Задание на полях, страница 95, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник Моро, Бантова

Вопросы для повторения. Числа, которые больше 1000. ч. 1 - страница 95.

НАЧЕРТИ:

Поскольку на изображении отсутствует конкретный вопрос, проведем развернутый анализ представленной геометрической фигуры. Для этого введем декартову систему координат. Пусть одна клетка на изображении соответствует единице длины. Совместим узел сетки, в котором расположена точка B, с точкой (0, 0) на координатной плоскости. Тогда остальные точки будут иметь следующие координаты:

• B = (0, 0)
• A = (4, 3)
• C = (4, 6)
• D = (2, 3)
• K = (3, 4.5)

Проверим, лежат ли точки D и K на отрезке BC. Уравнение прямой, проходящей через точки B(0,0) и C(4,6), имеет вид $y = kx$. Подставив координаты точки C, найдем коэффициент $k$: $6 = k \cdot 4$, откуда $k = 6/4 = 1.5$. Таким образом, уравнение прямой BC: $y = 1.5x$.

• Для точки D(2,3): $y_D = 1.5 \cdot x_D \Rightarrow 3 = 1.5 \cdot 2$, что является верным равенством.
• Для точки K(3,4.5): $y_K = 1.5 \cdot x_K \Rightarrow 4.5 = 1.5 \cdot 3$, что также является верным равенством.

Поскольку x-координаты точек D и K находятся между x-координатами точек B и C ( $0 < 2 < 4$ и $0 < 3 < 4$ ), точки D и K действительно лежат на отрезке BC.

Теперь решим несколько стандартных задач для данной конфигурации.

а) Найти длины сторон и площадь треугольника ABC.

Для нахождения длин сторон воспользуемся формулой расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Длина стороны AB (между B(0,0) и A(4,3)):
$|AB| = \sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Длина стороны AC (между A(4,3) и C(4,6)):
$|AC| = \sqrt{(4-4)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3$

Длина стороны BC (между B(0,0) и C(4,6)):
$|BC| = \sqrt{(4-0)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

Для вычисления площади треугольника ABC заметим, что сторона AC является вертикальным отрезком, так как x-координаты точек A и C совпадают ( $x_A=x_C=4$ ). Поэтому мы можем принять AC за основание. Длина основания $|AC|=3$. Высотой, проведенной к этому основанию из вершины B, будет перпендикуляр, опущенный из B на прямую $x=4$. Его длина равна разности x-координат: $h_B = 4 - 0 = 4$.

Площадь треугольника ABC равна половине произведения основания на высоту:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot h_B = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$

Ответ: Длины сторон треугольника: $|AB|=5$, $|AC|=3$, $|BC|=\sqrt{52}$. Площадь треугольника $S_{ABC}=6$ кв. ед.

б) Определить, является ли отрезок AD медианой, высотой или биссектрисой треугольника ABC.

1. Проверка на медиану.
Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Найдем координаты середины M стороны BC:
$M = (\frac{x_B+x_C}{2}, \frac{y_B+y_C}{2}) = (\frac{0+4}{2}, \frac{0+6}{2}) = (2, 3)$.
Полученные координаты совпадают с координатами точки D(2,3). Следовательно, D - середина стороны BC, а отрезок AD является медианой треугольника ABC.

2. Проверка на высоту.
Высота перпендикулярна стороне, к которой она проведена. Найдем угловые коэффициенты отрезков AD и BC.
Угловой коэффициент прямой BC мы уже нашли: $k_{BC} = 1.5$.
Угловой коэффициент прямой AD, проходящей через A(4,3) и D(2,3): $k_{AD} = \frac{3-3}{4-2} = \frac{0}{2} = 0$. (AD - горизонтальный отрезок).
Для перпендикулярности прямых должно выполняться условие $k_{AD} \cdot k_{BC} = -1$. В нашем случае $0 \cdot 1.5 = 0 \neq -1$. Следовательно, AD не является высотой.

3. Проверка на биссектрису.
Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Если AD - биссектриса угла A, то должно выполняться равенство $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|}$.
Так как D - середина BC, то $|BD| = |DC|$, и их отношение равно 1.
Найдем отношение сторон $|AB|$ и $|AC|$: $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{5}{3}$.
Поскольку $\frac{5}{3} \neq 1$, отрезок AD не является биссектрисой.

Ответ: Отрезок AD является медианой треугольника ABC, но не является его высотой или биссектрисой.

в) В каком отношении точка K делит отрезок BC и является ли отрезок AK медианой, высотой или биссектрисой?

1. Нахождение отношения.
Найдем, в каком отношении точка K(3, 4.5) делит отрезок BC с концами в B(0,0) и C(4,6). Отношение $\frac{|BK|}{|KC|}$ можно найти через отношение проекций на оси координат.
Используя x-координаты: $\frac{|BK_x|}{|K_xC|} = \frac{x_K - x_B}{x_C - x_K} = \frac{3 - 0}{4 - 3} = \frac{3}{1} = 3$.
Используя y-координаты: $\frac{|BK_y|}{|K_yC|} = \frac{y_K - y_B}{y_C - y_K} = \frac{4.5 - 0}{6 - 4.5} = \frac{4.5}{1.5} = 3$.
Отношения совпадают, значит точка K делит отрезок BC в отношении 3:1, считая от точки B.

2. Анализ отрезка AK.
Медиана: AK не является медианой, так как K не является серединой BC.
Высота: Найдем угловой коэффициент прямой AK, проходящей через A(4,3) и K(3, 4.5): $k_{AK} = \frac{4.5-3}{3-4} = \frac{1.5}{-1} = -1.5$.
Угловой коэффициент BC равен $k_{BC} = 1.5$. Проверим условие перпендикулярности: $k_{AK} \cdot k_{BC} = -1.5 \cdot 1.5 = -2.25 \neq -1$. Следовательно, AK не является высотой.
Биссектриса: Проверим свойство биссектрисы: $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BK|}{|KC|}$.
Мы нашли, что $\frac{|BK|}{|KC|} = 3$, а $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{5}{3}$.
Так как $3 \neq \frac{5}{3}$, отрезок AK не является биссектрисой.

Ответ: Точка K делит отрезок BC в отношении 3:1 ( $|BK|:|KC| = 3:1$ ). Отрезок AK не является ни медианой, ни высотой, ни биссектрисой треугольника ABC.