Страница 89, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

422. Реши только те примеры, в которых в частном получается трёхзначное число.

422. Пояснение:

Количество цифр в записи частного определяем после выделения первого неполного делимого. Если первое неполное делимое тысячи, значит в записи частного будет 4 цифры, если первое неполное делимое сотни, значит в записи частного будет 3 цифры и так далее.

В выражении 485 : 5 первое неполное делимое 48 десятков, поэтому в частном 2 цифры.

В выражении 952 : 8 первое неполное делимое 9 сотен, поэтому в частном 3 цифры.

В выражении 4 015 : 5 первое неполное делимое 40 сотен, поэтому в частном 3 цифры.

В выражении 8 118 : 3 первое неполное делимое 8 тысяч, поэтому в частном 4 цифры.

В выражении 31 440 : 4 первое неполное делимое 31 тысяча, поэтому в частном 4 цифры.

В выражении 13 140 : 6 первое неполное делимое 13 тысяч, поэтому в частном 4 цифры.

В выражении 7 224 : 8 первое неполное делимое 72 тысячи, поэтому в частном 3 цифры.

В выражении 8 820 : 9 первое неполное делимое 88 сотен, поэтому в частном 3 цифры.

4 015 : 5 = 803

7 224 : 8 = 903

Согласно условию, необходимо решить только те примеры, в которых частное (результат деления) является трёхзначным числом, то есть числом в диапазоне от 100 до 999. Для этого сначала определим количество цифр в частном для каждого примера, а затем решим только подходящие.

• $485 : 5$ — частное будет двузначным, так как $5 \times 100 = 500$, а $485 < 500$.
• $952 : 8$ — частное будет трёхзначным, так как $8 \times 100 = 800$, $8 \times 1000 = 8000$, и $800 < 952 < 8000$. Решаем.
• $4015 : 5$ — частное будет трёхзначным, так как $5 \times 100 = 500$, $5 \times 1000 = 5000$, и $500 < 4015 < 5000$. Решаем.
• $8118 : 3$ — частное будет четырёхзначным, так как $3 \times 1000 = 3000$, а $8118 > 3000$.
• $31440 : 4$ — частное будет четырёхзначным, так как $4 \times 1000 = 4000$, а $31440 > 4000$.
• $13140 : 6$ — частное будет четырёхзначным, так как $6 \times 1000 = 6000$, а $13140 > 6000$.
• $7224 : 8$ — частное будет трёхзначным, так как $8 \times 100 = 800$, $8 \times 1000 = 8000$, и $800 < 7224 < 8000$. Решаем.
• $8820 : 9$ — частное будет трёхзначным, так как $9 \times 100 = 900$, $9 \times 1000 = 9000$, и $900 < 8820 < 9000$. Решаем.

952 : 8

Выполним деление в столбик:

1. Первое неполное делимое — 9 (сотен). Делим 9 на 8. В частное пишем 1. Остаток $9 - 8 \times 1 = 1$.
2. Сносим следующую цифру 5. Получаем 15 (десятков). Делим 15 на 8. В частное пишем 1. Остаток $15 - 8 \times 1 = 7$.
3. Сносим следующую цифру 2. Получаем 72 (единицы). Делим 72 на 8. В частное пишем 9. Остаток $72 - 8 \times 9 = 0$.

Результат: $952 : 8 = 119$. Число 119 является трёхзначным.

Ответ: 119

4015 : 5

Выполним деление в столбик:

1. Первое неполное делимое — 40 (сотен). Делим 40 на 5. В частное пишем 8. Остаток $40 - 5 \times 8 = 0$.
2. Сносим следующую цифру 1. Делим 1 на 5. В частное пишем 0. Остаток 1.
3. Сносим следующую цифру 5. Получаем 15 (единиц). Делим 15 на 5. В частное пишем 3. Остаток $15 - 5 \times 3 = 0$.

Результат: $4015 : 5 = 803$. Число 803 является трёхзначным.

Ответ: 803

7224 : 8

Выполним деление в столбик:

1. Первое неполное делимое — 72 (сотни). Делим 72 на 8. В частное пишем 9. Остаток $72 - 8 \times 9 = 0$.
2. Сносим следующую цифру 2. Делим 2 на 8. В частное пишем 0. Остаток 2.
3. Сносим следующую цифру 4. Получаем 24 (единицы). Делим 24 на 8. В частное пишем 3. Остаток $24 - 8 \times 3 = 0$.

Результат: $7224 : 8 = 903$. Число 903 является трёхзначным.

Ответ: 903

8820 : 9

Выполним деление в столбик:

1. Первое неполное делимое — 88 (сотен). Делим 88 на 9. В частное пишем 9. Остаток $88 - 9 \times 9 = 7$.
2. Сносим следующую цифру 2. Получаем 72 (десятка). Делим 72 на 9. В частное пишем 8. Остаток $72 - 9 \times 8 = 0$.
3. Сносим следующую цифру 0. Делим 0 на 9. В частное пишем 0. Остаток 0.

Результат: $8820 : 9 = 980$. Число 980 является трёхзначным.

Ответ: 980

423. Найди пропущенное число.

423. Пояснение:

Для того, чтобы найти пропущенное число (это число делимое), нужно частное умножить на делитель и прибавить остаток.

17 225 : 6 = 2870 (ост. 5)
Проверка:

17 220 + 5 = 17 225

25 505 : 3 = 8 501 (ост. 2)
Проверка:

25 503 + 2 = 25 505

24 315 : 4 = 6 078 (ост. 3)
Проверка:

24 312 + 3 = 24 315

24 354 : 5 = 4 870 (ост. 4)
Проверка:

24 350 + 5 = 24 354

Чтобы найти пропущенное число, которое является делимым, нужно частное умножить на делитель и к полученному результату прибавить остаток. Общая формула выглядит так: Делимое = (Частное ? Делитель) + Остаток.

? : 6 = 2870 (ост. 5)

В этом примере частное равно 2870, делитель — 6, а остаток — 5. Чтобы найти делимое, выполним следующие действия:

1. Умножим частное на делитель: $2870 \cdot 6 = 17220$.

2. К результату прибавим остаток: $17220 + 5 = 17225$.

Таким образом, пропущенное число — это 17225. Проверим: $17225 : 6 = 2870$ и в остатке 5.

Ответ: 17225

? : 4 = 6078 (ост. 3)

Здесь частное — 6078, делитель — 4, остаток — 3. Находим пропущенное число:

1. Умножим частное на делитель: $6078 \cdot 4 = 24312$.

2. К полученному числу прибавим остаток: $24312 + 3 = 24315$.

Пропущенное число — 24315. Проверка: $24315 : 4 = 6078$ и в остатке 3.

Ответ: 24315

? : 3 = 8501 (ост. 2)

В этом случае частное равно 8501, делитель — 3, остаток — 2. Выполним вычисления:

1. Умножим частное на делитель: $8501 \cdot 3 = 25503$.

2. К результату прибавим остаток: $25503 + 2 = 25505$.

Пропущенное число — 25505. Проверка: $25505 : 3 = 8501$ и в остатке 2.

Ответ: 25505

? : 5 = 4870 (ост. 4)

Здесь частное — 4870, делитель — 5, остаток — 4. Найдем делимое:

1. Умножим частное на делитель: $4870 \cdot 5 = 24350$.

2. К полученному произведению прибавим остаток: $24350 + 4 = 24354$.

Пропущенное число — 24354. Проверка: $24354 : 5 = 4870$ и в остатке 4.

Ответ: 24354

424. Школьная библиотека получила 32 пачки учебников русского языка, по 8 штук в каждой, и несколько пачек учебников математики, по 10 штук в каждой. Всего было получено 506 учебников русского языка и математики. Сколько пачек учебников математики получила библиотека?

424. Сделаем краткую запись в таблице.

Пояснение:

Вспомним соотношение К₁ К ОК.

К₁ = ОК : К; К = ОК : К₁; ОК = К₁ ∙ К.

Для того, чтобы узнать, сколько пачек учебников математики получила библиотека, общее количество учебников по математике (ОК) надо разделить на количество учебников в 1 пачке (К₁) К = ОК : К₁. Но мы не знаем общее количество учебников по математике.

Чтобы найти общее количество учебников по математике, нужно от общего количества всех учебников вычесть общее количество учебников по русскому языку.

Но общее количество учебников по русскому языку нам тоже не известно. Чтобы найти это значение, нужно количество учебников в 1 пачке (К₁) умножить количество пачек (К) ОК = К₁ ∙ К. Находим это значение первым действием.

Затем вычитанием узнаем общее количество учебников по математике.

Третьим действием ответим на вопрос задачи, сколько пачек учебников математики получила библиотека (К = ОК : К₁).

Решение (жирный шрифт) записываем в тетрадь:

1) 32 ∙ 8 = 256 (уч.) – по русскому языку получила библиотека.
2) 506 − 256 = 250 (уч.) – по математике получила библиотека.
3) 250 : 10 = 25 (п.)
Ответ: 25 пачек учебников по математике получила библиотека.

1. Найдем общее количество учебников русского языка.
Чтобы найти, сколько всего учебников русского языка получила библиотека, нужно умножить количество пачек на число учебников в каждой пачке.
$32 \times 8 = 256$ (учебников русского языка).

2. Найдем общее количество учебников математики.
Известно, что всего было 506 учебников. Чтобы найти количество учебников математики, нужно из общего числа всех учебников вычесть количество учебников русского языка.
$506 - 256 = 250$ (учебников математики).

3. Найдем количество пачек учебников математики.
Учебники математики были упакованы в пачки по 10 штук. Чтобы найти количество пачек, нужно общее количество учебников математики разделить на число учебников в одной пачке.
$250 \div 10 = 25$ (пачек).

Ответ: библиотека получила 25 пачек учебников математики.

425. Два маляра получили вместе за работу 28 500 р. Первый работал 6 дней, второй 4 дня. Сколько денег должен получить каждый, если плата за один день была одинаковой?

425. Сделаем краткую запись в таблице.

Пояснение:

Вспомним соотношение К₁ К ОК.

К₁ = ОК : К; К = ОК : К₁; ОК = К₁ ∙ К.

Для того, чтобы узнать, сколько денег должен получить каждый маляр, нужно плату за один день (К₁) умножить на количество дней (К).

Но мы не знаем плату за один день. Чтобы найти это значение, нужно общее количество заработанных двумя малярами рублей (ОК) разделить на все дни, которые работали оба маляра.

Количество дней, которые работали оба маляра нам тоже неизвестно.

Поэтому, первым действием сложением найдём количество дней, которые работали оба маляра.

Затем узнаем плату за один день (К₁) К₁ = ОК : К.

Третьим и четвёртым действием сможем найти, сколько денег должен получить первый маляр и сколько – второй маляр.

Решение (жирный шрифт) записываем в тетрадь:

1) 6 + 4 = 10 (дн.) – всего работали оба маляра.
2) 28 500 : 10 = 2 850 (р.) – плата за один рабочий день.
3) 2 850 ∙ 6 = 17 100 (р.) – должен получить первый маляр.
4) 2 850 ∙ 4 = 11 400 (р.) – должен получить второй маляр.
Ответ: 17 100 рублей должен получить первый маляр. 11 400 рублей должен получить второй маляр.

Для того чтобы рассчитать, сколько денег получит каждый маляр, необходимо сначала определить стоимость одного рабочего дня, так как по условию задачи она была одинаковой для обоих.

1. Сначала найдем общее количество дней, которые оба маляра отработали вместе.
$6 \text{ дней} + 4 \text{ дня} = 10 \text{ дней}$

2. Теперь разделим общую сумму заработка на общее количество отработанных дней, чтобы найти плату за один день.
$28500 \div 10 = 2850$ (р.) — стоимость одного рабочего дня.

Теперь, зная стоимость одного дня, можно рассчитать заработок каждого маляра.

Первый маляр

Первый маляр работал 6 дней. Умножим стоимость одного дня на количество отработанных им дней:
$2850 \times 6 = 17100$ (р.)

Ответ: первый маляр должен получить 17 100 р.

Второй маляр

Второй маляр работал 4 дня. Умножим стоимость одного дня на количество отработанных им дней:
$2850 \times 4 = 11400$ (р.)

Ответ: второй маляр должен получить 11 400 р.

Проверка: Сложим заработок обоих маляров, чтобы убедиться, что он равен общей сумме.
$17100 + 11400 = 28500$ (р.).
Расчеты верны.

426. В каких уравнениях неизвестное число равно 100?

426.

В остальных уравнениях результат другой:

Для того чтобы определить, в каких уравнениях неизвестное число равно 100, необходимо решить каждое уравнение и найти значение x.

$100 \cdot x = 4000 : 10$

Сначала упростим правую часть уравнения: $4000 : 10 = 400$. Теперь уравнение выглядит так: $100 \cdot x = 400$. Чтобы найти неизвестный множитель x, нужно произведение (400) разделить на известный множитель (100): $x = 400 : 100$. $x = 4$. В этом уравнении неизвестное число не равно 100. Ответ: $x = 4$.

$100 000 : x = 480 + 520$

Упростим правую часть уравнения, выполнив сложение: $480 + 520 = 1000$. Теперь уравнение выглядит так: $100 000 : x = 1000$. Чтобы найти неизвестный делитель x, нужно делимое (100 000) разделить на частное (1000): $x = 100 000 : 1000$. $x = 100$. В этом уравнении неизвестное число равно 100. Ответ: $x = 100$.

$x \cdot 5 = 125 \cdot 4$

Упростим правую часть уравнения, выполнив умножение: $125 \cdot 4 = 500$. Теперь уравнение выглядит так: $x \cdot 5 = 500$. Чтобы найти неизвестный множитель x, нужно произведение (500) разделить на известный множитель (5): $x = 500 : 5$. $x = 100$. В этом уравнении неизвестное число равно 100. Ответ: $x = 100$.

$x : 100 = 8025 - 8000$

Упростим правую часть уравнения, выполнив вычитание: $8025 - 8000 = 25$. Теперь уравнение выглядит так: $x : 100 = 25$. Чтобы найти неизвестное делимое x, нужно частное (25) умножить на делитель (100): $x = 25 \cdot 100$. $x = 2500$. В этом уравнении неизвестное число не равно 100. Ответ: $x = 2500$.

Таким образом, неизвестное число равно 100 в следующих уравнениях:

• $100 000 : x = 480 + 520$
• $x \cdot 5 = 125 \cdot 4$

427. Вырази:

1) в килограммах: 8 т, 5 ц 25 кг;
2) в метрах: 12 км, 4 км 070 м, 300 см;
3) в квадратных метрах: 700 дм², 80 000 см²;
4) в квадратных миллиметрах: 7 см², 10 см².

427.

1) в килограммах:
8 т = 8 000 кг;
5 ц 25 кг = 525 кг

2) в метрах:
12 км = 12 000 м;
4 км 070 м = 4 070 м;
300 см = 3 м;

3) в квадратных метрах:
700 дм² = 7 м²;
80 000 см² = 8 м²;

4) в квадратных миллиметрах:
7 см² = 700 мм²;
10 см² = 1 000 мм².

1) в килограммах:

Для решения этой задачи необходимо знать следующие соотношения единиц массы:
$1 \text{ тонна (т)} = 1000 \text{ килограмм (кг)}$
$1 \text{ центнер (ц)} = 100 \text{ килограмм (кг)}$

Переведем 8 т в килограммы:
Чтобы перевести тонны в килограммы, нужно умножить значение в тоннах на 1000.
$8 \text{ т} = 8 \times 1000 \text{ кг} = 8000 \text{ кг}$.

Переведем 5 ц 25 кг в килограммы:
Сначала переведем центнеры в килограммы, умножив их на 100, а затем прибавим оставшиеся килограммы.
$5 \text{ ц } 25 \text{ кг} = (5 \times 100) \text{ кг} + 25 \text{ кг} = 500 \text{ кг} + 25 \text{ кг} = 525 \text{ кг}$.

Ответ: 8000 кг; 525 кг.

2) в метрах:

Для решения этой задачи необходимо знать следующие соотношения единиц длины:
$1 \text{ километр (км)} = 1000 \text{ метров (м)}$
$1 \text{ метр (м)} = 100 \text{ сантиметров (см)}$

Переведем 12 км в метры:
$12 \text{ км} = 12 \times 1000 \text{ м} = 12000 \text{ м}$.

Переведем 4 км 070 м в метры:
$4 \text{ км } 070 \text{ м} = (4 \times 1000) \text{ м} + 70 \text{ м} = 4000 \text{ м} + 70 \text{ м} = 4070 \text{ м}$.

Переведем 300 см в метры:
Чтобы перевести сантиметры в метры, нужно разделить значение в сантиметрах на 100.
$300 \text{ см} = 300 \div 100 \text{ м} = 3 \text{ м}$.

Ответ: 12000 м; 4070 м; 3 м.

3) в квадратных метрах:

Для решения этой задачи необходимо знать следующие соотношения единиц площади:
$1 \text{ м} = 10 \text{ дм} \implies 1 \text{ м}^2 = 10 \times 10 = 100 \text{ дм}^2$
$1 \text{ м} = 100 \text{ см} \implies 1 \text{ м}^2 = 100 \times 100 = 10000 \text{ см}^2$

Переведем 700 дм? в квадратные метры:
Чтобы перевести квадратные дециметры в квадратные метры, нужно разделить значение на 100.
$700 \text{ дм}^2 = 700 \div 100 \text{ м}^2 = 7 \text{ м}^2$.

Переведем 80 000 см? в квадратные метры:
Чтобы перевести квадратные сантиметры в квадратные метры, нужно разделить значение на 10000.
$80000 \text{ см}^2 = 80000 \div 10000 \text{ м}^2 = 8 \text{ м}^2$.

Ответ: 7 м?; 8 м?.

4) в квадратных миллиметрах:

Для решения этой задачи необходимо знать следующее соотношение единиц площади:
$1 \text{ см} = 10 \text{ мм} \implies 1 \text{ см}^2 = 10 \times 10 = 100 \text{ мм}^2$

Переведем 7 см? в квадратные миллиметры:
Чтобы перевести квадратные сантиметры в квадратные миллиметры, нужно умножить значение на 100.
$7 \text{ см}^2 = 7 \times 100 \text{ мм}^2 = 700 \text{ мм}^2$.

Переведем 10 см? в квадратные миллиметры:
$10 \text{ см}^2 = 10 \times 100 \text{ мм}^2 = 1000 \text{ мм}^2$.

Ответ: 700 мм?; 1000 мм?.

428.

428. Вспомним порядок действий в выражениях:

При вычислении числовых выражений сначала выполняют действия умножения и деления, а затем сложения и вычитания, слева направо. При наличии скобок вычисляют сначала значение выражения в них.

Если выражение содержит несколько пар скобок, то сначала находят значения выражений в скобках (слева направо), а затем выполняют действия по первым двум правилам.

$(40 000 \stackrel{\mathit{2}}{-} 3 786) \stackrel{\mathit{1}}{·} 4 = 144 856$

$40 000 \stackrel{\mathit{2}}{\mathit{-}} 3 786 \stackrel{\mathit{1}}{·} 4 = 24 856$

$8 904 \stackrel{\mathit{2}}{+} 7 080 \stackrel{\mathit{1}}{:} 6 = 10 084$

$(8 904 \stackrel{\mathit{2}}{+} 7 080) \stackrel{\mathit{1}}{:} 6 = 2 664$

Напомним действия с числом 0:

Если нуль разделить на число, то получится нуль.

Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю.

0 : 9 = 0
0 ∙ 9 = 0

(40 000 ? 3 786) · 4
В данном выражении порядок действий определяется скобками. Сначала выполняем действие в скобках, затем умножение.
1) Выполним вычитание в скобках:
$40 000 - 3 786 = 36 214$
2) Умножим результат на 4:
$36 214 \cdot 4 = 144 856$
Ответ: 144 856

40 000 ? 3 786 · 4
Согласно правилам порядка выполнения арифметических действий, сначала выполняется умножение, а затем вычитание.
1) Выполним умножение:
$3 786 \cdot 4 = 15 144$
2) Выполним вычитание:
$40 000 - 15 144 = 24 856$
Ответ: 24 856

8 904 + 7 080 : 6
Согласно правилам порядка выполнения арифметических действий, сначала выполняется деление, а затем сложение.
1) Выполним деление:
$7 080 : 6 = 1 180$
2) Выполним сложение:
$8 904 + 1 180 = 10 084$
Ответ: 10 084

(8 904 + 7 080) : 6
В данном выражении порядок действий определяется скобками. Сначала выполняем действие в скобках, затем деление.
1) Выполним сложение в скобках:
$8 904 + 7 080 = 15 984$
2) Разделим результат на 6:
$15 984 : 6 = 2 664$
Ответ: 2 664

0 : 9
При делении нуля на любое число (кроме нуля) в результате всегда получается ноль.
$0 : 9 = 0$
Ответ: 0

0 · 9
При умножении любого числа на ноль в результате всегда получается ноль.
$0 \cdot 9 = 0$
Ответ: 0

429. Начерти такие фигуры. Большой треугольник составлен из частей, на которые разделён большой квадрат. Раскрась одним цветом одинаковые фигуры на обоих рисунках. Сравни площади большого треугольника и большого квадрата.

429. Площади большого треугольника и большого квадрата равны, потому что большой треугольник составлен из частей, на которые разделён большой квадрат. Если части одинаковые и их количество одинаковое, то и сумма будет одинаковой.

Эта задача иллюстрирует важный принцип в геометрии — принцип сохранения площади. Если одну фигуру разрезать на несколько частей и из этих же самых частей, без пропусков и наложений, составить другую фигуру, то площади исходной и полученной фигур будут равны.

Чтобы выполнить задание, можно использовать один из самых простых и наглядных примеров геометрического разрезания (диссекции).

1. Возьмём квадрат. Обозначим длину его стороны как $a$.
2. Разрежем этот квадрат по одной из диагоналей. В результате мы получим две полностью одинаковые (конгруэнтные) части — два прямоугольных равнобедренных треугольника.
3. Из этих двух частей можно собрать как исходный квадрат (соединив их по самым длинным сторонам — гипотенузам), так и большой треугольник. Чтобы собрать треугольник, нужно соединить две части по одной из коротких сторон (катетов).

В результате мы получаем две большие фигуры — квадрат и равнобедренный треугольник — которые составлены из одного и того же набора частей.

Ответ: Был начерчен квадрат, который разрезали на две части. Затем из этих же частей был составлен большой треугольник, как показано на рисунках выше.

На представленных рисунках одинаковые части, из которых составлены квадрат и треугольник, уже раскрашены. Первая часть окрашена в красный цвет, а вторая, идентичная ей, — в синий. Это позволяет наглядно проследить, как одни и те же элементы образуют разные по форме, но равные по площади фигуры. В обеих больших фигурах (квадрате и треугольнике) присутствуют одна красная и одна синяя части.

Ответ: Одинаковые части в обеих фигурах окрашены в соответствующие цвета (одна в красный, другая в синий), чтобы показать их перемещение.

Площадь фигуры, составленной из нескольких частей, равна сумме площадей этих частей. Так как и большой квадрат, и большой треугольник составлены из одного и того же набора частей, их площади обязаны быть равными.

Проверим это с помощью формул. Пусть сторона исходного квадрата равна $a$.

Площадь квадрата вычисляется по формуле:

$S_{квадрата} = a \cdot a = a^2$

Большой треугольник, который мы сложили, является равнобедренным. Его основание $b$ равно сумме двух катетов, то есть $a + a = 2a$. Высота $h$, проведённая к этому основанию, равна другому катету, то есть $a$. Площадь треугольника вычисляется по формуле:

$S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (2a) \cdot a = a^2$

Сравнивая полученные выражения для площадей, мы видим, что они одинаковы:

$S_{квадрата} = a^2$

$S_{треугольника} = a^2$

Следовательно, $S_{квадрата} = S_{треугольника}$.

Ответ: Площади большого треугольника и большого квадрата равны.

Самолёт пролетает 15 км за одну минуту, это в 3 раза больше, чем вертолёт. Узнай, на сколько больше километров пролетает самолёт, чем вертолёт, за 1 мин.

Для наглядности сделаем схематический чертёж:

Для того, чтобы узнать, на сколько больше километров пролетает самолёт, чем вертолёт за 1 мин, нужно сравнить два значения: сколько километров пролетает самолёт и сколько километров пролетает вертолёт за 1 мин. Но мы не знаем, сколько километров пролетает вертолёт за 1 мин.

Находим это значение первым действием.

Эта задача сформулирована в косвенной форме.

Сказано, что самолёт пролетает 15 км за одну минуту, это в 3 раза больше, чем вертолёт, значит вертолёт пролетел в 3 раза меньше.

Это видно и на чертеже. Поэтому находим в 3 раза меньшее число - надо делить на 3.

Затем вычитанием отвечаем на вопрос задачи, на сколько больше километров пролетает самолёт, чем вертолёт за 1 мин.

Решение (жирный шрифт) записываем в тетрадь:

1) 15 : 3 = 5 (км) – пролетает вертолет за 1 минуту.
2) 15 − 5 = 10 (км)
Ответ: на 10 километров больше пролетает самолет, чем вертолет за 1 минуту.

Для решения этой задачи необходимо выполнить два действия.

1. Найдём расстояние, которое пролетает вертолёт за 1 минуту.

В условии сказано, что самолёт пролетает 15 км за минуту, и это расстояние в 3 раза больше, чем у вертолёта. Чтобы найти, сколько километров пролетает вертолёт, нужно расстояние самолёта разделить на 3.

$15 \div 3 = 5$ км.

Таким образом, вертолёт пролетает 5 км за 1 минуту.

2. Узнаем, на сколько больше километров пролетает самолёт, чем вертолёт.

Теперь нужно найти разницу между расстоянием, которое пролетает самолёт (15 км), и расстоянием, которое пролетает вертолёт (5 км). Для этого вычтем из большего расстояния меньшее.

$15 - 5 = 10$ км.

Ответ: самолёт пролетает на 10 километров больше, чем вертолёт, за 1 минуту.

11. Объясни, почему с помощью одних и тех же цифр можно записать несколько разных чисел. Запиши все возможные четырёхзначные числа с помощью цифр 4, 0, 3, 2, не повторяя в каждом числе ни одной из них. Объясни, что означает цифра 0 в записи каждого из этих чисел.

Объясни, почему с помощью одних и тех же цифр можно записать несколько разных чисел.

Наша система записи чисел называется позиционной. Это означает, что значение, которое представляет цифра, зависит от её положения (позиции) в числе. Каждая позиция в числе соответствует определённому разряду (единицы, десятки, сотни, тысячи и т.д.). Когда мы меняем цифры местами, мы меняем их разряды. Например, в числе 432 цифра 4 стоит в разряде сотен и означает 400, а в числе 234 та же цифра 4 стоит в разряде единиц и означает просто 4. Таким образом, меняя порядок одних и тех же цифр, мы получаем числа с разным значением.

Ответ: С помощью одних и тех же цифр можно записать несколько разных чисел, потому что в используемой нами позиционной системе счисления значение каждой цифры определяется не только ею самой, но и её местом (разрядом) в записи числа. Перестановка цифр меняет их разряды и, следовательно, значение всего числа.

Запиши все возможные четырёхзначные числа с помощью цифр 4, 0, 3, 2, не повторяя в каждом числе ни одной из них.

Для составления четырёхзначного числа из цифр 4, 0, 3, 2 нужно учесть важное правило: четырёхзначное число не может начинаться с нуля. Значит, на первом месте (в разряде тысяч) может стоять одна из цифр: 4, 3 или 2. Остальные три цифры могут располагаться на оставшихся местах в любом порядке.

• Если первая цифра 2, то возможны числа: 2034, 2043, 2304, 2340, 2403, 2430.
• Если первая цифра 3, то возможны числа: 3024, 3042, 3204, 3240, 3402, 3420.
• Если первая цифра 4, то возможны числа: 4023, 4032, 4203, 4230, 4302, 4320.

Всего можно составить $3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$ таких чисел.

Ответ: 2034, 2043, 2304, 2340, 2403, 2430, 3024, 3042, 3204, 3240, 3402, 3420, 4023, 4032, 4203, 4230, 4302, 4320.

Объясни, что означает цифра 0 в записи каждого из этих чисел.

В позиционной системе счисления цифра 0 играет роль заполнителя разряда и указывает на отсутствие единиц данного разряда. В полученных четырёхзначных числах цифра 0 может стоять на месте сотен, десятков или единиц.

• В числе 4032 цифра 0 стоит в разряде сотен и означает, что в этом числе 0 сотен. Число состоит из 4 тысяч, 0 сотен, 3 десятков и 2 единиц.
• В числе 4302 цифра 0 стоит в разряде десятков и означает, что в этом числе 0 десятков. Число состоит из 4 тысяч, 3 сотен, 0 десятков и 2 единиц.
• В числе 4320 цифра 0 стоит в разряде единиц и означает, что в этом числе 0 единиц. Число состоит из 4 тысяч, 3 сотен, 2 десятков и 0 единиц.

Ответ: Цифра 0 в записи каждого из этих чисел означает отсутствие единиц в том разряде, в котором она находится (отсутствие сотен, десятков или единиц).

12. Сколько нулей нужно написать после 1, чтобы получилось число одна тысяча? сто тысяч? один миллион?

одна тысяча
Число "одна тысяча" записывается цифрами как $1000$. После цифры $1$ в этом числе стоят три нуля. Чтобы это проверить, можно представить тысячу как $10 \times 10 \times 10 = 10^3$. Показатель степени у числа $10$ указывает на количество нулей после единицы.
Ответ: 3.

сто тысяч
Число "сто тысяч" записывается как $100\;000$. В этом числе после цифры $1$ следует пять нулей. Число сто тысяч можно представить как $100 \times 1000$, или $10^2 \times 10^3 = 10^5$.
Ответ: 5.

один миллион
Число "один миллион" записывается как $1\;000\;000$. В его записи после цифры $1$ стоят шесть нулей. Один миллион — это тысяча тысяч, то есть $1000 \times 1000 = 10^3 \times 10^3 = 10^6$.
Ответ: 6.

13. Как получить число, которое в 10, 100, 1 000 раз больше данного? Приведи пример.

Чтобы получить число, которое в определенное количество раз больше данного, необходимо исходное число умножить на это количество. Для чисел 10, 100, 1 000 существует простое правило.

Как получить число, которое в 10 раз больше данного

Чтобы получить число в 10 раз больше, нужно данное число умножить на 10. Если число целое, то это правило можно упростить: достаточно приписать к числу справа один ноль.

Пример:

Возьмем число 83. Чтобы получить число, которое в 10 раз больше, умножим его на 10.

$83 \times 10 = 830$

К числу 83 справа приписали один ноль и получили 830.

Ответ: нужно умножить данное число на 10.

Как получить число, которое в 100 раз больше данного

Чтобы получить число в 100 раз больше, нужно данное число умножить на 100. Для целого числа это означает, что к нему справа нужно приписать два нуля.

Пример:

Возьмем то же число 83. Чтобы увеличить его в 100 раз, умножим его на 100.

$83 \times 100 = 8300$

К числу 83 справа приписали два нуля и получили 8300.

Ответ: нужно умножить данное число на 100.

Как получить число, которое в 1 000 раз больше данного

Чтобы получить число в 1 000 раз больше, нужно данное число умножить на 1 000. Для целого числа это означает, что к нему справа нужно приписать три нуля.

Пример:

Снова используем число 83. Чтобы увеличить его в 1 000 раз, умножим его на 1 000.

$83 \times 1000 = 83000$

К числу 83 справа приписали три нуля и получили 83 000.

Ответ: нужно умножить данное число на 1 000.

14. Как называется высший разряд в шестизначном числе? в восьмизначном числе?

Для того чтобы определить название высшего разряда в числе, необходимо понимать структуру десятичной системы счисления. Разряды в числах именуются и считаются справа налево. Они группируются в классы по три разряда: класс единиц, класс тысяч, класс миллионов и так далее.

в шестизначном числе

Шестизначное число состоит из шести цифр. Давайте перечислим разряды справа налево: первый разряд — единицы, второй — десятки, третий — сотни (эти три образуют класс единиц). Далее идут: четвертый разряд — единицы тысяч, пятый — десятки тысяч, шестой — сотни тысяч (эти три образуют класс тысяч). Высшим, то есть самым старшим разрядом в шестизначном числе, является шестой по счету разряд. Например, в числе $456\;123$ цифра $4$ находится в высшем разряде.

Ответ: Высший разряд в шестизначном числе называется сотни тысяч.

в восьмизначном числе

Восьмизначное число состоит из восьми цифр. После шести разрядов, составляющих классы единиц и тысяч, начинается класс миллионов. Седьмой разряд — это единицы миллионов, а восьмой разряд — десятки миллионов. Таким образом, высшим разрядом в восьмизначном числе является восьмой по счету разряд. Например, в числе $25\;400\;000$ цифра $2$ находится в высшем разряде.

Ответ: Высший разряд в восьмизначном числе называется десятки миллионов.

15. Запиши цифрами число 2 миллиона 36 тысяч 5. Объясни, сколько раз пришлось использовать в записи этого числа цифру 0 и почему.

Чтобы записать число "2 миллиона 36 тысяч 5" цифрами, необходимо представить его по разрядным классам. Число состоит из класса миллионов, класса тысяч и класса единиц.

• Класс миллионов содержит 2.
• Класс тысяч содержит 36. Так как в классе тысяч должно быть три цифры (сотни, десятки и единицы тысяч), а у нас есть только десятки и единицы, то на месте сотен тысяч мы ставим ноль. Получаем 036.
• Класс единиц содержит 5. Так как в классе единиц также должно быть три цифры (сотни, десятки и единицы), а у нас есть только единицы, то на месте сотен и десятков мы ставим нули. Получаем 005.

Теперь соединим все классы в одно число: $2$ (миллионы) $036$ (тысячи) $005$ (единицы). Таким образом, число, записанное цифрами, — это $2\ 036\ 005$.

В записи этого числа цифра $0$ используется три раза.

В позиционной десятичной системе счисления цифра $0$ используется для обозначения отсутствия единиц в соответствующем разряде. Она необходима для того, чтобы остальные цифры заняли правильные позиции. В числе $2\ 036\ 005$ нули указывают на отсутствие значимых цифр в следующих разрядах:

1. Разряд сотен тысяч: в условии не указано количество сотен тысяч, поэтому на этой позиции стоит $0$.
2. Разряд сотен: в условии не указано количество сотен, поэтому на этой позиции стоит $0$.
3. Разряд десятков: в условии не указано количество десятков, поэтому на этой позиции стоит $0$.

Ответ: число записывается как $2\ 036\ 005$. Цифра $0$ используется 3 раза, потому что в данном числе отсутствуют единицы в разрядах сотен тысяч, сотен и десятков.

16. Прочитай числа:

3870563027, 17008032, 640003007.

$3870563027$

Чтобы прочитать это число, разобьем его на классы по три цифры справа налево: $3 \ 870 \ 563 \ 027$. Каждый класс имеет свое название.
- Цифра $3$ находится в классе миллиардов и читается как три миллиарда.
- Число $870$ находится в классе миллионов и читается как восемьсот семьдесят миллионов.
- Число $563$ находится в классе тысяч и читается как пятьсот шестьдесят три тысячи.
- Число $027$ находится в классе единиц и читается как двадцать семь.
Теперь прочитаем все части вместе, начиная со старшего класса.
Ответ: Три миллиарда восемьсот семьдесят миллионов пятьсот шестьдесят три тысячи двадцать семь.

$17008032$

Разобьем число на классы справа налево: $17 \ 008 \ 032$.
- Число $17$ находится в классе миллионов и читается как семнадцать миллионов.
- Число $008$ находится в классе тысяч и читается как восемь тысяч.
- Число $032$ находится в классе единиц и читается как тридцать два.
Прочитаем все части вместе.
Ответ: Семнадцать миллионов восемь тысяч тридцать два.

$640003007$

Разобьем число на классы справа налево: $640 \ 003 \ 007$.
- Число $640$ находится в классе миллионов и читается как шестьсот сорок миллионов.
- Число $003$ находится в классе тысяч и читается как три тысячи.
- Число $007$ находится в классе единиц и читается как семь.
Прочитаем все части вместе.
Ответ: Шестьсот сорок миллионов три тысячи семь.

17. Вспомни разные приёмы сравнения чисел и сравни следующие числа (с. 115):

Чтобы сравнить натуральные числа, нужно руководствоваться следующими правилами (приёмами):

• Из двух чисел с разным количеством цифр больше то, у которого цифр (разрядов) больше.
• Если количество цифр в числах одинаковое, то их сравнивают поразрядно, слева направо, до первого несовпадения. Большим будет то число, у которого цифра в этом разряде больше.

Сравниваем числа 378 и 379.
1. Количество цифр в обоих числах одинаково (по три цифры).
2. Начинаем сравнение по разрядам, слева направо.
3. Цифры в разряде сотен совпадают: $3 = 3$.
4. Цифры в разряде десятков совпадают: $7 = 7$.
5. Цифры в разряде единиц различаются. У числа 378 это 8, у числа 379 это 9.
6. Сравниваем цифры в разряде единиц: $8 < 9$.
7. Следовательно, число 378 меньше числа 379.
Ответ: $378 < 379$.

Сравниваем числа 6 572 и 986.
1. Считаем количество цифр (разрядов) в каждом числе.
2. В числе 6 572 — четыре цифры (четырёхзначное число).
3. В числе 986 — три цифры (трёхзначное число).
4. Число, в котором больше цифр, является большим.
5. Так как в числе 6 572 больше цифр, чем в числе 986, оно больше.
Ответ: $6 572 > 986$.

Сравниваем числа 42 375 и 39 879.
1. Количество цифр в обоих числах одинаково (по пять цифр).
2. Сравниваем цифры по разрядам, слева направо, начиная со старшего разряда (десятки тысяч).
3. В числе 42 375 первая цифра 4, а в числе 39 879 — 3.
4. Сравниваем эти цифры: $4 > 3$.
5. Так как цифра в старшем разряде у первого числа больше, то и само число 42 375 больше числа 39 879. Дальнейшее сравнение не требуется.
Ответ: $42 375 > 39 879$.

18. Сколько ты знаешь чисел, которые меньше числа 57? (Не забудь число 0.)

Почему нельзя назвать все числа, которые больше, чем 57?

Сколько ты знаешь чисел, которые меньше числа 57? (Не забудь число 0.)

Чтобы найти количество чисел, которые меньше 57, нужно рассмотреть все целые неотрицательные числа, начиная с 0 и до числа, предшествующего 57. Таким числом является 56.

Мы получаем следующий числовой ряд: 0, 1, 2, 3, 4, ... , 55, 56.

Чтобы посчитать, сколько всего чисел в этом ряду, можно рассуждать так:
1. Количество чисел от 1 до 56 равно 56.
2. В условии сказано не забыть число 0, поэтому мы должны добавить его к нашему подсчету.

Таким образом, общее количество чисел вычисляется как:$56 \text{ (числа от 1 до 56)} + 1 \text{ (число 0)} = 57$

Ответ: Существует 57 целых неотрицательных чисел, которые меньше 57.

Почему нельзя назвать все числа, которые больше, чем 57?

Числовой ряд является бесконечным. Это значит, что у него нет конца и нет самого большого числа.

Числа, которые больше 57, образуют бесконечную последовательность: 58, 59, 60, 61, ... и так далее до бесконечности.

Какое бы большое число мы ни назвали (например, миллион, миллиард или триллион), всегда можно найти число, которое будет еще больше — для этого достаточно просто прибавить к нему единицу. Поскольку этот процесс можно продолжать вечно, невозможно перечислить все числа, которые больше 57.

Ответ: Нельзя назвать все числа, которые больше 57, потому что их количество бесконечно.

19. Назови число, которое следует при счёте за числом 9 999; за числом 1 000 000; за числом 1 миллиард.

за числом 9 999
Чтобы найти число, которое следует при счёте за заданным числом, необходимо прибавить к нему 1. Для числа 9 999 это будет:
$9999 + 1 = 10000$
Число, следующее за 9 999, — это 10 000 (десять тысяч).
Ответ: 10 000.

за числом 1 000 000
Аналогично, чтобы найти число, следующее за 1 000 000 (один миллион), прибавляем к нему 1.
$1000000 + 1 = 1000001$
За числом 1 000 000 следует 1 000 001 (один миллион один).
Ответ: 1 000 001.

за числом 1 миллиард
Число 1 миллиард записывается цифрами как 1 000 000 000. Чтобы найти следующее за ним число, также прибавляем 1.
$1000000000 + 1 = 1000000001$
За числом 1 миллиард следует число 1 000 000 001 (один миллиард один).
Ответ: 1 000 000 001.

20. Сколько всего однозначных чисел? двузначных чисел? трёхзначных чисел?

однозначных чисел?

Однозначные числа — это числа, которые записываются с помощью одной цифры. В десятичной системе счисления мы используем десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Каждая из этих цифр сама по себе является однозначным числом.

Перечислим их все: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Таким образом, всего существует 10 однозначных чисел.

Ответ: 10.

двузначных чисел?

Двузначные числа — это натуральные числа, для записи которых требуется две цифры. Самое маленькое двузначное число — это 10, а самое большое — 99.

Для подсчёта их количества можно рассуждать следующим образом. Двузначное число состоит из двух разрядов: десятков и единиц.

На место первой цифры (разряд десятков) можно поставить любую цифру от 1 до 9. Ноль на этом месте стоять не может, иначе число станет однозначным. Следовательно, у нас есть 9 вариантов для первой цифры.

На место второй цифры (разряд единиц) можно поставить любую цифру от 0 до 9. Это даёт нам 10 вариантов.

Чтобы найти общее количество двузначных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции: $9 \times 10 = 90$.

Другой способ — вычитание. Всего натуральных чисел от 1 до 99 — девяносто девять. Из них 9 чисел являются однозначными (от 1 до 9). Значит, двузначных чисел будет: $99 - 9 = 90$.

Ответ: 90.

трёхзначных чисел?

Трёхзначные числа — это натуральные числа, для записи которых требуется три цифры. Наименьшее трёхзначное число — 100, а наибольшее — 999.

Воспользуемся тем же комбинаторным методом. Трёхзначное число состоит из трёх разрядов: сотен, десятков и единиц.

На место первой цифры (разряд сотен) можно поставить любую из 9 цифр (от 1 до 9).

На место второй цифры (разряд десятков) можно поставить любую из 10 цифр (от 0 до 9).

На место третьей цифры (разряд единиц) также можно поставить любую из 10 цифр (от 0 до 9).

Общее количество трёхзначных чисел равно произведению количества вариантов для каждой цифры: $9 \times 10 \times 10 = 900$.

Также можно из общего количества натуральных чисел до 999 (их 999) вычесть все однозначные и двузначные числа (их общее количество 99). Получим: $999 - 99 = 900$.

Ответ: 900.

21. Сколько чисел находится между числами 48 и 95?

Чтобы определить, сколько целых чисел находится между двумя заданными числами (не включая сами эти числа), можно воспользоваться простой формулой.

Способ 1: Использование формулы вычитания

Нужно из большего числа вычесть меньшее и от результата отнять единицу. Формула для нахождения количества чисел $N$ между числами $a$ и $b$ (где $b > a$) выглядит так:
$N = (b - a) - 1$

Подставим наши значения $a=48$ и $b=95$:
1. Найдем разность между числами: $95 - 48 = 47$.
2. Вычтем единицу, так как мы не считаем сами числа 48 и 95: $47 - 1 = 46$.

Способ 2: Определение границ и подсчет

Числа, которые находятся "между" 48 и 95, — это все целые числа от 49 до 94 включительно.
Чтобы найти количество чисел в этом диапазоне, нужно из последнего числа вычесть первое и прибавить единицу:
$N = (\text{последнее число} - \text{первое число}) + 1$
$N = (94 - 49) + 1 = 45 + 1 = 46$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 46

22. Объясни, как изменится любое трёхзначное число, если в записи его приписать слева цифру 1; 2; 3.

Любое трёхзначное число можно представить в виде суммы его разрядных слагаемых. Обозначим это число как $N$. Например, число 543 можно записать как $500 + 40 + 3$. Когда мы приписываем к этому числу слева новую цифру, исходное число сдвигается вправо, а новая цифра занимает разряд тысяч, тем самым увеличивая исходное число на соответствующее количество тысяч.

Если приписать слева цифру 1:

Когда мы приписываем слева цифру 1, она занимает место в разряде тысяч. Это означает, что к исходному числу $N$ добавляется $1 \cdot 1000$. Таким образом, новое число становится равным $1000 + N$.

Например, возьмём число 543. Если приписать к нему слева 1, получится 1543. Разница между новым и старым числом составляет:

$1543 - 543 = 1000$

Ответ: число увеличится на 1000.

Если приписать слева цифру 2:

Аналогично, если приписать слева цифру 2, она также займёт разряд тысяч. В этом случае к исходному числу $N$ добавляется $2 \cdot 1000$. Новое число будет равно $2000 + N$.

Например, для числа 543 получим 2543. Разница составит:

$2543 - 543 = 2000$

Ответ: число увеличится на 2000.

Если приписать слева цифру 3:

Приписывая слева цифру 3, мы добавляем к исходному числу $N$ величину $3 \cdot 1000$. Новое число будет равно $3000 + N$.

Например, для числа 543 получим 3543. Разница составит:

$3543 - 543 = 3000$

Ответ: число увеличится на 3000.

НАЧЕРТИ:

Данное изображение представляет собой геометрический орнамент, состоящий из трех одинаковых квадратных блоков, расположенных в столбик. Для построения узора необходимо выполнить последовательность действий для каждого блока.

Рекомендуется выполнять чертеж на бумаге в клетку, выбрав для внешнего квадрата сторону, размер которой легко делится пополам несколько раз, например, 8 клеток. Это упростит нахождение середин отрезков.

1. Начертите исходный квадрат. Начните с квадрата, который будет служить рамкой для одного блока узора. Пусть его сторона будет $a$. Например, $a=8$ клеток.
2. Впишите первый ромб. Найдите середины каждой из четырех сторон квадрата. Соедините эти точки линиями. В результате получится ромб (квадрат, повернутый на 45 градусов), вписанный в исходный квадрат. Область между внешним квадратом и этим ромбом закрашивается: синим цветом для верхнего и нижнего блоков и желтым для среднего блока.
3. Впишите второй квадрат. Теперь найдите середины каждой из четырех сторон только что начерченного ромба. Соедините эти точки. Вы получите новый квадрат, стороны которого параллельны сторонам исходного квадрата. Область между ромбом и этим новым квадратом остается белой.
4. Впишите второй ромб. Снова найдите середины сторон фигуры, которую вы только что нарисовали (второго квадрата). Соедините эти точки, чтобы получить второй, меньший ромб. Область между вторым квадратом и этим маленьким ромбом закрашивается в розовый цвет.
5. Центральная область. Область внутри самого маленького, второго ромба, остается белой.

Повторите описанную выше последовательность для создания трех таких блоков. Расположите их вертикально друг над другом, чтобы воспроизвести орнамент с изображения. Убедитесь, что цвета фонов (синий и желтый) и внутренних элементов (розовый) соответствуют оригиналу.

Ответ: Для того чтобы начертить узор, необходимо для каждого из трех блоков выполнить следующую последовательность действий: 1. Начертить квадрат. 2. Вписать в него ромб, соединив середины его сторон (внешнюю область закрасить синим или желтым). 3. В полученный ромб вписать квадрат, соединив середины его сторон (область останется белой). 4. В этот квадрат вписать еще один ромб, соединив середины его сторон (область закрасить розовым). 5. Центральную область оставить белой. Затем расположить три полученных блока вертикально.