Задание на полях, страница 95, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник Моро, Бантова

Часть 1. Числа, которые больше 1000. Вопросы для повторения - страница 95.

Условие.

НАЧЕРТИ:

Решение 3.

Поскольку на изображении отсутствует конкретный вопрос, проведем развернутый анализ представленной геометрической фигуры. Для этого введем декартову систему координат. Пусть одна клетка на изображении соответствует единице длины. Совместим узел сетки, в котором расположена точка B, с точкой (0, 0) на координатной плоскости. Тогда остальные точки будут иметь следующие координаты:

• B = (0, 0)
• A = (4, 3)
• C = (4, 6)
• D = (2, 3)
• K = (3, 4.5)

Проверим, лежат ли точки D и K на отрезке BC. Уравнение прямой, проходящей через точки B(0,0) и C(4,6), имеет вид $y = kx$. Подставив координаты точки C, найдем коэффициент $k$: $6 = k \cdot 4$, откуда $k = 6/4 = 1.5$. Таким образом, уравнение прямой BC: $y = 1.5x$.

• Для точки D(2,3): $y_D = 1.5 \cdot x_D \Rightarrow 3 = 1.5 \cdot 2$, что является верным равенством.
• Для точки K(3,4.5): $y_K = 1.5 \cdot x_K \Rightarrow 4.5 = 1.5 \cdot 3$, что также является верным равенством.

Поскольку x-координаты точек D и K находятся между x-координатами точек B и C ( $0 < 2 < 4$ и $0 < 3 < 4$ ), точки D и K действительно лежат на отрезке BC.

Теперь решим несколько стандартных задач для данной конфигурации.

а) Найти длины сторон и площадь треугольника ABC.

Для нахождения длин сторон воспользуемся формулой расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Длина стороны AB (между B(0,0) и A(4,3)):
$|AB| = \sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Длина стороны AC (между A(4,3) и C(4,6)):
$|AC| = \sqrt{(4-4)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3$

Длина стороны BC (между B(0,0) и C(4,6)):
$|BC| = \sqrt{(4-0)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

Для вычисления площади треугольника ABC заметим, что сторона AC является вертикальным отрезком, так как x-координаты точек A и C совпадают ( $x_A=x_C=4$ ). Поэтому мы можем принять AC за основание. Длина основания $|AC|=3$. Высотой, проведенной к этому основанию из вершины B, будет перпендикуляр, опущенный из B на прямую $x=4$. Его длина равна разности x-координат: $h_B = 4 - 0 = 4$.

Площадь треугольника ABC равна половине произведения основания на высоту:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot h_B = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$

Ответ: Длины сторон треугольника: $|AB|=5$, $|AC|=3$, $|BC|=\sqrt{52}$. Площадь треугольника $S_{ABC}=6$ кв. ед.

б) Определить, является ли отрезок AD медианой, высотой или биссектрисой треугольника ABC.

1. Проверка на медиану.
Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Найдем координаты середины M стороны BC:
$M = (\frac{x_B+x_C}{2}, \frac{y_B+y_C}{2}) = (\frac{0+4}{2}, \frac{0+6}{2}) = (2, 3)$.
Полученные координаты совпадают с координатами точки D(2,3). Следовательно, D - середина стороны BC, а отрезок AD является медианой треугольника ABC.

2. Проверка на высоту.
Высота перпендикулярна стороне, к которой она проведена. Найдем угловые коэффициенты отрезков AD и BC.
Угловой коэффициент прямой BC мы уже нашли: $k_{BC} = 1.5$.
Угловой коэффициент прямой AD, проходящей через A(4,3) и D(2,3): $k_{AD} = \frac{3-3}{4-2} = \frac{0}{2} = 0$. (AD - горизонтальный отрезок).
Для перпендикулярности прямых должно выполняться условие $k_{AD} \cdot k_{BC} = -1$. В нашем случае $0 \cdot 1.5 = 0 \neq -1$. Следовательно, AD не является высотой.

3. Проверка на биссектрису.
Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Если AD - биссектриса угла A, то должно выполняться равенство $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|}$.
Так как D - середина BC, то $|BD| = |DC|$, и их отношение равно 1.
Найдем отношение сторон $|AB|$ и $|AC|$: $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{5}{3}$.
Поскольку $\frac{5}{3} \neq 1$, отрезок AD не является биссектрисой.

Ответ: Отрезок AD является медианой треугольника ABC, но не является его высотой или биссектрисой.

в) В каком отношении точка K делит отрезок BC и является ли отрезок AK медианой, высотой или биссектрисой?

1. Нахождение отношения.
Найдем, в каком отношении точка K(3, 4.5) делит отрезок BC с концами в B(0,0) и C(4,6). Отношение $\frac{|BK|}{|KC|}$ можно найти через отношение проекций на оси координат.
Используя x-координаты: $\frac{|BK_x|}{|K_xC|} = \frac{x_K - x_B}{x_C - x_K} = \frac{3 - 0}{4 - 3} = \frac{3}{1} = 3$.
Используя y-координаты: $\frac{|BK_y|}{|K_yC|} = \frac{y_K - y_B}{y_C - y_K} = \frac{4.5 - 0}{6 - 4.5} = \frac{4.5}{1.5} = 3$.
Отношения совпадают, значит точка K делит отрезок BC в отношении 3:1, считая от точки B.

2. Анализ отрезка AK.
Медиана: AK не является медианой, так как K не является серединой BC.
Высота: Найдем угловой коэффициент прямой AK, проходящей через A(4,3) и K(3, 4.5): $k_{AK} = \frac{4.5-3}{3-4} = \frac{1.5}{-1} = -1.5$.
Угловой коэффициент BC равен $k_{BC} = 1.5$. Проверим условие перпендикулярности: $k_{AK} \cdot k_{BC} = -1.5 \cdot 1.5 = -2.25 \neq -1$. Следовательно, AK не является высотой.
Биссектриса: Проверим свойство биссектрисы: $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BK|}{|KC|}$.
Мы нашли, что $\frac{|BK|}{|KC|} = 3$, а $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{5}{3}$.
Так как $3 \neq \frac{5}{3}$, отрезок AK не является биссектрисой.

Ответ: Точка K делит отрезок BC в отношении 3:1 ( $|BK|:|KC| = 3:1$ ). Отрезок AK не является ни медианой, ни высотой, ни биссектрисой треугольника ABC.