте.
$11 \text{ ч } 41 \text{ мин } = 10 \text{ ч } + (60 \text{ мин } + 41 \text{ мин }) = 10 \text{ ч } 101 \text{ мин }$.

Теперь выполним вычитание:
$10 \text{ ч } 101 \text{ мин } - 1 \text{ ч } 48 \text{ мин }$.
Вычитаем минуты: $101 \text{ мин } - 48 \text{ мин } = 53 \text{ мин }$.
Вычитаем часы: $10 \text{ ч } - 1 \text{ ч } = 9 \text{ ч }$.

Время в пути третьего автомобиля составляет 9 ч 53 мин.

Ответ: третий автомобиль был в пути 9 ч 53 мин.

9 (Задача Л. Н. Толстого.) Продавец продаёт шапку, которая стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только банкнота в 25 р. Продавец отсылает своего помощника с этими деньгами к соседке разменять. Помощник прибегает и отдаёт продавцу 10 р. + 10 р. + 5 р. Продавец отдаёт шапку и сдачу 15 р. Через какое-то время приходит соседка, говорит, что полученная ею банкнота в 25 р. фальшивая, и требует вернуть ей её деньги. Ну что делать? Продавец возвращает ей деньги. На сколько рублей обманули продавца?

Чтобы решить эту задачу, нужно проследить за реальными деньгами и товарами, которые ушли от продавца. Вся операция с соседкой — это отвлекающий маневр, так как в итоге соседка осталась при своих деньгах (отдала 25 настоящих рублей и получила 25 настоящих рублей обратно), поэтому ее можно не учитывать при подсчете убытков продавца.

Убытки продавца складываются из двух частей:

1. Стоимость товара. Продавец отдал покупателю шапку, которая стоит 10 рублей. Это его первая потеря.

2. Сдача. Покупатель дал фальшивую купюру в 25 рублей. Продавец, разменяв ее у соседки, отдал покупателю сдачу. Размер сдачи составляет $25 - 10 = 15$ рублей. Эти 15 рублей были настоящими. Это вторая потеря продавца.

Взамен продавец получил от покупателя лишь фальшивую банкноту, стоимость которой равна нулю. Таким образом, чтобы найти общий убыток, нужно сложить стоимость отданной шапки и сумму выданной сдачи:

Общий убыток = (стоимость шапки) + (сумма сдачи)

$10 \text{ рублей} + 15 \text{ рублей} = 25 \text{ рублей}$

В итоге продавец лишился и шапки, и 15 рублей настоящих денег.

Ответ: Продавца обманули на 25 рублей.

4 От одной станции одновременно в противоположных направлениях выехали два автобуса. Скорость первого автобуса $42 \text{ км/ч}$, а скорость второго автобуса $55 \text{ км/ч}$. Какое расстояние будет между автобусами через 3 ч?

$42 \text{ км/ч}$ $55 \text{ км/ч}$

?

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1: по действиям

1. Сначала вычислим, какое расстояние проехал первый автобус за 3 часа. Для этого умножим его скорость на время:

$42 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 126 \text{ км}$

2. Теперь вычислим расстояние, которое проехал второй автобус за то же время:

$55 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 165 \text{ км}$

3. Поскольку автобусы ехали в противоположных направлениях, расстояние между ними будет равно сумме расстояний, которые проехал каждый из них. Сложим полученные значения:

$126 \text{ км} + 165 \text{ км} = 291 \text{ км}$

Ответ: через 3 часа расстояние между автобусами будет 291 км.

Способ 2: через скорость удаления

1. Найдем скорость, с которой автобусы удаляются друг от друга. Так как они движутся в противоположных направлениях, их скорости нужно сложить. Это называется скоростью удаления:

$v_{\text{удал.}} = 42 \text{ км/ч} + 55 \text{ км/ч} = 97 \text{ км/ч}$

2. Теперь, зная общую скорость удаления и время в пути, можно найти итоговое расстояние между автобусами. Для этого умножим скорость удаления на время:

$S = 97 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 291 \text{ км}$

Ответ: через 3 часа расстояние между автобусами будет 291 км.

5 Составь по схеме и реши задачу, дополнив её условие ответом, полученным при решении задачи 4.

$? \text{ км/ч}$

$55 \text{ км/ч}$

$\square \text{ км/ч}$

Как называются задачи 4 и 5? Попробуй составить ещё две подобные задачи.

Составь по схеме и реши задачу, дополнив её условие ответом, полученным при решении задачи 4.

Так как условие задачи 4 отсутствует, сделаем предположение. Обычно в таких парах задач одна является прямой, а вторая — обратной. Вероятно, в задаче 4 нужно было найти скорость сближения двух автобусов, зная их индивидуальные скорости. Например, если скорости были 45 км/ч и 55 км/ч, то скорость их сближения равна $45 + 55 = 100$ км/ч.

Дополним условие задачи 5 этим результатом. Получается, что скорость сближения автобусов (значение в рамке под чертой) равна 100 км/ч.

Условие составленной задачи:

Два автобуса выехали одновременно навстречу друг другу. Скорость одного автобуса равна 55 км/ч. С какой скоростью двигался второй автобус, если известно, что их скорость сближения составляет 100 км/ч?

Решение:

Скорость сближения при встречном движении ($v_{сбл}$) равна сумме скоростей объектов ($v_1$ и $v_2$). Чтобы найти неизвестную скорость одного из автобусов, нужно из скорости сближения вычесть известную скорость другого автобуса.
$v_1 = v_{сбл} - v_2$
$100 - 55 = 45$ (км/ч).

Ответ: скорость второго автобуса 45 км/ч.

Как называются задачи 4 и 5?

Задачи, в которых искомая величина становится известной, а одна из известных величин — неизвестной, называются взаимно обратными. Обе задачи описывают движение навстречу друг другу, поэтому они являются задачами на встречное движение.

Ответ: задачи 4 и 5 — это взаимно обратные задачи на встречное движение.

Попробуй составить ещё две подобные задачи.

Для составления новых обратных задач используем все связанные величины из нашего примера: $v_1 = 45$ км/ч, $v_2 = 55$ км/ч, скорость сближения $v_{сбл} = 100$ км/ч. Добавим также расстояние $S = 400$ км и время до встречи $t = 4$ ч ($400 \div 100 = 4$). Теперь составим задачи, где неизвестными будут расстояние и время.

Задача 1 (на нахождение расстояния)

Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. Скорость первого автобуса — 45 км/ч, а скорость второго — 55 км/ч. Автобусы встретились через 4 часа. Какое расстояние было между пунктами изначально?

Решение:
1) Найдём скорость сближения автобусов: $45 + 55 = 100$ (км/ч).
2) Найдём расстояние, умножив скорость сближения на время в пути до встречи: $100 \times 4 = 400$ (км).

Ответ: расстояние между пунктами было 400 км.

Задача 2 (на нахождение времени)

Из двух пунктов, расстояние между которыми 400 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. Скорость первого автобуса — 45 км/ч, а скорость второго — 55 км/ч. Через сколько часов автобусы встретятся?

Решение:
1) Найдём скорость сближения автобусов: $45 + 55 = 100$ (км/ч).
2) Найдём время до встречи, разделив расстояние на скорость сближения: $400 \div 100 = 4$ (ч).

Ответ: автобусы встретятся через 4 часа.

6 На элеватор привезли в первый день 2 160 ц пшеницы, а во второй день в 2 раза больше. Четверть этой пшеницы пересыпали в мешки, по 45 кг в каждый. Сколько мешков для этого потребовалось?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Узнаем, сколько пшеницы привезли на элеватор во второй день.
По условию, во второй день привезли в 2 раза больше, чем в первый.
$2160 \text{ ц} \cdot 2 = 4320 \text{ ц}$ – пшеницы привезли во второй день.

2. Рассчитаем общее количество пшеницы, привезённой за два дня.
Сложим количество пшеницы за первый и второй дни.
$2160 \text{ ц} + 4320 \text{ ц} = 6480 \text{ ц}$ – всего пшеницы привезли за два дня.

3. Найдём, какое количество пшеницы пересыпали в мешки.
По условию, в мешки пересыпали четверть всей пшеницы, то есть одну четвертую часть ($1/4$).
$6480 \text{ ц} \div 4 = 1620 \text{ ц}$ – пшеницы пересыпали в мешки.

4. Переведём массу пшеницы из центнеров в килограммы.
В одном центнере 100 килограммов ($1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$).
$1620 \text{ ц} \cdot 100 = 162000 \text{ кг}$ – масса пшеницы, которую пересыпали в мешки.

5. Узнаем, сколько мешков потребовалось.
Разделим общую массу пшеницы, которую нужно расфасовать, на вместимость одного мешка.
$162000 \text{ кг} \div 45 \text{ кг} = 3600 \text{ мешков}$ – потребовалось для расфасовки.

Ответ: для этого потребовалось 3600 мешков.

7 Выполни действия.

$483\,042 : 6 \cdot 5 + 12\,704$

$303\,580 : 4 \cdot 9 - 6\,193$

$221\,193 : 9 \cdot 7 - 10\,057$

$58\,000 - 12 \cdot 100 \cdot 30$

$902 + 17\,000 : 1\,000 \cdot 4$

$85\,000 - 100 : 25 \cdot 68$

483 042 : 6 · 5 + 12 704

Согласно порядку выполнения действий, сначала выполняем деление и умножение слева направо, а затем сложение.
1) Первое действие — деление: $483\ 042 : 6 = 80\ 507$.
2) Второе действие — умножение: $80\ 507 \cdot 5 = 402\ 535$.
3) Третье действие — сложение: $402\ 535 + 12\ 704 = 415\ 239$.
Ответ: 415 239.

303 580 : 4 · 9 – 6 193

Сначала выполняем деление и умножение слева направо, затем вычитание.
1) Деление: $303\ 580 : 4 = 75\ 895$.
2) Умножение: $75\ 895 \cdot 9 = 683\ 055$.
3) Вычитание: $683\ 055 - 6\ 193 = 676\ 862$.
Ответ: 676 862.

221 193 : 9 · 7 – 10 057

Сначала выполняем деление и умножение слева направо, затем вычитание.
1) Деление: $221\ 193 : 9 = 24\ 577$.
2) Умножение: $24\ 577 \cdot 7 = 172\ 039$.
3) Вычитание: $172\ 039 - 10\ 057 = 161\ 982$.
Ответ: 161 982.

58 000 – 12 · 100 · 30

Сначала выполняем умножение слева направо, затем вычитание.
1) Первое умножение: $12 \cdot 100 = 1\ 200$.
2) Второе умножение: $1\ 200 \cdot 30 = 36\ 000$.
3) Вычитание: $58\ 000 - 36\ 000 = 22\ 000$.
Ответ: 22 000.

902 + 17 000 : 1 000 · 4

Сначала выполняем деление и умножение слева направо, затем сложение.
1) Деление: $17\ 000 : 1\ 000 = 17$.
2) Умножение: $17 \cdot 4 = 68$.
3) Сложение: $902 + 68 = 970$.
Ответ: 970.

85 000 – 100 : 25 · 68

Сначала выполняем деление и умножение слева направо, затем вычитание.
1) Деление: $100 : 25 = 4$.
2) Умножение: $4 \cdot 68 = 272$.
3) Вычитание: $85\ 000 - 272 = 84\ 728$.
Ответ: 84 728.

8 Длина реки Лены 4 400 км. Туристы прошли пятую часть этого пути на байдарках со скоростью 8 км/ч. Сколько дней плыли туристы на байдарках, если ежедневно они находились в плавании 5 ч?

Для того чтобы определить, сколько дней туристы плыли на байдарках, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти расстояние, которое туристы проплыли на байдарках. В условии сказано, что они прошли пятую часть от общей длины реки Лены, которая составляет 4400 км.

Расстояние = $\frac{1}{5} \times 4400 \text{ км} = 880 \text{ км}$.

2. Рассчитать общее время, которое туристы находились в движении. Для этого нужно разделить пройденное расстояние на их скорость (8 км/ч).

Общее время = $\frac{\text{Расстояние}}{\text{Скорость}} = \frac{880 \text{ км}}{8 \text{ км/ч}} = 110 \text{ часов}$.

3. Определить количество дней, которое заняло путешествие. Известно, что ежедневно туристы находились в плавании 5 часов. Чтобы найти количество дней, нужно общее время в пути разделить на ежедневное время в плавании.

Количество дней = $\frac{\text{Общее время}}{\text{Ежедневное время}} = \frac{110 \text{ часов}}{5 \text{ часов/день}} = 22 \text{ дня}$.

Ответ: 22 дня.

9 Два самолёта вылетели с аэродрома одновременно в противоположных направлениях. Через 30 мин после вылета расстояние между ними было 810 км. Первый самолёт летел со скоростью 15 км/мин. С какой скоростью летел второй самолёт?

Составь и реши задачу, обратную данной.

С какой скоростью летел второй самолёт?

1. Сначала найдём общую скорость, с которой самолёты удалялись друг от друга (скорость удаления). Для этого разделим расстояние между ними на время, за которое это расстояние было преодолено.
$v_{удаления} = S / t$
$810 \text{ км} / 30 \text{ мин} = 27$ км/мин.

2. Скорость удаления двух объектов, движущихся в противоположных направлениях, равна сумме их скоростей: $v_{удаления} = v_1 + v_2$. Зная скорость удаления и скорость первого самолёта, найдём скорость второго.
$v_2 = v_{удаления} - v_1$
$27 \text{ км/мин} - 15 \text{ км/мин} = 12$ км/мин.

Ответ: 12 км/мин.

Составь и реши задачу, обратную данной.

Условие обратной задачи: Два самолёта вылетели с аэродрома одновременно в противоположных направлениях. Скорость первого самолёта 15 км/мин, а скорость второго — 12 км/мин. Какое расстояние будет между ними через 30 минут?

Решение:

1. Найдём общую скорость удаления самолётов, сложив их скорости.
$v_{удаления} = v_1 + v_2$
$15 \text{ км/мин} + 12 \text{ км/мин} = 27$ км/мин.

2. Теперь умножим скорость удаления на время полёта, чтобы найти расстояние между самолётами.
$S = v_{удаления} \times t$
$27 \text{ км/мин} \times 30 \text{ мин} = 810$ км.

Ответ: 810 км.