Страница 95, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

44. Реши уравнения.

44. Объяснение решений уравнений:

Прежде чем решать уравнение, нужно вычислить правую его часть (после знака равно).

Далее в первом уравнение находим неизвестное вычитаемое. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Во втором уравнение находим неизвестное делимое. Чтобы найти делимое, надо частное умножить на делитель. Вычисляем результат. Записываем неизвестное делимое.

Далее в третьем уравнении находим неизвестный делитель. Чтобы найти делитель, надо делимое разделить на частное. Вычисляем результат. Записываем неизвестный делитель.

В четвёртом уравнении находим неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

В пятом уравнении нужно найти слагаемое. Чтобы найти слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

В шестом уравнении нужно найти множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно значение произведения разделить на известный множитель. Вычисляем результат. Записываем неизвестный множитель.

Проверяем: подставляем в уравнение вместо х его значение и смотрим, верное ли равенство получилось. Если равенство верное, то уравнение решено правильно.

72 - x = 18 · 3
Для решения уравнения сначала вычислим значение выражения в правой части:
$18 \cdot 3 = 54$
Теперь уравнение принимает вид:
$72 - x = 54$
В этом уравнении $x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого (72) вычесть разность (54).
$x = 72 - 54$
$x = 18$
Проверим решение, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:
$72 - 18 = 18 \cdot 3$
$54 = 54$
Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.
Ответ: $x = 18$

x - 290 = 470 + 230
Сначала вычислим значение выражения в правой части уравнения:
$470 + 230 = 700$
Теперь уравнение выглядит так:
$x - 290 = 700$
В этом уравнении $x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности (700) прибавить вычитаемое (290).
$x = 700 + 290$
$x = 990$
Проверим решение, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:
$990 - 290 = 470 + 230$
$700 = 700$
Равенство верное.
Ответ: $x = 990$

x : 8 = 130 + 270
Сначала упростим правую часть уравнения:
$130 + 270 = 400$
Уравнение принимает вид:
$x : 8 = 400$
В этом уравнении $x$ — неизвестное делимое. Чтобы найти делимое, нужно частное (400) умножить на делитель (8).
$x = 400 \cdot 8$
$x = 3200$
Проверим решение:
$3200 : 8 = 130 + 270$
$400 = 400$
Равенство верное.
Ответ: $x = 3200$

x + 320 = 90 · 8
Сначала вычислим значение выражения в правой части:
$90 \cdot 8 = 720$
Теперь уравнение выглядит так:
$x + 320 = 720$
Здесь $x$ — неизвестное слагаемое. Чтобы найти слагаемое, нужно из суммы (720) вычесть известное слагаемое (320).
$x = 720 - 320$
$x = 400$
Проверим решение:
$400 + 320 = 90 \cdot 8$
$720 = 720$
Равенство верное.
Ответ: $x = 400$

400 : x = 1 000 : 10
Сначала упростим правую часть уравнения:
$1000 : 10 = 100$
Уравнение принимает вид:
$400 : x = 100$
В данном уравнении $x$ является неизвестным делителем. Чтобы найти делитель, нужно делимое (400) разделить на частное (100).
$x = 400 : 100$
$x = 4$
Проверим решение:
$400 : 4 = 1000 : 10$
$100 = 100$
Равенство верное.
Ответ: $x = 4$

15 · x = 630 : 7
Сначала вычислим значение выражения в правой части:
$630 : 7 = 90$
Теперь уравнение выглядит так:
$15 \cdot x = 90$
Здесь $x$ — неизвестный множитель. Чтобы найти множитель, нужно произведение (90) разделить на известный множитель (15).
$x = 90 : 15$
$x = 6$
Проверим решение:
$15 \cdot 6 = 630 : 7$
$90 = 90$
Равенство верное.
Ответ: $x = 6$

45.

45. Вспомним порядок действий в выражениях:

При вычислении числовых выражений сначала выполняют действия умножения и деления, а затем сложения и вычитания, слева направо. При наличии скобок вычисляют сначала значение выражения в них.

$156 \stackrel{\mathit{4}}{-} 96 \underset{\mathit{32}}{\overset{\mathit{2}}{:}} (12 \underset{\mathit{3}}{\overset{\mathit{1}}{:}} 4) \underset{\mathit{16}}{\overset{\mathit{3}}{:}} 2 = 140$

$156 \stackrel{\mathit{4}}{-} 96\underset{\mathit{8}}{\overset{\mathit{2}}{ :}} 12 \underset{\mathit{4}}{\overset{\mathit{3}}{:}} (4 \underset{\mathit{2}}{\overset{\mathit{1}}{:}} 2) = 152$

$(156 \underset{\mathit{148}}{\overset{\mathit{2}}{-}} 96 \underset{\mathit{8}}{\overset{\mathit{1}}{:}} 12) \stackrel{\mathit{4}}{:} (4 \underset{\mathit{2}}{\overset{\mathit{3}}{:}} 2) = 74$

$4 689 \stackrel{\mathit{1}}{·} 5 \stackrel{\mathit{2}}{+} 97 308 = 120 753$

$90 000 \stackrel{\mathit{2}}{-} 6 \stackrel{\mathit{1}}{·} 2 509 = 74 946$

$1 485\mathit{ }\stackrel{\mathit{1}}{\mathit{:}} 5 \stackrel{\mathit{2}}{·} 4 = 1 188$

$2 496 \stackrel{\mathit{1}}{:} 8 \stackrel{\mathit{2}}{·} 7 = 2 184$

$9 999 \stackrel{\mathit{1}}{:} 9 \stackrel{\mathit{2}}{·} 8 = 8 888$
1) 9 999 : 9 = 1 111
2) 1 111∙ 8 = 8 888

156 – 96 : (12 : 4) : 2

Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются действия в скобках, затем деление и умножение (слева направо), и в конце вычитание.
1. Выполняем действие в скобках: $12 : 4 = 3$.
2. Теперь выражение выглядит так: $156 – 96 : 3 : 2$.
3. Выполняем деление слева направо: $96 : 3 = 32$.
4. Продолжаем деление: $32 : 2 = 16$.
5. Выполняем вычитание: $156 – 16 = 140$.
Ответ: 140

156 – 96 : 12 : (4 : 2)

1. Выполняем действие в скобках: $4 : 2 = 2$.
2. Подставляем результат в выражение: $156 – 96 : 12 : 2$.
3. Выполняем деление слева направо: $96 : 12 = 8$.
4. Следующее деление: $8 : 2 = 4$.
5. Выполняем вычитание: $156 – 4 = 152$.
Ответ: 152

(156 – 96 : 12) : (4 : 2)

1. Выполняем действия в первых скобках. Сначала деление, потом вычитание: $96 : 12 = 8$.
2. Затем $156 – 8 = 148$. Результат первых скобок — 148.
3. Выполняем действие во вторых скобках: $4 : 2 = 2$. Результат вторых скобок — 2.
4. Делим результат первых скобок на результат вторых: $148 : 2 = 74$.
Ответ: 74

4 689 · 5 + 97 308

Согласно порядку действий, сначала выполняется умножение, а затем сложение.
1. Умножение: $4 689 · 5 = 23 445$.
2. Сложение: $23 445 + 97 308 = 120 753$.
Ответ: 120 753

90 000 – 6 · 2 509

Сначала выполняем умножение, затем вычитание.
1. Умножение: $6 · 2 509 = 15 054$.
2. Вычитание: $90 000 – 15 054 = 74 946$.
Ответ: 74 946

76 090 · 4 – 5 673

Сначала выполняем умножение, затем вычитание.
1. Умножение: $76 090 · 4 = 304 360$.
2. Вычитание: $304 360 – 5 673 = 298 687$.
Ответ: 298 687

1 485 : 5 · 4

Действия деления и умножения имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняем их по порядку слева направо.
1. Деление: $1 485 : 5 = 297$.
2. Умножение: $297 · 4 = 1 188$.
Ответ: 1 188

2 496 : 8 · 7

Выполняем действия слева направо.
1. Деление: $2 496 : 8 = 312$.
2. Умножение: $312 · 7 = 2 184$.
Ответ: 2 184

9 999 : 9 · 8

Выполняем действия слева направо.
1. Деление: $9 999 : 9 = 1 111$.
2. Умножение: $1 111 · 8 = 8 888$.
Ответ: 8 888

46. Со 100 ульев собрали 2 т мёда. Сколько килограммов мёда собрали с 8 ульев, если считать, что со всех ульев собрали мёда поровну?

46. Сделаем краткую запись в таблице.

Пояснение:

Вспомним соотношение К₁ К ОК.

К₁ = ОК : К; К = ОК : К₁; ОК = К₁ ∙ К.

Для того, чтобы узнать, сколько килограммов мёда собрали с 8 ульев, нужно количество тонн, которые собирали с 1 улья (К₁), умножить на количество ульев (К). ОК = К₁ ∙ К

Но мы не знаем количество тонн, которые собирали с 1 улья (К₁). Поэтому это значение находит первым действием. Для этого, зная, что со 100 ульев собрали 2 т мёда, нужно общее количество тонн (ОК) разделить на количество ульев (К). К₁ = ОК : К

Затем отвечаем на вопрос задачи, сколько килограммов мёда собрали с 8 ульев.

Но прежде, чтобы легче было вычислять, выразим единицы массы тонны в килограммы.

Решение (жирный шрифт) записываем в тетрадь:

2 т = 2 000 кг
1) 2 000 : 100 = 20 (кг) – мёда собрали с одного улья.
2) 20 ∙ 8 = 160 (кг)
Ответ: 160 килограммов мёда собрали с восьми ульев.

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько последовательных действий. Сначала мы найдем, сколько килограммов мёда было собрано с одного улья, а затем, используя это значение, рассчитаем общее количество мёда с восьми ульев.

1. Перевод общего количества мёда из тонн в килограммы.

В условии задачи указано, что было собрано 2 тонны мёда. Ответ требуется дать в килограммах, поэтому первым делом выполним перевод единиц измерения, зная, что 1 тонна равна 1000 килограммов.

$2 \text{ т} = 2 \times 1000 \text{ кг} = 2000 \text{ кг}$

Таким образом, со 100 ульев собрали 2000 кг мёда.

2. Расчет количества мёда, собранного с одного улья.

По условию, с каждого из 100 ульев собрали одинаковое количество мёда. Чтобы найти, сколько мёда приходится на один улей, нужно общее количество мёда разделить на количество ульев.

$2000 \text{ кг} \div 100 \text{ ульев} = 20 \text{ кг/улей}$

Следовательно, с одного улья собирали по 20 кг мёда.

3. Расчет количества мёда, собранного с восьми ульев.

Теперь, зная, что с одного улья собирают 20 кг мёда, мы можем вычислить, сколько мёда соберут с 8 таких ульев. Для этого умножим "производительность" одного улья на нужное количество ульев.

$20 \text{ кг/улей} \times 8 \text{ ульев} = 160 \text{ кг}$

Ответ: с 8 ульев собрали 160 кг мёда.

47. За день в магазине продали 6 чайных чашек, по 100 р. каждая, и 10 кофейных, получив за все проданные чашки 1 800 р. Сколько стоила кофейная чашка?

47. Сделаем краткую запись в таблице.

Пояснение:

Вспомним соотношение К₁ К ОК.

К₁ = ОК : К; К = ОК : К₁; ОК = К₁ ∙ К.

Для того, чтобы узнать, сколько стоила кофейная чашка, нужно стоимость кофейных чашек разделить на количество кофейных чашек.

Но мы не знаем, сколько заплатили за кофейные чашки (стоимость кофейных чашек) (ОК). Это значение можно узнать вычитанием из всей стоимости покупки стоимость чайных чашек.

Но и стоимость чайных чашек мы не знаем.

Значит первым действием найдём стоимость чайных чашек. Для этого цену умножим на количество (100 ∙ 6).

Затем вычитанием найдём, сколько заплатили за кофейные чашки.
Третьим действием ответим на вопрос задачи, сколько стоила кофейная чашка.

Решение (жирный шрифт) записываем в тетрадь:

1) 100 ∙ 6 = 600 (р.) – стоят чайные чашки.
2) 1800 − 600 = 1200 (р.) – стоят кофейные чашки.
3) 1200 : 10 = 120 (р.)
Ответ: 120 рублей стоила одна кофейная чашка.

1. Найдем общую стоимость проданных чайных чашек.
В магазине продали 6 чайных чашек по цене 100 рублей за каждую. Чтобы найти их общую стоимость, нужно умножить количество чашек на цену одной чашки:
$6 \times 100 = 600$ (рублей).

2. Найдем общую стоимость проданных кофейных чашек.
Общая выручка за все чашки (и чайные, и кофейные) составила 1800 рублей. Чтобы найти, какую сумму получили именно за кофейные чашки, нужно из общей выручки вычесть стоимость чайных чашек:
$1800 - 600 = 1200$ (рублей).

3. Найдем стоимость одной кофейной чашки.
Известно, что 10 кофейных чашек стоили 1200 рублей. Чтобы найти цену одной кофейной чашки, нужно их общую стоимость разделить на их количество:
$1200 \div 10 = 120$ (рублей).

Ответ: 120 рублей.

48.

48.

23 м 06 см = ? см

Для того чтобы перевести метры и сантиметры в сантиметры, необходимо знать соотношение этих единиц измерения. В одном метре содержится 100 сантиметров.

1. Переведем метры в сантиметры, умножив их количество на 100:

$23 \text{ м} = 23 \times 100 \text{ см} = 2300 \text{ см}$

2. Прибавим к полученному значению оставшиеся сантиметры:

$2300 \text{ см} + 6 \text{ см} = 2306 \text{ см}$

Ответ: 2306 см

2 ч 45 мин = ? мин

Для того чтобы перевести часы и минуты в минуты, нужно помнить, что в одном часе содержится 60 минут.

1. Переведем часы в минуты, умножив их количество на 60:

$2 \text{ ч} = 2 \times 60 \text{ мин} = 120 \text{ мин}$

2. Прибавим к полученному значению оставшиеся минуты:

$120 \text{ мин} + 45 \text{ мин} = 165 \text{ мин}$

Ответ: 165 мин

62 335 кг = ? т ? кг

Для перевода килограммов в тонны и килограммы, необходимо знать, что в одной тонне содержится 1000 килограммов.

1. Чтобы найти количество полных тонн, нужно разделить общее количество килограммов на 1000. Целая часть от деления будет количеством тонн, а остаток — количеством килограммов.

$62335 \div 1000 = 62 \text{ (остаток } 335)$

2. Таким образом, 62 335 кг можно представить как 62 полные тонны и 335 килограммов.

Ответ: 62 т 335 кг

584 мм = ? см ? мм

Для перевода миллиметров в сантиметры и миллиметры, нужно помнить, что в одном сантиметре содержится 10 миллиметров.

1. Чтобы найти количество полных сантиметров, разделим общее количество миллиметров на 10. Целая часть от деления будет количеством сантиметров, а остаток — количеством миллиметров.

$584 \div 10 = 58 \text{ (остаток } 4)$

2. Следовательно, 584 мм можно представить как 58 полных сантиметров и 4 миллиметра.

Ответ: 58 см 4 мм

49.

49. Пояснение:

Чтобы найти сумму или разность величины, состоящей из двух единиц измерения, можно сначала привести их к одной единице измерения, а потом произвести нужные вычисления.

А можно сразу произвести действия над их численными значениями, по необходимости переводя промежуточный результат из одной единицы измерения в другую.

10 км 875 м + 925 м = 11 км 800 м;
10 км 875 м = 10 875 м;
11 800 м = 11 км 800 м;

2 т 015 кг − 98 кг = 11 т 917 кг;
12 т 015 кг = 12 015 кг;
11 917 кг = 11 т 917 кг;

15 м² 25 дм² − 50 дм² = 14 м 75 дм²;
15 м² 25 дм² = 1 525 дм²;
1 475 дм² = 14 м² 75 дм²;

20 дм² 30 см² + 80 см² = 21 дм² 10 см²;
20 дм² 30см² = 2 030 см²;
2 110 см² = 21 дм² 10 см²;

17 м 30 см ∙ 6 = 103 м 80 см;
17 м 30 см = 1 730 см;
10 380 см = 103 м 80 см;

38 см 5 мм + 8 мм = 39 см 3 мм;
38 см 5 мм = 385 мм;
385 мм + 8 мм = 393 мм;
393 мм = 39 см 3 мм;

5 м² 60 дм² + 40 дм² = 6 м²;
5м² 60 дм² = 560 дм²;
560 дм² + 40 дм² = 600 дм²;
600 дм² = 6 м².

10 км 875 м + 925 м

Чтобы выполнить сложение, сначала удобно сложить метры.
$875 \text{ м } + 925 \text{ м } = 1800 \text{ м}$
Теперь переведем полученные метры в километры и метры. Зная, что $1 \text{ км } = 1000 \text{ м}$, получаем:
$1800 \text{ м } = 1 \text{ км } 800 \text{ м}$
Осталось добавить это значение к исходным километрам:
$10 \text{ км } + 1 \text{ км } 800 \text{ м } = 11 \text{ км } 800 \text{ м}$
Ответ: 11 км 800 м

12 т 015 кг - 98 кг

Для выполнения вычитания переведем тонны и килограммы в одну единицу измерения – килограммы. В одной тонне $1000$ кг.
$12 \text{ т } 015 \text{ кг } = 12 \times 1000 \text{ кг } + 15 \text{ кг } = 12015 \text{ кг}$
Теперь выполним вычитание:
$12015 \text{ кг } - 98 \text{ кг } = 11917 \text{ кг}$
Переведем результат обратно в тонны и килограммы:
$11917 \text{ кг } = 11 \text{ т } 917 \text{ кг}$
Ответ: 11 т 917 кг

15 м? 25 дм? - 50 дм?

Чтобы вычесть, переведем все в квадратные дециметры. В одном квадратном метре $100$ квадратных дециметров ($1 \text{ м? } = 100 \text{ дм? }$).
$15 \text{ м? } 25 \text{ дм? } = 15 \times 100 \text{ дм? } + 25 \text{ дм? } = 1500 \text{ дм? } + 25 \text{ дм? } = 1525 \text{ дм?}$
Теперь вычитаем:
$1525 \text{ дм? } - 50 \text{ дм? } = 1475 \text{ дм?}$
Переводим обратно в квадратные метры и дециметры:
$1475 \text{ дм? } = 1400 \text{ дм? } + 75 \text{ дм? } = 14 \text{ м? } 75 \text{ дм?}$
Ответ: 14 м? 75 дм?

20 дм? 30 см? + 80 см?

Сначала сложим квадратные сантиметры:
$30 \text{ см? } + 80 \text{ см? } = 110 \text{ см?}$
Теперь переведем полученное значение в квадратные дециметры и сантиметры. В одном квадратном дециметре $100$ квадратных сантиметров ($1 \text{ дм? } = 100 \text{ см? }$).
$110 \text{ см? } = 1 \text{ дм? } 10 \text{ см?}$
Добавим это значение к исходным квадратным дециметрам:
$20 \text{ дм? } + 1 \text{ дм? } 10 \text{ см? } = 21 \text{ дм? } 10 \text{ см?}$
Ответ: 21 дм? 10 см?

17 м 30 см · 6

Умножим метры и сантиметры на 6 по отдельности.
$17 \text{ м } \times 6 = 102 \text{ м}$
$30 \text{ см } \times 6 = 180 \text{ см}$
Теперь преобразуем $180$ см в метры и сантиметры. В одном метре $100$ см.
$180 \text{ см } = 1 \text{ м } 80 \text{ см}$
Сложим полученные результаты:
$102 \text{ м } + 1 \text{ м } 80 \text{ см } = 103 \text{ м } 80 \text{ см}$
Ответ: 103 м 80 см

25 ц 80 кг : 3

Для выполнения деления переведем центнеры и килограммы в килограммы. В одном центнере $100$ кг ($1 \text{ ц } = 100 \text{ кг }$).
$25 \text{ ц } 80 \text{ кг } = 25 \times 100 \text{ кг } + 80 \text{ кг } = 2500 \text{ кг } + 80 \text{ кг } = 2580 \text{ кг}$
Теперь выполним деление:
$2580 \text{ кг } : 3 = 860 \text{ кг}$
Переведем результат обратно в центнеры и килограммы:
$860 \text{ кг } = 800 \text{ кг } + 60 \text{ кг } = 8 \text{ ц } 60 \text{ кг}$
Ответ: 8 ц 60 кг

38 см 5 мм + 8 мм

Сложим миллиметры:
$5 \text{ мм } + 8 \text{ мм } = 13 \text{ мм}$
Преобразуем $13$ мм в сантиметры и миллиметры. В одном сантиметре $10$ мм ($1 \text{ см } = 10 \text{ мм }$).
$13 \text{ мм } = 1 \text{ см } 3 \text{ мм}$
Теперь сложим с исходными сантиметрами:
$38 \text{ см } + 1 \text{ см } 3 \text{ мм } = 39 \text{ см } 3 \text{ мм}$
Ответ: 39 см 3 мм

5 м? 60 дм? + 40 дм?

Сначала сложим квадратные дециметры:
$60 \text{ дм? } + 40 \text{ дм? } = 100 \text{ дм?}$
Теперь переведем полученное значение в квадратные метры. В одном квадратном метре $100$ квадратных дециметров ($1 \text{ м? } = 100 \text{ дм? }$).
$100 \text{ дм? } = 1 \text{ м?}$
Добавим это значение к исходным квадратным метрам:
$5 \text{ м? } + 1 \text{ м? } = 6 \text{ м?}$
Ответ: 6 м?

50. 1) Рассмотри чертежи и выпиши отдельно названия тупых, острых и прямых углов.

2) Начерти фигуру, симметричную треугольнику АВС.

50. 1) Тупые углы: CAB, CAD, BDA.

Острые углы: ABC, ADC, ACK, ACB, KAD, KAB, ACD. Прямоугольные углы: AKB, AKC, AKD.

2) Пояснение:

Чтобы отобразить фигуру в симметрии относительно прямой, достаточно отобразить соответственные вершины.

Поэтому, чтобы начертить симметричный треугольник, перенесём вершину А через прямую ВС и соединим вершины.

Получился симметричный треугольник МВС.

1) Рассмотри чертежи и выпиши отдельно названия тупых, острых и прямых углов.

Для выполнения этого задания необходимо видеть чертежи, которые не были предоставлены. Однако, можно дать общее руководство по определению типов углов, которое поможет вам выполнить задание самостоятельно.

Углы классифицируются по их величине:

• Острые углы — это углы, градусная мера которых меньше $90^\circ$ (например, $30^\circ, 45^\circ, 89^\circ$). Визуально они выглядят «узкими».
• Прямые углы — это углы, чья градусная мера в точности равна $90^\circ$. На чертежах их часто помечают маленьким квадратиком в вершине угла.
• Тупые углы — это углы с градусной мерой больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$ (например, $100^\circ, 120^\circ, 175^\circ$). Они выглядят «широкими», более раскрытыми, чем прямой угол.

Вам нужно рассмотреть каждый угол на ваших чертежах, определить его тип по описанным выше признакам и выписать его название (обычно угол обозначается тремя заглавными латинскими буквами, например, $\angle MNK$, или одной, если это не вызывает двусмысленности) в соответствующую категорию.

Ответ: Так как чертежи отсутствуют, невозможно выписать конкретные названия углов.

2) Начерти фигуру, симметричную треугольнику ABC.

Чтобы построить фигуру, симметричную треугольнику $ABC$, необходимо знать, относительно чего строится симметрия. Обычно это либо точка (центральная симметрия), либо прямая (осевая симметрия). В школьных задачах чаще всего подразумевается осевая симметрия.

Предположим, что нужно построить треугольник $A_1B_1C_1$, симметричный треугольнику $ABC$ относительно некоторой прямой $l$ (оси симметрии). Вот пошаговый алгоритм:

1. Для каждой вершины треугольника ($A, B$ и $C$) проведите через нее прямую, перпендикулярную оси симметрии $l$.
2. Измерьте расстояние от каждой вершины до оси симметрии $l$ вдоль построенного перпендикуляра.
3. Отложите такое же расстояние по ту сторону от оси $l$ на той же перпендикулярной прямой. Отметьте новые точки. Так, для точки $A$ вы найдете симметричную ей точку $A_1$, для $B$ — точку $B_1$, и для $C$ — точку $C_1$.
4. Соедините полученные точки $A_1, B_1, C_1$ отрезками. Треугольник $A_1B_1C_1$ будет симметричен треугольнику $ABC$ относительно прямой $l$.

Ответ: Поскольку изображение треугольника $ABC$ и оси симметрии не предоставлено, невозможно выполнить конкретное построение. Выше описан общий метод построения симметричной фигуры.

1. Как называются числа и соответствующее выражение при умножении? при делении?

1. Числа и соответствующее выражение называются при умножении: первый множитель, второй множитель, произведение; при делении: делимое, делитель, частное.

при умножении?

В операции умножения числа, которые перемножаются, называются множителями. Иногда первый множитель называют множимым, а второй — множителем, но чаще всего оба называют просто множителями. В выражении $a \cdot b = c$, числа $a$ и $b$ являются множителями.

Само математическое выражение $a \cdot b$, а также результат этой операции $c$, называется произведением.

Ответ: Числа называются множителями, а выражение и его результат — произведением.

при делении?

В операции деления числа-компоненты имеют разные названия:
• Число, которое делят, называется делимым.
• Число, на которое делят, называется делителем.

В выражении $a : b = c$, число $a$ — это делимое, а число $b$ — это делитель.

Само математическое выражение $a : b$, а также результат этой операции $c$, называется частным.

Ответ: Число, которое делят, — делимое, число, на которое делят, — делитель, а выражение и его результат — частное.

2. Покажи на примере, как можно умножить сумму нескольких чисел на какое-либо число.

2. Чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на число каждое слагаемое в отдельности и полученные результаты сложить. Например:

(5 + 4) ∙ 2 = 5 ∙ 2 + 4 ∙ 2 = 10 + 8 = 18

Чтобы умножить сумму нескольких чисел на какое-либо число, используется распределительное свойство умножения относительно сложения. Это свойство говорит о том, что можно пойти двумя путями: сначала найти сумму и потом умножить, либо умножить каждое слагаемое на это число по отдельности, а затем сложить полученные результаты.

В общем виде это правило можно записать следующей формулой, где $a, b, c$ — это слагаемые, а $n$ — число, на которое умножается сумма:

$(a + b + c) \cdot n = a \cdot n + b \cdot n + c \cdot n$

Рассмотрим это на конкретном примере. Допустим, нам нужно умножить сумму чисел 5, 10 и 4 на число 3. Запишем выражение:

$(5 + 10 + 4) \cdot 3$

Теперь решим это двумя способами.

Способ 1: Сначала вычисляем сумму в скобках

1. Находим сумму чисел: $5 + 10 + 4 = 19$.
2. Умножаем полученный результат на 3: $19 \cdot 3 = 57$.

Способ 2: Умножаем каждое слагаемое на число

1. Умножаем каждое слагаемое из скобок на 3:
$5 \cdot 3 = 15$
$10 \cdot 3 = 30$
$4 \cdot 3 = 12$

2. Складываем полученные произведения:
$15 + 30 + 12 = 57$

Как видно из примера, оба способа приводят к одинаковому результату. Выбор способа зависит от удобства вычислений в каждом конкретном случае.

Ответ: Чтобы умножить сумму нескольких чисел на число, например $(5 + 10 + 4) \cdot 3$, можно либо сначала вычислить сумму и затем умножить её $(19 \cdot 3 = 57)$, либо умножить каждое слагаемое на это число и сложить результаты $(5 \cdot 3 + 10 \cdot 3 + 4 \cdot 3 = 15 + 30 + 12 = 57)$.

3. Как можно разделить сумму на число: (36 + 24) : 6?

3. Чтобы разделить сумму на число, нужно разделить на число каждое слагаемое в отдельности и полученные результаты сложить.

(36 + 24) : 6 = 36 : 6 + 24 : 6 = 6 + 4 = 10

Выражение $(36 + 24) : 6$ можно решить двумя способами.

Способ 1. По порядку действий.
Согласно правилам математики, сначала выполняется действие в скобках (сложение), а затем деление.
1. Находим сумму чисел в скобках: $36 + 24 = 60$.
2. Делим полученный результат на 6: $60 : 6 = 10$.
Ответ: 10

Способ 2. С использованием распределительного свойства деления.
Чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое по отдельности, а затем сложить полученные результаты. Этот способ можно применять, так как оба слагаемых (36 и 24) делятся на 6 без остатка.
1. Делим первое слагаемое на 6: $36 : 6 = 6$.
2. Делим второе слагаемое на 6: $24 : 6 = 4$.
3. Складываем полученные частные: $6 + 4 = 10$.
Ответ: 10

4. Чему равно произведение, если один из множителей равен 0? 1? Приведи примеры.

4. Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю. Например:

12 ∙ 0 = 0; 0 ∙ 8 = 0.

Если один из множителей равен 1, то произведение равно другому множителю. Например:

15 ∙ 1 = 15; 1 ∙ 25 = 25.

Если один из множителей равен 0

По свойству умножения, если один из множителей равен нулю, то и всё произведение будет равно нулю. Это можно записать в виде формулы, где a — любое число:

$a \times 0 = 0$

Это правило работает для любых чисел: целых, дробных, положительных и отрицательных.

Примеры:

• $7 \times 0 = 0$
• $0 \times 154 = 0$
• $(-25) \times 0 = 0$
• $3.14 \times 0 = 0$

Ответ: произведение равно 0.

Если один из множителей равен 1

По свойству умножения, если один из множителей равен единице, то произведение будет равно второму множителю. Единица является нейтральным элементом для умножения. Это можно записать в виде формулы, где a — любое число:

$a \times 1 = a$

Примеры:

• $12 \times 1 = 12$
• $1 \times 99 = 99$
• $(-8) \times 1 = -8$
• $0.5 \times 1 = 0.5$

Ответ: произведение равно второму множителю.

5. Чему равно частное, если делитель равен 1? если делимое равно 0?

5. Если число разделить на 1, то получится число, которое делили.

а : 1 = а

Если нуль разделить на любое число, то получится нуль.

0 : а = 0

Чему равно частное, если делитель равен 1?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо вспомнить компоненты операции деления: делимое (число, которое делят), делитель (число, на которое делят) и частное (результат деления). Их взаимосвязь можно записать в виде формулы: $делимое \div делитель = частное$.

В данном случае нам дано, что делитель равен 1. Обозначим делимое произвольной буквой, например, $a$. Тогда операция деления примет вид: $a \div 1$.

Согласно одному из основных свойств арифметики, при делении любого числа на единицу в результате получается само это число. Это можно проверить с помощью обратной операции — умножения. Если частное от деления $a$ на 1 равно $a$, то должно выполняться равенство: $a \times 1 = a$. Это равенство всегда истинно.

Следовательно, если делитель равен 1, то частное всегда равно делимому.

Пример: $42 \div 1 = 42$. В этом примере частное (42) равно делимому (42).

Ответ: частное равно делимому.

если делимое равно 0?

Этот вопрос рассматривает случай, когда делимое равно 0. Пусть делитель будет любым числом $b$, которое не равно нулю (математически это записывается как $b \neq 0$).

Операция деления будет выглядеть так: $0 \div b$.

Существует фундаментальное правило деления: при делении нуля на любое число, отличное от нуля, в результате всегда получается ноль. То есть, $0 \div b = 0$ (при $b \neq 0$).

Правильность этого утверждения также легко проверяется через умножение: $0 \times b = 0$. Результат умножения (0) совпадает с исходным делимым, что подтверждает верность вычисления.

Пример: $0 \div 9 = 0$.

Важно подчеркнуть, что делитель не может быть равен нулю. Операция деления на ноль ($a \div 0$) в математике считается неопределенной, так как она не приводит к однозначному результату. Поэтому, говоря о делении нуля, мы всегда подразумеваем, что деление производится на число, не равное нулю.

Ответ: частное равно 0 (при условии, что делитель не равен 0).

6. Что получится, если произведение двух чисел разделить на один из множителей?

6. Если произведение двух чисел разделить на один из множителей, то получается другой множитель.

Это одно из основных правил арифметики, которое следует из того, что деление является операцией, обратной умножению. Давайте рассмотрим это правило на общем примере и на конкретных числах.

Объяснение в общем виде:

Пусть у нас есть два числа (множителя). Обозначим первый множитель как a, а второй — как b.

Их произведение будет равно $a \times b$.

Теперь, согласно вопросу, нам нужно разделить это произведение на один из множителей.

1. Если мы разделим произведение $(a \times b)$ на первый множитель a (при условии, что $a \neq 0$), мы получим:
$(a \times b) \div a = \frac{a \times b}{a} = b$
В результате получается второй множитель b.

2. Если мы разделим произведение $(a \times b)$ на второй множитель b (при условии, что $b \neq 0$), мы получим:
$(a \times b) \div b = \frac{a \times b}{b} = a$
В результате получается первый множитель a.

Пример на конкретных числах:

Возьмем два множителя: 8 и 4.

Их произведение: $8 \times 4 = 32$.

Теперь разделим произведение (32) на один из множителей.

- Делим на первый множитель (8): $32 \div 8 = 4$. Результат — 4, что является вторым множителем.

- Делим на второй множитель (4): $32 \div 4 = 8$. Результат — 8, что является первым множителем.

Таким образом, можно сделать однозначный вывод.

Ответ: Если произведение двух чисел разделить на один из множителей, то получится другой множитель. (Это правило справедливо, если множитель, на который производится деление, не равен нулю).

7. Что получится, если умножить делитель на частное? если разделить делимое на частное?

7. Если умножить делитель на частное, то получается делимое. Если разделить делимое на частное, то получается делитель.

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо вспомнить основные компоненты арифметического действия деления и их взаимосвязь.

В любом выражении на деление присутствуют три элемента:

• Делимое — число, которое мы делим.
• Делитель — число, на которое мы делим.
• Частное — результат, который получается при делении.

Их связь можно выразить следующей формулой. Если обозначить делимое как $a$, делитель как $b$, а частное как $c$, то:
$a : b = c$

Деление является операцией, обратной умножению. Это означает, что для проверки правильности деления можно выполнить умножение. Если умножить частное ($c$) на делитель ($b$), в результате должно получиться делимое ($a$).
$c \cdot b = a$

Например, рассмотрим выражение $24 : 6 = 4$.
Здесь 24 — это делимое, 6 — делитель, а 4 — частное.
Если мы умножим делитель (6) на частное (4), то получим:
$6 \cdot 4 = 24$, что в точности равно нашему делимому.

Ответ: получится делимое.

Для ответа на этот вопрос воспользуемся той же формулой, что и в первом случае:
$a : b = c$
где $a$ — делимое, $b$ — делитель, $c$ — частное.

Эта формула представляет собой уравнение. Мы можем найти любой его компонент, зная два других. В данном случае нам нужно найти, чему равно выражение "делимое разделить на частное", то есть $a : c$.

Из основного равенства $a : b = c$ следует, что для нахождения делителя ($b$) необходимо делимое ($a$) разделить на частное ($c$). Это одно из правил нахождения неизвестного компонента деления.
$a : c = b$

Например, вернемся к нашему выражению $24 : 6 = 4$.
Разделим делимое (24) на частное (4):
$24 : 4 = 6$, что в точности равно нашему делителю.

Ответ: получится делитель.

8. Как можно проверить умножение? деление?

8. Чтобы проверить умножение, нужно произведение разделить на один из множителей. Если получится второй множитель, то вычисление выполнено верно.

Чтобы проверить деление, нужно частное умножить на делитель. Если получится делимое, то вычисление выполнено верно.

Как можно проверить умножение?

Умножение и деление — это взаимообратные арифметические операции. Поэтому, чтобы проверить правильность выполнения умножения, нужно использовать деление.

Правило проверки умножения: чтобы проверить умножение, нужно произведение разделить на один из множителей. Если в результате получится второй множитель, то умножение выполнено верно.

В общем виде это выглядит так: если $a \cdot b = c$, то для проверки можно выполнить одно из двух действий:

1. $c \div a = b$
2. $c \div b = a$

Пример:

Проверим, верно ли выполнено умножение: $9 \cdot 8 = 72$.

Проверка: Разделим произведение $72$ на первый множитель $9$.

$72 \div 9 = 8$

В результате мы получили второй множитель $8$, значит, вычисление было верным.

Можно также разделить произведение $72$ на второй множитель $8$:

$72 \div 8 = 9$

Результат — первый множитель $9$, что также подтверждает правильность решения.

Ответ: Чтобы проверить умножение, нужно произведение разделить на один из множителей. В результате должен получиться другой множитель.

Как можно проверить деление?

Так как деление является обратной операцией для умножения, то для его проверки нужно использовать умножение. Способ проверки зависит от того, есть ли в результате деления остаток.

1. Проверка деления без остатка.

Правило: чтобы проверить деление без остатка, нужно частное умножить на делитель. Если в результате получится делимое, то деление выполнено верно.

В общем виде: если $a \div b = c$, то для проверки нужно выполнить действие: $c \cdot b = a$.

Пример:

Проверим, верно ли выполнено деление: $63 \div 7 = 9$.

Проверка: Умножим частное $9$ на делитель $7$.

$9 \cdot 7 = 63$

В результате мы получили делимое $63$, значит, вычисление было верным.

2. Проверка деления с остатком.

Правило: чтобы проверить деление с остатком, нужно частное умножить на делитель и к полученному произведению прибавить остаток. Если в результате получится делимое, то деление выполнено верно.

В общем виде: если $a \div b = c$ (остаток $d$), то для проверки нужно выполнить действие: $c \cdot b + d = a$. Важно помнить, что остаток всегда должен быть меньше делителя ($d < b$).

Пример:

Проверим, верно ли выполнено деление: $38 \div 5 = 7$ (ост. $3$).

Проверка: Умножим частное $7$ на делитель $5$ и прибавим остаток $3$.

$7 \cdot 5 + 3 = 35 + 3 = 38$

В результате мы получили делимое $38$, значит, вычисление было верным.

Ответ: Чтобы проверить деление без остатка, нужно частное умножить на делитель. Чтобы проверить деление с остатком, нужно частное умножить на делитель и к результату прибавить остаток. В обоих случаях должно получиться делимое.

НАЧЕРТИ:

Поскольку на изображении отсутствует конкретный вопрос, проведем развернутый анализ представленной геометрической фигуры. Для этого введем декартову систему координат. Пусть одна клетка на изображении соответствует единице длины. Совместим узел сетки, в котором расположена точка B, с точкой (0, 0) на координатной плоскости. Тогда остальные точки будут иметь следующие координаты:

• B = (0, 0)
• A = (4, 3)
• C = (4, 6)
• D = (2, 3)
• K = (3, 4.5)

Проверим, лежат ли точки D и K на отрезке BC. Уравнение прямой, проходящей через точки B(0,0) и C(4,6), имеет вид $y = kx$. Подставив координаты точки C, найдем коэффициент $k$: $6 = k \cdot 4$, откуда $k = 6/4 = 1.5$. Таким образом, уравнение прямой BC: $y = 1.5x$.

• Для точки D(2,3): $y_D = 1.5 \cdot x_D \Rightarrow 3 = 1.5 \cdot 2$, что является верным равенством.
• Для точки K(3,4.5): $y_K = 1.5 \cdot x_K \Rightarrow 4.5 = 1.5 \cdot 3$, что также является верным равенством.

Поскольку x-координаты точек D и K находятся между x-координатами точек B и C ( $0 < 2 < 4$ и $0 < 3 < 4$ ), точки D и K действительно лежат на отрезке BC.

Теперь решим несколько стандартных задач для данной конфигурации.

Для нахождения длин сторон воспользуемся формулой расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Длина стороны AB (между B(0,0) и A(4,3)):
$|AB| = \sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Длина стороны AC (между A(4,3) и C(4,6)):
$|AC| = \sqrt{(4-4)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3$

Длина стороны BC (между B(0,0) и C(4,6)):
$|BC| = \sqrt{(4-0)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

Для вычисления площади треугольника ABC заметим, что сторона AC является вертикальным отрезком, так как x-координаты точек A и C совпадают ( $x_A=x_C=4$ ). Поэтому мы можем принять AC за основание. Длина основания $|AC|=3$. Высотой, проведенной к этому основанию из вершины B, будет перпендикуляр, опущенный из B на прямую $x=4$. Его длина равна разности x-координат: $h_B = 4 - 0 = 4$.

Площадь треугольника ABC равна половине произведения основания на высоту:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot h_B = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$

Ответ: Длины сторон треугольника: $|AB|=5$, $|AC|=3$, $|BC|=\sqrt{52}$. Площадь треугольника $S_{ABC}=6$ кв. ед.

1. Проверка на медиану.
Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Найдем координаты середины M стороны BC:
$M = (\frac{x_B+x_C}{2}, \frac{y_B+y_C}{2}) = (\frac{0+4}{2}, \frac{0+6}{2}) = (2, 3)$.
Полученные координаты совпадают с координатами точки D(2,3). Следовательно, D - середина стороны BC, а отрезок AD является медианой треугольника ABC.

2. Проверка на высоту.
Высота перпендикулярна стороне, к которой она проведена. Найдем угловые коэффициенты отрезков AD и BC.
Угловой коэффициент прямой BC мы уже нашли: $k_{BC} = 1.5$.
Угловой коэффициент прямой AD, проходящей через A(4,3) и D(2,3): $k_{AD} = \frac{3-3}{4-2} = \frac{0}{2} = 0$. (AD - горизонтальный отрезок).
Для перпендикулярности прямых должно выполняться условие $k_{AD} \cdot k_{BC} = -1$. В нашем случае $0 \cdot 1.5 = 0 \neq -1$. Следовательно, AD не является высотой.

3. Проверка на биссектрису.
Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Если AD - биссектриса угла A, то должно выполняться равенство $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|}$.
Так как D - середина BC, то $|BD| = |DC|$, и их отношение равно 1.
Найдем отношение сторон $|AB|$ и $|AC|$: $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{5}{3}$.
Поскольку $\frac{5}{3} \neq 1$, отрезок AD не является биссектрисой.

Ответ: Отрезок AD является медианой треугольника ABC, но не является его высотой или биссектрисой.

1. Нахождение отношения.
Найдем, в каком отношении точка K(3, 4.5) делит отрезок BC с концами в B(0,0) и C(4,6). Отношение $\frac{|BK|}{|KC|}$ можно найти через отношение проекций на оси координат.
Используя x-координаты: $\frac{|BK_x|}{|K_xC|} = \frac{x_K - x_B}{x_C - x_K} = \frac{3 - 0}{4 - 3} = \frac{3}{1} = 3$.
Используя y-координаты: $\frac{|BK_y|}{|K_yC|} = \frac{y_K - y_B}{y_C - y_K} = \frac{4.5 - 0}{6 - 4.5} = \frac{4.5}{1.5} = 3$.
Отношения совпадают, значит точка K делит отрезок BC в отношении 3:1, считая от точки B.

2. Анализ отрезка AK.
Медиана: AK не является медианой, так как K не является серединой BC.
Высота: Найдем угловой коэффициент прямой AK, проходящей через A(4,3) и K(3, 4.5): $k_{AK} = \frac{4.5-3}{3-4} = \frac{1.5}{-1} = -1.5$.
Угловой коэффициент BC равен $k_{BC} = 1.5$. Проверим условие перпендикулярности: $k_{AK} \cdot k_{BC} = -1.5 \cdot 1.5 = -2.25 \neq -1$. Следовательно, AK не является высотой.
Биссектриса: Проверим свойство биссектрисы: $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BK|}{|KC|}$.
Мы нашли, что $\frac{|BK|}{|KC|} = 3$, а $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{5}{3}$.
Так как $3 \neq \frac{5}{3}$, отрезок AK не является биссектрисой.

Ответ: Точка K делит отрезок BC в отношении 3:1 ( $|BK|:|KC| = 3:1$ ). Отрезок AK не является ни медианой, ни высотой, ни биссектрисой треугольника ABC.

10. Объясни, как можно узнать:

1) один из двух множителей, если известны произведение и другой множитель;
2) делимое, если известны делитель и частное;
3) делитель, если известны делимое и частное.

1) один из двух множителей, если известны произведение и другой множитель;

Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель. Это правило вытекает из определения операции деления, которая является обратной по отношению к умножению.

Давайте представим это в виде формулы. Пусть у нас есть два множителя, a и b, и их произведение c. Запись этого выглядит так:
$a \cdot b = c$

Если нам известен множитель b и произведение c, то чтобы найти неизвестный множитель a, мы должны выполнить следующее действие:
$a = c \div b$

Пример: Произведение двух чисел равно 48, а один из множителей равен 6. Найдем второй множитель.
$a \cdot 6 = 48$
$a = 48 \div 6$
$a = 8$

Ответ: Чтобы найти один из множителей, нужно произведение разделить на другой известный множитель.

2) делимое, если известны делитель и частное;

Чтобы найти неизвестное делимое, необходимо делитель умножить на частное. Это правило основано на том, что умножение является проверкой для деления и обратной ему операцией.

Запишем это в виде формулы. Обозначим делимое как a, делитель как b, а частное как c. Равенство выглядит следующим образом:
$a \div b = c$

Чтобы найти неизвестное делимое a, зная делитель b и частное c, нужно их перемножить:
$a = b \cdot c$

Пример: Некоторое число разделили на 9 и получили в частном 5. Найдем это число (делимое).
$a \div 9 = 5$
$a = 9 \cdot 5$
$a = 45$

Ответ: Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на частное.

3) делитель, если известны делимое и частное.

Чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное. Это правило также следует из взаимосвязи между компонентами деления.

Используем те же обозначения: a — делимое, b — делитель, c — частное. Исходное равенство:
$a \div b = c$

Чтобы найти неизвестный делитель b, зная делимое a и частное c, нужно выполнить деление:
$b = a \div c$

Пример: Число 63 разделили на неизвестное число и получили 7. Найдем это неизвестное число (делитель).
$63 \div b = 7$
$b = 63 \div 7$
$b = 9$

Ответ: Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.

11. Заполни таблицы.

Для заполнения левой таблицы необходимо найти недостающие значения произведения и множителей, используя правило: Множитель $\times$ Множитель = Произведение.

Произведение (первый столбец):

Чтобы найти произведение, следует перемножить два известных множителя. В этом столбце даны множители 23 и 4.

Вычисление: $23 \times 4 = 92$.

Ответ: 92.

Множитель (второй столбец):

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно разделить произведение на известный множитель. В этом столбце произведение равно 114, а известный множитель — 6.

Вычисление: $114 \div 6 = 19$.

Ответ: 19.

Множитель (третий столбец):

Аналогично, чтобы найти неизвестный множитель, делим произведение на известный множитель. В этом столбце произведение равно 72, а известный множитель — 18.

Вычисление: $72 \div 18 = 4$.

Ответ: 4.

Для заполнения правой таблицы необходимо найти недостающие значения частного, делимого и делителя, используя правило: Делимое $\div$ Делитель = Частное.

Частное (первый столбец):

Чтобы найти частное, необходимо разделить делимое на делитель. В этом столбце делимое равно 92, а делитель — 2.

Вычисление: $92 \div 2 = 46$.

Ответ: 46.

Делимое (второй столбец):

Чтобы найти делимое, нужно умножить делитель на частное. В этом столбце делитель равен 8, а частное — 21.

Вычисление: $8 \times 21 = 168$.

Ответ: 168.

Делитель (третий столбец):

Чтобы найти делитель, нужно разделить делимое на частное. В этом столбце делимое равно 100, а частное — 4.

Вычисление: $100 \div 4 = 25$.

Ответ: 25.

12. Реши следующие уравнения.

В данном уравнении $x$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение (76) разделить на известный множитель (19).

$x = 76 : 19$

$x = 4$

Проверка: $4 \cdot 19 = 76$.

Ответ: 4

В этом уравнении $x$ также является неизвестным множителем. Для его нахождения нужно разделить произведение (128) на известный множитель (32).

$x = 128 : 32$

$x = 4$

Проверка: $32 \cdot 4 = 128$.

Ответ: 4

Здесь $x$ — это неизвестный делитель. Чтобы найти неизвестный делитель, следует делимое (560) разделить на частное (8).

$x = 560 : 8$

$x = 70$

Проверка: $560 : 70 = 8$.

Ответ: 70

В данном уравнении $x$ является неизвестным делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное (6) умножить на делитель (14).

$x = 14 \cdot 6$

$x = 84$

Проверка: $84 : 14 = 6$.

Ответ: 84

13. Объясни, что означают записи на полях, и реши уравнения.

Записи на полях представляют собой уравнения, иллюстрирующие основные свойства умножения и деления, связанные с числами $0$ и $1$.

• Первый столбец ($x \cdot 57 = 0$ и $789 \cdot x = 0$) демонстрирует правило: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
• Второй и третий столбцы показывают другие особые случаи:
  • При умножении любого числа на $1$ получается то же самое число ($a \cdot 1 = a$).
  • При делении любого числа на $1$ получается то же самое число ($a : 1 = a$).
  • При делении числа на само себя (кроме нуля) получается $1$ ($a : a = 1$).
  • При делении нуля на любое число (кроме нуля) получается $0$ ($0 : a = 0$).

Решим уравнения, используя эти правила.

$x \cdot 57 = 0$
В этом уравнении произведение равно нулю. Один из множителей равен $57$, что не является нулем. Следовательно, другой множитель, $x$, должен быть равен нулю. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
$x = 0 : 57$
$x = 0$
Ответ: $x = 0$.

$789 \cdot x = 0$
Аналогично предыдущему уравнению, произведение равно нулю. Так как множитель $789$ не равен нулю, то неизвестный множитель $x$ должен быть равен нулю.
$x = 0 : 789$
$x = 0$
Ответ: $x = 0$.

$12 : x = 12$
В этом уравнении делимое ($12$) равно частному ($12$). Такое возможно только в том случае, если делитель равен $1$. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
$x = 12 : 12$
$x = 1$
Ответ: $x = 1$.

$x : 697 = 0$
Частное равно нулю. Такое возможно только в том случае, если делимое равно нулю. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.
$x = 0 \cdot 697$
$x = 0$
Ответ: $x = 0$.

$x \cdot 14 = 14$
Произведение ($14$) равно одному из множителей ($14$). Такое возможно, только если второй множитель равен $1$. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
$x = 14 : 14$
$x = 1$
Ответ: $x = 1$.

$45 : x = 1$
Частное равно $1$. Такое возможно, только если делимое и делитель равны. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
$x = 45 : 1$
$x = 45$
Ответ: $x = 45$.

14. Вычисли значения выражений.

$278 \cdot 0$
Согласно свойству умножения, любое число, умноженное на ноль, равно нулю.
$278 \cdot 0 = 0$
Ответ: 0

$278 \cdot 1$
Согласно свойству умножения, любое число, умноженное на единицу, равно самому себе.
$278 \cdot 1 = 278$
Ответ: 278

$0 : 47$
Согласно правилу деления, ноль, разделенный на любое число (кроме нуля), равен нулю.
$0 : 47 = 0$
Ответ: 0

$94 : 1$
Согласно правилу деления, любое число, разделенное на единицу, равно самому себе.
$94 : 1 = 94$
Ответ: 94

$75 \cdot 4 \cdot 0 \cdot 3$
В данном выражении присутствует умножение на ноль. Если в произведении хотя бы один из множителей равен нулю, то все произведение равно нулю.
$75 \cdot 4 \cdot 0 \cdot 3 = 0$
Можно также вычислить по порядку:
1) $75 \cdot 4 = 300$
2) $300 \cdot 0 = 0$
3) $0 \cdot 3 = 0$
Ответ: 0

$36 \cdot (63 - 63) \cdot 10$
Согласно порядку выполнения действий, сначала вычисляем значение в скобках.
1) $63 - 63 = 0$
Теперь подставляем результат в исходное выражение:
2) $36 \cdot 0 \cdot 10$
Поскольку один из множителей равен нулю, все произведение равно нулю.
$36 \cdot 0 \cdot 10 = 0$
Ответ: 0

15. Какие свойства умножения ты знаешь (с. 118)? Объясни, почему верны следующие равенства.

Существуют три основных свойства умножения, которые позволяют упрощать вычисления:

• Переместительное свойство (коммутативность): от перестановки множителей произведение не меняется. В виде формулы это записывается так: $a \cdot b = b \cdot a$.
• Сочетательное свойство (ассоциативность): чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел. Формула: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
• Распределительное свойство (дистрибутивность): чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные результаты сложить. Формула: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Объяснение равенств:

$12 \cdot 35 = 35 \cdot 12$

Это равенство верно благодаря переместительному свойству умножения. Оно гласит, что результат умножения не зависит от порядка, в котором перемножаются числа. В данном случае множители 12 и 35 поменяли местами, но их произведение от этого не изменилось.
Проверим вычислением:
$12 \cdot 35 = 420$
$35 \cdot 12 = 420$
Результаты равны, следовательно, равенство верно.

Ответ: Равенство $12 \cdot 35 = 35 \cdot 12$ верно, так как оно является примером переместительного свойства умножения ($a \cdot b = b \cdot a$).

$17 \cdot 5 \cdot 2 = 17 \cdot 10$

Это равенство верно благодаря сочетательному свойству умножения. Это свойство позволяет группировать множители в любом порядке для удобства вычислений. В левой части равенства мы можем сгруппировать множители 5 и 2:
$17 \cdot 5 \cdot 2 = 17 \cdot (5 \cdot 2)$
Сначала выполним умножение в скобках:
$5 \cdot 2 = 10$
Теперь подставим полученный результат обратно в выражение:
$17 \cdot 10$
Таким образом, левая часть равенства $17 \cdot 5 \cdot 2$ преобразуется в правую часть $17 \cdot 10$.

Ответ: Равенство $17 \cdot 5 \cdot 2 = 17 \cdot 10$ верно, так как оно основано на сочетательном свойстве умножения, которое позволяет сгруппировать множители для упрощения вычисления: $17 \cdot (5 \cdot 2) = 17 \cdot 10$.

16. Покажи на примерах, как можно умножить сумму нескольких чисел на какое−либо число; как можно разделить сумму на число.

Как можно умножить сумму нескольких чисел на какое-либо число

Чтобы умножить сумму нескольких чисел на какое-либо число, можно использовать один из двух способов. В математике это правило называется распределительным свойством умножения относительно сложения и в общем виде записывается формулой: $ (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c $.

Способ 1: Вычислить сумму чисел в скобках, а затем умножить полученный результат на число.

Способ 2: Умножить каждое слагаемое из скобок на это число по отдельности, а затем сложить полученные произведения.

Рассмотрим оба способа на примерах.

Пример 1: Умножить сумму чисел 7 и 9 на 4.

Решение способом 1:

$ (7 + 9) \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64 $

Решение способом 2:

$ (7 + 9) \cdot 4 = 7 \cdot 4 + 9 \cdot 4 = 28 + 36 = 64 $

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Пример 2: Умножить сумму чисел 15, 5 и 10 на 3.

Решение способом 1:

$ (15 + 5 + 10) \cdot 3 = 30 \cdot 3 = 90 $

Решение способом 2:

$ (15 + 5 + 10) \cdot 3 = 15 \cdot 3 + 5 \cdot 3 + 10 \cdot 3 = 45 + 15 + 30 = 90 $

Ответ: Чтобы умножить сумму на число, можно вычислить эту сумму и результат умножить на число, либо умножить каждое слагаемое на это число и полученные произведения сложить.

Как можно разделить сумму на число

Чтобы разделить сумму на число, так же, как и при умножении, можно использовать два способа. В общем виде это правило можно записать формулой: $ (a + b) \div c = a \div c + b \div c $.

Способ 1: Вычислить сумму чисел, а затем разделить результат на делитель.

Способ 2: Разделить каждое слагаемое на делитель по отдельности, а затем сложить полученные частные. Этот способ особенно удобен, когда каждое слагаемое делится на это число без остатка.

Рассмотрим оба способа на примерах.

Пример 1: Разделить сумму чисел 30 и 18 на 6.

Решение способом 1:

$ (30 + 18) \div 6 = 48 \div 6 = 8 $

Решение способом 2:

$ (30 + 18) \div 6 = 30 \div 6 + 18 \div 6 = 5 + 3 = 8 $

Результаты совпадают.

Пример 2: Разделить сумму чисел 40, 80 и 120 на 20.

Решение способом 1:

$ (40 + 80 + 120) \div 20 = 240 \div 20 = 12 $

Решение способом 2:

$ (40 + 80 + 120) \div 20 = 40 \div 20 + 80 \div 20 + 120 \div 20 = 2 + 4 + 6 = 12 $

Ответ: Чтобы разделить сумму на число, можно вычислить эту сумму и результат разделить на число, либо (если каждое слагаемое делится на это число) разделить каждое слагаемое на число и полученные частные сложить.

17. Выполни вычисления и проверь их.

Выполним умножение:
$4078 \cdot 6 = 24468$
Проверка (делением):
$24468 : 6 = 4078$
Ответ: $24468$

Выполним деление:
$73648 : 8 = 9206$
Проверка (умножением):
$9206 \cdot 8 = 73648$
Ответ: $9206$

Выполним умножение. Можно умножить 492 на 3 и приписать к результату два нуля:
$492 \cdot 3 = 1476$
$1476 \cdot 100 = 147600$
Таким образом, $492 \cdot 300 = 147600$
Проверка (делением):
$147600 : 300 = 1476 : 3 = 492$
Ответ: $147600$

Выполним деление. Можно убрать по одному нулю в делимом и делителе, а затем разделить:
$51200 : 80 = 5120 : 8 = 640$
Проверка (умножением):
$640 \cdot 80 = 51200$
Ответ: $640$

Выполним умножение, поменяв множители местами для удобства:
$5930 \cdot 8 = 47440$
Проверка (делением):
$47440 : 8 = 5930$
Ответ: $47440$

Выполним деление:
$27420 : 6 = 4570$
Проверка (умножением):
$4570 \cdot 6 = 27420$
Ответ: $4570$

Выполним умножение. Можно перемножить 78 и 4, а затем приписать к результату три нуля (два от 7800 и один от 40):
$78 \cdot 4 = 312$
$312 \cdot 1000 = 312000$
Таким образом, $7800 \cdot 40 = 312000$
Проверка (делением):
$312000 : 40 = 31200 : 4 = 7800$
Ответ: $312000$

Выполним деление. Можно убрать по одному нулю в делимом и делителе:
$34720 : 70 = 3472 : 7 = 496$
Проверка (умножением):
$496 \cdot 70 = 34720$
Ответ: $496$

18. Выполни деление с остатком и сделай проверку.

Для выполнения деления с остатком $11978$ на $52$ произведем следующие действия:
1. Первое неполное делимое — $119$. Делим $119$ на $52$, получаем $2$ в частном. $2 \cdot 52 = 104$. Вычитаем: $119 - 104 = 15$.
2. К остатку $15$ сносим следующую цифру $7$, получаем неполное делимое $157$. Делим $157$ на $52$, получаем $3$ в частном. $3 \cdot 52 = 156$. Вычитаем: $157 - 156 = 1$.
3. К остатку $1$ сносим следующую цифру $8$, получаем неполное делимое $18$. Так как $18 < 52$, в частное записываем $0$. Остаток от деления равен $18$.
Таким образом, неполное частное — $230$, остаток — $18$.

Проверка:
Умножим частное на делитель и прибавим остаток. Результат должен быть равен делимому.
$230 \cdot 52 + 18 = 11960 + 18 = 11978$.
$11978 = 11978$. Равенство верное, значит, деление выполнено правильно.

Ответ: $11978 : 52 = 230$ (ост. $18$).

Для выполнения деления с остатком $34051$ на $420$ произведем следующие действия:
1. Первое неполное делимое — $3405$. Делим $3405$ на $420$, получаем $8$ в частном. $8 \cdot 420 = 3360$. Вычитаем: $3405 - 3360 = 45$.
2. К остатку $45$ сносим следующую цифру $1$, получаем неполное делимое $451$. Делим $451$ на $420$, получаем $1$ в частном. $1 \cdot 420 = 420$. Вычитаем: $451 - 420 = 31$.
Так как больше цифр в делимом нет, $31$ является остатком.
Таким образом, неполное частное — $81$, остаток — $31$.

Проверка:
Умножим частное на делитель и прибавим остаток. Результат должен быть равен делимому.
$81 \cdot 420 + 31 = 34020 + 31 = 34051$.
$34051 = 34051$. Равенство верное, значит, деление выполнено правильно.

Ответ: $34051 : 420 = 81$ (ост. $31$).

Для выполнения деления с остатком $22700$ на $74$ произведем следующие действия:
1. Первое неполное делимое — $227$. Делим $227$ на $74$, получаем $3$ в частном. $3 \cdot 74 = 222$. Вычитаем: $227 - 222 = 5$.
2. К остатку $5$ сносим следующую цифру $0$, получаем неполное делимое $50$. Так как $50 < 74$, в частное записываем $0$.
3. К новому остатку $50$ сносим следующую цифру $0$, получаем неполное делимое $500$. Делим $500$ на $74$, получаем $6$ в частном. $6 \cdot 74 = 444$. Вычитаем: $500 - 444 = 56$.
Так как больше цифр в делимом нет, $56$ является остатком.
Таким образом, неполное частное — $306$, остаток — $56$.

Проверка:
Умножим частное на делитель и прибавим остаток. Результат должен быть равен делимому.
$306 \cdot 74 + 56 = 22644 + 56 = 22700$.
$22700 = 22700$. Равенство верное, значит, деление выполнено правильно.

Ответ: $22700 : 74 = 306$ (ост. $56$).

19. Выложи такую фигуру из палочек. Убери 3 палочки так, чтобы осталось 3 треугольника.

Для решения этой головоломки необходимо сначала определить, какая именно фигура из палочек имеется в виду. В условии сказано «выложи такую фигуру», что подразумевает конкретную, но не показанную конструкцию. Классические варианты подобных задач часто содержат небольшую хитрость или используют фигуру, которая не сразу приходит на ум.

Если предположить стандартную фигуру из 9 палочек, образующую 5 треугольников (большой треугольник, разделенный на 4 малых), то задача не имеет решения в рамках строгой геометрии: после удаления 3 палочек остается 6, из которых невозможно составить 3 треугольника.

Однако существует элегантное решение, если в качестве исходной фигуры взять более сложную, но известную конструкцию — Звезду Давида, сложенную из 12 палочек.

1. Исходная фигура:
   Сложите из 12 палочек фигуру в виде Звезды Давида. Она состоит из двух больших пересекающихся равносторонних треугольников и образует 6 маленьких треугольников по углам и один шестиугольник в центре.
   
   
   Эта фигура состоит ровно из 12 палочек (каждая сторона большого треугольника состоит из одной палочки). Она содержит 6 маленьких треугольников по краям.
2. Действие:
   Теперь необходимо убрать 3 палочки. Уберите три палочки, которые образуют "вершины" одного из больших треугольников, например, верхнего. Это три крайние палочки, которые не являются сторонами центрального шестиугольника.
   
   

   Чтобы было понятнее, убираем три палочки, которые образуют три "внешних" угла, смотрящих вверх, влево-вниз и вправо-вниз.

3. Результат:
   После удаления этих трех палочек исходная фигура разрушается, но при этом три маленьких треугольника, которые были вершинами "нижнего" большого треугольника, остаются нетронутыми.
   
   
   В итоге у нас остается фигура, в которой можно четко выделить 3 отдельных (хоть и соединенных другими палочками) равносторонних треугольника.

Ответ: Нужно выложить из 12 палочек Звезду Давида, а затем убрать 3 палочки, формирующие три чередующихся внешних угла. В результате останется фигура, содержащая ровно 3 треугольника.