Страница 91, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

1. Объясни, почему верны равенства.

1) 170 · 3 + 170 = 170 · 4
560 · 9 − 560 = 560 · 8
96 · 4 + 96 · 6 = 96 · 10
45 · 3 + 450 = 450 + 3 · 45

2) (81 + 27) : 9 = 81: 9 + 27 : 9
(540 − 180) : 6 = 540 : 6 − 180 : 6

1. 1) 170 ∙ 3 + 170 = 170 · 4

Умножение – это краткая запись сложения одинаковых слагаемых. Значит повторить одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц. С левой стороны число 170 сначала повторили 3 раза, затем еще один раз. Значит всего 4 раза. Справа число 170 повторили 4 раза. Поэтому равенство верно.

560 ∙ 9 − 560 = 560 · 8
Умножение – это краткая запись сложения одинаковых слагаемых. Значит повторить одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц. С левой стороны число 560 сначала повторили 9 раз, затем один раз убрали. Значит всего 8 раз. Справа число 560 повторили 8 раз. Поэтому равенство верно.

96 ∙ 4 + 96 ∙ 6 = 96 · 10
Умножение – это краткая запись сложения одинаковых слагаемых. Значит повторить одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц. С левой стороны число 96 сначала повторили 4 раза, затем еще 6 раз. Значит всего 10 раз. Справа число 96 повторили 10 раз. Поэтому равенство верно.

45 ∙ 3 + 450 = 450 + 3 · 45 – равенство верно на основании переместительного свойства сложения и умножения.

2) (81 + 27) : 9 = 81 : 9 + 27 : 9 – равенство верно на основе правила деления суммы чисел на число. Чтобы разделить сумму на число, нужно каждое слагаемое разделить, а результаты сложить.

(540 − 180) : 6 = 540 : 6 − 180 : 6 – равенство верно на основании правила деления разности чисел на число. Чтобы разделить разность на число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а потом из первого частного вычесть второе.

Все равенства в этом пункте верны, так как они основаны на свойствах арифметических операций, в основном на распределительном свойстве умножения (также известном как дистрибутивность) и переместительном свойстве сложения и умножения (коммутативность).

• $170 \cdot 3 + 170 = 170 \cdot 4$
  Данное равенство справедливо благодаря распределительному свойству умножения относительно сложения. Это свойство можно записать в виде формулы: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$.
  В левой части выражения $170 \cdot 3 + 170$ мы можем представить второе слагаемое $170$ как $170 \cdot 1$. Тогда выражение примет вид $170 \cdot 3 + 170 \cdot 1$. Теперь мы можем вынести общий множитель $170$ за скобки: $170 \cdot (3 + 1)$.
  Поскольку $3 + 1 = 4$, выражение становится равным $170 \cdot 4$, что и указано в правой части равенства.
  Проверим вычислениями: $170 \cdot 3 + 170 = 510 + 170 = 680$. Правая часть: $170 \cdot 4 = 680$. Результаты совпадают.
  Ответ: Равенство верно, так как оно является применением распределительного свойства умножения.

• $96 \cdot 4 + 96 \cdot 6 = 96 \cdot 10$
  Это равенство также основано на распределительном свойстве умножения относительно сложения: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$.
  В левой части выражения $96 \cdot 4 + 96 \cdot 6$ общим множителем является число $96$. Вынесем его за скобки: $96 \cdot (4 + 6)$.
  Сумма в скобках равна $4 + 6 = 10$. Таким образом, левая часть равна $96 \cdot 10$.
  Проверим вычислениями: $96 \cdot 4 + 96 \cdot 6 = 384 + 576 = 960$. Правая часть: $96 \cdot 10 = 960$. Результаты совпадают.
  Ответ: Равенство верно, так как оно является применением распределительного свойства умножения.

• $560 \cdot 9 - 560 = 560 \cdot 8$
  Здесь применяется распределительное свойство умножения относительно вычитания, которое формулируется как $a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)$.
  В левой части равенства $560 \cdot 9 - 560$ представим вычитаемое $560$ как $560 \cdot 1$. Получим $560 \cdot 9 - 560 \cdot 1$. Вынесем общий множитель $560$ за скобки: $560 \cdot (9 - 1)$.
  Так как $9 - 1 = 8$, выражение равно $560 \cdot 8$.
  Проверим вычислениями: $560 \cdot 9 - 560 = 5040 - 560 = 4480$. Правая часть: $560 \cdot 8 = 4480$. Результаты совпадают.
  Ответ: Равенство верно, так как оно является применением распределительного свойства умножения.

• $45 \cdot 3 + 450 = 450 + 3 \cdot 45$
  Это равенство справедливо благодаря переместительному свойству сложения ($a + b = b + a$) и переместительному свойству умножения ($a \cdot b = b \cdot a$).
  Рассмотрим левую часть: $45 \cdot 3 + 450$.
  Рассмотрим правую часть: $450 + 3 \cdot 45$.
  Согласно переместительному свойству умножения, $3 \cdot 45$ равно $45 \cdot 3$.
  Таким образом, правая часть может быть записана как $450 + 45 \cdot 3$.
  Теперь сравним левую часть $45 \cdot 3 + 450$ и правую $450 + 45 \cdot 3$. Согласно переместительному свойству сложения, от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Следовательно, части равны.
  Проверим вычислениями: $45 \cdot 3 + 450 = 135 + 450 = 585$. Правая часть: $450 + 3 \cdot 45 = 450 + 135 = 585$. Результаты совпадают.
  Ответ: Равенство верно, так как оно является применением переместительных свойств сложения и умножения.

Равенства в этом пункте верны благодаря свойству деления суммы и разности на число (распределительное свойство деления).

• $(81 + 27) : 9 = 81 : 9 + 27 : 9$
  Это равенство является примером свойства деления суммы на число: $(a + b) : c = a : c + b : c$. Чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое по отдельности, а затем сложить полученные частные.
  В данном случае $a=81$, $b=27$ и $c=9$.
  Проверим вычислениями: левая часть $(81 + 27) : 9 = 108 : 9 = 12$. Правая часть $81 : 9 + 27 : 9 = 9 + 3 = 12$. Результаты совпадают.
  Ответ: Равенство верно, так как оно является применением правила деления суммы на число.

• $(540 - 180) : 6 = 540 : 6 - 180 : 6$
  Это равенство является примером свойства деления разности на число: $(a - b) : c = a : c - b : c$. Чтобы разделить разность на число, можно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое по отдельности, а затем из первого частного вычесть второе.
  В данном случае $a=540$, $b=180$ и $c=6$.
  Проверим вычислениями: левая часть $(540 - 180) : 6 = 360 : 6 = 60$. Правая часть $540 : 6 - 180 : 6 = 90 - 30 = 60$. Результаты совпадают.
  Ответ: Равенство верно, так как оно является применением правила деления разности на число.

2.

2. Вспомним порядок действий в выражениях и свойства умножения 1 и 0:

При вычислении числовых выражений сначала выполняют действия умножения и деления, а затем сложения и вычитания, слева направо. При наличии скобок вычисляют сначала значение выражения в них.

Если выражение содержит несколько пар скобок, то сначала находят значения выражений в скобках (слева направо), а затем выполняют действия по первым двум правилам.

Свойство нуля при умножении – если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю. a ∙ 0 = 0.

Свойство единицы при умножении – если один из множителей равен 1, то произведение равно другому множителю. a ∙ 1 = а.

1 ? 43 + 54 ? 0
Согласно порядку выполнения арифметических действий, сначала выполняются операции умножения, а затем сложение.
1. Первое действие – умножение: $1 \cdot 43 = 43$.
2. Второе действие – умножение: $54 \cdot 0 = 0$, так как любое число, умноженное на ноль, равно нулю.
3. Третье действие – сложение: $43 + 0 = 43$.
Ответ: 43

(84 ? 7 ? 12) ? 35
Сначала выполняются действия в скобках. Внутри скобок в первую очередь выполняется умножение, а затем вычитание.
1. Первое действие (в скобках) – умножение: $7 \cdot 12 = 84$.
2. Второе действие (в скобках) – вычитание: $84 - 84 = 0$.
3. Третье действие – умножение результата из скобок на 35: $0 \cdot 35 = 0$.
Ответ: 0

(90 ? 89) ? 35
Сначала выполняется действие в скобках, а затем умножение.
1. Первое действие (в скобках) – вычитание: $90 - 89 = 1$.
2. Второе действие – умножение: $1 \cdot 35 = 35$.
Ответ: 35

81 ? 1 ? 0 ? 32
Согласно порядку выполнения арифметических действий, сначала выполняются операции умножения, а затем вычитание.
1. Первое действие – умножение: $81 \cdot 1 = 81$.
2. Второе действие – умножение: $0 \cdot 32 = 0$.
3. Третье действие – вычитание: $81 - 0 = 81$.
Ответ: 81

75 ? (48 ? 2 ? 24)
Сначала выполняются действия в скобках. Внутри скобок в первую очередь выполняется умножение, а затем вычитание.
1. Первое действие (в скобках) – умножение: $2 \cdot 24 = 48$.
2. Второе действие (в скобках) – вычитание: $48 - 48 = 0$.
3. Третье действие – умножение результата из скобок на 75: $75 \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0

18 ? (53 ? 52)
Сначала выполняется действие в скобках, а затем умножение.
1. Первое действие (в скобках) – вычитание: $53 - 52 = 1$.
2. Второе действие – умножение: $18 \cdot 1 = 18$.
Ответ: 18

3.

3.

$824 \cdot 9$

Для решения данного примера выполним умножение столбиком.
1. Умножаем единицы: $4 \cdot 9 = 36$. Записываем 6 в разряд единиц и запоминаем 3 (переносим в десятки).
2. Умножаем десятки: $2 \cdot 9 = 18$. Прибавляем 3, которые запомнили: $18 + 3 = 21$. Записываем 1 в разряд десятков и запоминаем 2 (переносим в сотни).
3. Умножаем сотни: $8 \cdot 9 = 72$. Прибавляем 2, которые запомнили: $72 + 2 = 74$. Записываем 74.
В результате получаем 7416.

Ответ: 7416

$916 \cdot 3$

Выполним умножение столбиком.
1. $6 \cdot 3 = 18$. Пишем 8, 1 в уме.
2. $1 \cdot 3 = 3$. Прибавляем 1: $3 + 1 = 4$. Пишем 4.
3. $9 \cdot 3 = 27$. Пишем 27.
В результате получаем 2748.

Ответ: 2748

$712 \cdot 8$

Выполним умножение столбиком.
1. $2 \cdot 8 = 16$. Пишем 6, 1 в уме.
2. $1 \cdot 8 = 8$. Прибавляем 1: $8 + 1 = 9$. Пишем 9.
3. $7 \cdot 8 = 56$. Пишем 56.
В результате получаем 5696.

Ответ: 5696

$27 428 \cdot 4$

Выполним умножение столбиком.
1. $8 \cdot 4 = 32$. Пишем 2, 3 в уме.
2. $2 \cdot 4 = 8$. Прибавляем 3: $8 + 3 = 11$. Пишем 1, 1 в уме.
3. $4 \cdot 4 = 16$. Прибавляем 1: $16 + 1 = 17$. Пишем 7, 1 в уме.
4. $7 \cdot 4 = 28$. Прибавляем 1: $28 + 1 = 29$. Пишем 9, 2 в уме.
5. $2 \cdot 4 = 8$. Прибавляем 2: $8 + 2 = 10$. Пишем 10.
В результате получаем 109 712.

Ответ: 109 712

$15 719 \cdot 5$

Выполним умножение столбиком.
1. $9 \cdot 5 = 45$. Пишем 5, 4 в уме.
2. $1 \cdot 5 = 5$. Прибавляем 4: $5 + 4 = 9$. Пишем 9.
3. $7 \cdot 5 = 35$. Пишем 5, 3 в уме.
4. $5 \cdot 5 = 25$. Прибавляем 3: $25 + 3 = 28$. Пишем 8, 2 в уме.
5. $1 \cdot 5 = 5$. Прибавляем 2: $5 + 2 = 7$. Пишем 7.
В результате получаем 78 595.

Ответ: 78 595

$2 \cdot 24 845$

От перестановки множителей произведение не меняется, поэтому решим пример $24 845 \cdot 2$ умножением в столбик.
1. $5 \cdot 2 = 10$. Пишем 0, 1 в уме.
2. $4 \cdot 2 = 8$. Прибавляем 1: $8 + 1 = 9$. Пишем 9.
3. $8 \cdot 2 = 16$. Пишем 6, 1 в уме.
4. $4 \cdot 2 = 8$. Прибавляем 1: $8 + 1 = 9$. Пишем 9.
5. $2 \cdot 2 = 4$. Пишем 4.
В результате получаем 49 690.

Ответ: 49 690

$12 005 \cdot 5$

Выполним умножение столбиком.
1. $5 \cdot 5 = 25$. Пишем 5, 2 в уме.
2. $0 \cdot 5 = 0$. Прибавляем 2: $0 + 2 = 2$. Пишем 2.
3. $0 \cdot 5 = 0$. Пишем 0.
4. $2 \cdot 5 = 10$. Пишем 0, 1 в уме.
5. $1 \cdot 5 = 5$. Прибавляем 1: $5 + 1 = 6$. Пишем 6.
В результате получаем 60 025.

Ответ: 60 025

$30 704 \cdot 6$

Выполним умножение столбиком.
1. $4 \cdot 6 = 24$. Пишем 4, 2 в уме.
2. $0 \cdot 6 = 0$. Прибавляем 2: $0 + 2 = 2$. Пишем 2.
3. $7 \cdot 6 = 42$. Пишем 2, 4 в уме.
4. $0 \cdot 6 = 0$. Прибавляем 4: $0 + 4 = 4$. Пишем 4.
5. $3 \cdot 6 = 18$. Пишем 18.
В результате получаем 184 224.

Ответ: 184 224

$7 \cdot 40 300$

Чтобы умножить число, оканчивающееся нулями, можно выполнить умножение, не обращая внимания на нули, а затем приписать их к результату.
1. Умножим $403$ на $7$:
$3 \cdot 7 = 21$. Пишем 1, 2 в уме.
$0 \cdot 7 = 0$. Прибавляем 2: $0+2=2$. Пишем 2.
$4 \cdot 7 = 28$. Пишем 28.
Получаем $403 \cdot 7 = 2821$.
2. Теперь к результату 2821 приписываем два нуля справа.
В результате получаем 282 100.

Ответ: 282 100

$7 020 \cdot 9$

Умножим $702$ на $9$, а затем к результату припишем один ноль.
1. Умножим $702$ на $9$:
$2 \cdot 9 = 18$. Пишем 8, 1 в уме.
$0 \cdot 9 = 0$. Прибавляем 1: $0+1=1$. Пишем 1.
$7 \cdot 9 = 63$. Пишем 63.
Получаем $702 \cdot 9 = 6318$.
2. Приписываем ноль к результату: 63180.
В результате получаем 63 180.

Ответ: 63 180

$7 002 \cdot 9$

Выполним умножение столбиком.
1. $2 \cdot 9 = 18$. Пишем 8, 1 в уме.
2. $0 \cdot 9 = 0$. Прибавляем 1: $0+1=1$. Пишем 1.
3. $0 \cdot 9 = 0$. Пишем 0.
4. $7 \cdot 9 = 63$. Пишем 63.
В результате получаем 63 018.

Ответ: 63 018

$7 200 \cdot 9$

Умножим $72$ на $9$, а затем к результату припишем два нуля.
1. Умножим $72$ на $9$:
$2 \cdot 9 = 18$. Пишем 8, 1 в уме.
$7 \cdot 9 = 63$. Прибавляем 1: $63+1=64$. Пишем 64.
Получаем $72 \cdot 9 = 648$.
2. Приписываем два нуля к результату: 64800.
В результате получаем 64 800.

Ответ: 64 800

4.

4. Вспомним порядок действий в выражениях и свойства умножения и деления на 10, 100:

При вычислении числовых выражений сначала выполняют действия умножения и деления, а затем сложения и вычитания, слева направо. При наличии скобок вычисляют сначала значение выражения в них.

Чтобы умножить число на 10, 100, надо в его записи справа приписать 1 нуль, 2 нуля.

Чтобы разделить число на 10, 100, достаточно у делимого справа отбросить 1 нуль, 2 нуля.

$(285 \underset{\mathit{300}}{\overset{\mathit{1}}{+}} 15)\underset{\mathit{100}}{\overset{\mathit{2}}{:}}3\underset{\mathit{500}}{\overset{\mathit{3}}{·}}5 \stackrel{\mathit{4}}{+} 280 = 780$

$400 \stackrel{\mathit{4}}{-} (60 \underset{\mathit{90}}{\overset{\mathit{1}}{+}} 30) \underset{\mathit{9}}{\overset{\mathit{2}}{:}} 10 \underset{\mathit{9}}{\overset{\mathit{3}}{·}} 1 = 391$

$(300 \underset{\mathit{200}}{\overset{\mathit{1}}{-}} 100) \stackrel{\mathit{4}}{-} 100 \underset{\mathit{50}}{\overset{\mathit{3}}{:}} (10 \underset{\mathit{2}}{\overset{\mathit{2}}{:}} 5) = 150$

$300 \stackrel{\mathit{4}}{-} (100 \underset{\mathit{0}}{\overset{\mathit{1}}{-}} 100) \underset{\mathit{0}}{\overset{\mathit{3}}{:}} (10 \underset{\mathit{2}}{\overset{\mathit{2}}{:}} 5) = 300$

$(285 + 15) : 3 \cdot 5 + 280$
Для решения данного выражения необходимо соблюдать порядок арифметических действий: сначала выполняются операции в скобках, затем умножение и деление (слева направо), и в последнюю очередь сложение и вычитание (слева направо).
1. Выполним сложение в скобках: $285 + 15 = 300$.
2. Теперь выражение выглядит так: $300 : 3 \cdot 5 + 280$. Выполним деление: $300 : 3 = 100$.
3. Далее выполним умножение: $100 \cdot 5 = 500$.
4. Последним шагом выполним сложение: $500 + 280 = 780$.
Ответ: 780

$400 - (60 + 30) : 10 \cdot 1$
Соблюдаем порядок действий:
1. Выполним сложение в скобках: $60 + 30 = 90$.
2. Выражение принимает вид: $400 - 90 : 10 \cdot 1$. Выполним деление: $90 : 10 = 9$.
3. Далее выполним умножение: $9 \cdot 1 = 9$.
4. В конце выполним вычитание: $400 - 9 = 391$.
Ответ: 391

$(300 - 100) - 100 : (10 : 5)$
Соблюдаем порядок действий:
1. Сначала выполним действия в обеих парах скобок. В первой: $300 - 100 = 200$. Во второй: $10 : 5 = 2$.
2. Выражение теперь выглядит так: $200 - 100 : 2$.
3. Согласно порядку действий, сначала выполняем деление: $100 : 2 = 50$.
4. В конце выполним вычитание: $200 - 50 = 150$.
Ответ: 150

$300 - (100 - 100) : (10 : 5)$
Соблюдаем порядок действий:
1. Сначала выполним действия в обеих парах скобок. В первой: $100 - 100 = 0$. Во второй: $10 : 5 = 2$.
2. Выражение теперь выглядит так: $300 - 0 : 2$.
3. Далее выполняем деление: $0 : 2 = 0$.
4. В конце выполним вычитание: $300 - 0 = 300$.
Ответ: 300

5.

5.

Далее вспомним порядок действий в выражениях:

При вычислении числовых выражений сначала выполняют действия умножения и деления, а затем сложения и вычитания, слева направо. При наличии скобок вычисляют сначала значение выражения в них.

$(9 010 \stackrel{\mathit{1}}{-} 6 235) \stackrel{\mathit{2}}{·} 9 = 24 975$

$8 \stackrel{\mathit{2}}{·} (4 348 \stackrel{\mathit{1}}{+} 2 062) = 51 280$

$657 \cdot 4$

Чтобы найти произведение, умножим число 657 на 4. Это можно сделать, разложив 657 на разрядные слагаемые:
$657 \cdot 4 = (600 + 50 + 7) \cdot 4 = 600 \cdot 4 + 50 \cdot 4 + 7 \cdot 4 = 2400 + 200 + 28 = 2628$.

Ответ: 2628.

$509 \cdot 7$

Умножим 509 на 7. Разложим 509 на слагаемые для удобства вычисления:
$509 \cdot 7 = (500 + 9) \cdot 7 = 500 \cdot 7 + 9 \cdot 7 = 3500 + 63 = 3563$.

Ответ: 3563.

$2\,193 \cdot 5$

Найдем произведение чисел 2193 и 5. Разложим 2193 на разрядные слагаемые:
$2193 \cdot 5 = (2000 + 100 + 90 + 3) \cdot 5 = 2000 \cdot 5 + 100 \cdot 5 + 90 \cdot 5 + 3 \cdot 5 = 10000 + 500 + 450 + 15 = 10965$.

Ответ: 10965.

$7\,640 \cdot 8$

Вычислим произведение 7640 и 8. Разложим 7640 на слагаемые:
$7640 \cdot 8 = (7000 + 600 + 40) \cdot 8 = 7000 \cdot 8 + 600 \cdot 8 + 40 \cdot 8 = 56000 + 4800 + 320 = 61120$.

Ответ: 61120.

$40\,018 \cdot 9$

Найдем произведение 40018 и 9. Разложим 40018 на слагаемые:
$40018 \cdot 9 = (40000 + 10 + 8) \cdot 9 = 40000 \cdot 9 + 10 \cdot 9 + 8 \cdot 9 = 360000 + 90 + 72 = 360162$.

Ответ: 360162.

$80\,700 \cdot 6$

Вычислим произведение 80700 и 6. Разложим 80700 на слагаемые:
$80700 \cdot 6 = (80000 + 700) \cdot 6 = 80000 \cdot 6 + 700 \cdot 6 = 480000 + 4200 = 484200$.

Ответ: 484200.

$(9\,010 - 6\,235) \cdot 9$

Согласно порядку действий, сначала выполним операцию в скобках (вычитание), а затем умножение.
1. Выполним вычитание: $9010 - 6235 = 2775$.
2. Теперь умножим полученный результат на 9: $2775 \cdot 9 = 24975$.
Таким образом, $(9010 - 6235) \cdot 9 = 24975$.

Ответ: 24975.

$8 \cdot (4\,348 + 2\,062)$

Сначала выполним действие в скобках (сложение), а затем умножим результат на 8.
1. Выполним сложение: $4348 + 2062 = 6410$.
2. Теперь умножим 8 на полученный результат: $8 \cdot 6410 = 51280$.
Таким образом, $8 \cdot (4348 + 2062) = 51280$.

Ответ: 51280.

6. Увеличь в 8 раз каждое из чисел: 700, 900, 1200.

Уменьши в 7 раз каждое из чисел: 560, 98, 1400.

6. Пояснение:

Чтобы увеличить число в несколько раз, нужно данное число умножить на количество раз.

Чтобы уменьшить число в несколько раз, надо выполнить действие деление.

700 ∙ 8 = 5600
900 ∙ 8 = 7200
1200 ∙ 8 = 9600

560 : 7 = 80
98 : 7 = 14
1400 : 7 = 200

Увеличь в 8 раз каждое из чисел: 700, 900, 1200.

Чтобы увеличить число в несколько раз, необходимо выполнить операцию умножения. Для этого мы последовательно умножим каждое из данных чисел на 8.

1. Увеличиваем число 700 в 8 раз:
$700 \times 8 = 5600$

2. Увеличиваем число 900 в 8 раз:
$900 \times 8 = 7200$

3. Увеличиваем число 1200 в 8 раз:
$1200 \times 8 = 9600$

Ответ: 5600, 7200, 9600.

Уменьши в 7 раз каждое из чисел: 560, 98, 1400.

Чтобы уменьшить число в несколько раз, необходимо выполнить операцию деления. Для этого мы последовательно разделим каждое из данных чисел на 7.

1. Уменьшаем число 560 в 7 раз:
$560 \div 7 = 80$

2. Уменьшаем число 98 в 7 раз:
$98 \div 7 = 14$

3. Уменьшаем число 1400 в 7 раз:
$1400 \div 7 = 200$

Ответ: 80, 14, 200.

7. Сначала объясни, в каком из уравнений каждой пары значение х будет больше, а потом проверь вычислением.

7. В уравнении 400 − х = 170 значение х (вычитаемое) больше, потому что разность меньше.

В уравнении х − 80 = 90 · 7 значение х (уменьшаемое) больше, потому что разность больше.

В уравнении х : 6 = 156 + 44 значение х (делимое) больше, потому что частное больше.

Первая пара уравнений: $400 - x = 170$ и $400 - x = 270$

Объяснение: В этих уравнениях переменная $x$ является вычитаемым. Уменьшаемое (400) в обоих уравнениях одинаково. Чтобы результат вычитания (разность) был меньше, вычитаемое должно быть больше. В первом уравнении разность равна 170, а во втором — 270. Так как $170 < 270$, то для получения меньшей разности 170 необходимо вычесть большее число $x$. Следовательно, значение $x$ будет больше в первом уравнении.

Проверка вычислением:
1) Решим первое уравнение:
$400 - x = 170$
$x = 400 - 170$
$x = 230$
2) Решим второе уравнение:
$400 - x = 270$
$x = 400 - 270$
$x = 130$
Сравниваем полученные значения: $230 > 130$. Проверка подтверждает, что значение $x$ больше в первом уравнении.
Ответ: Значение $x$ будет больше в уравнении $400 - x = 170$.

Вторая пара уравнений: $x - 80 = 90 \cdot 7$ и $x - 80 = 90 \cdot 5$

Объяснение: В этих уравнениях переменная $x$ является уменьшаемым. Вычитаемое (80) в обоих уравнениях одинаково. Уменьшаемое равно сумме разности и вычитаемого. Сначала сравним разности, которые находятся в правых частях уравнений: $90 \cdot 7 = 630$ и $90 \cdot 5 = 450$. Так как $630 > 450$, то и уменьшаемое $x$ будет больше в том уравнении, где разность больше, то есть в первом.

Проверка вычислением:
1) Решим первое уравнение:
$x - 80 = 90 \cdot 7$
$x - 80 = 630$
$x = 630 + 80$
$x = 710$
2) Решим второе уравнение:
$x - 80 = 90 \cdot 5$
$x - 80 = 450$
$x = 450 + 80$
$x = 530$
Сравниваем полученные значения: $710 > 530$. Проверка подтверждает, что значение $x$ больше в первом уравнении.
Ответ: Значение $x$ будет больше в уравнении $x - 80 = 90 \cdot 7$.

Третья пара уравнений: $x : 6 = 56 + 44$ и $x : 6 = 156 + 44$

Объяснение: В этих уравнениях переменная $x$ является делимым. Делитель (6) в обоих уравнениях одинаков. Делимое равно произведению частного и делителя. Сначала сравним частные, которые находятся в правых частях уравнений: $56 + 44 = 100$ и $156 + 44 = 200$. Так как $200 > 100$, то и делимое $x$ будет больше в том уравнении, где частное больше, то есть во втором.

Проверка вычислением:
1) Решим первое уравнение:
$x : 6 = 56 + 44$
$x : 6 = 100$
$x = 100 \cdot 6$
$x = 600$
2) Решим второе уравнение:
$x : 6 = 156 + 44$
$x : 6 = 200$
$x = 200 \cdot 6$
$x = 1200$
Сравниваем полученные значения: $1200 > 600$. Проверка подтверждает, что значение $x$ больше во втором уравнении.
Ответ: Значение $x$ будет больше в уравнении $x : 6 = 156 + 44$.

8. Выполни деление с остатком и проверь.

8. Проверять деление с остатком нужно по правилам:

1) При делении остаток всегда должен быть меньше делителя.

Если остаток больше делителя или равен ему, то при решении допущена ошибка.

2) Нужно делитель умножить на частное.

3) К полученному результату прибавить остаток.

Если не получилось делимое, то при решении допущена ошибка.

20 : 3 = 6 (ост. 2)
Проверка:
1) 2 < 6
2) 6 · 3 = 18
3) 18 + 2 = 20

35 : 8 = 4 (ост. 3)
Проверка:
1) 3 < 4
2) 4 · 8 = 32
3) 32 + 3 = 35

Проверка:
1) 6 < 7
2) 34 · 7 = 238
3) 238 + 6 = 244

Проверка:
1) 5 < 9
2) 18 · 8 = 162
3) 162 + 5 = 167

Проверка:
1) 4 < 5
2)

3) 6535 + 4 = 6539

Проверка:
1) 5 < 9
2)

3) 8964 + 5 = 8969

Проверка:
1) 8 < 9
2)

3) 5211 + 8 = 5219

Проверка:
1) 4 < 8
2)

3) 1856 + 4 = 1860

217 : 400 = 0 (ост. 217)
Проверка:
1) 217 < 400
2) 0 · 400 = 0
3) 0 + 217 = 217

130 : 400 = 0 (ост. 130)
Проверка:
1) 130 < 400
2) 0 · 130 = 0
3) 0+ 130 = 130

20 : 3
Решение:
Находим наибольшее число до 20, которое делится на 3 без остатка. Это число 18.
$18 : 3 = 6$. Это неполное частное.
Находим остаток: $20 - 18 = 2$.
Значит, $20 : 3 = 6$ (ост. 2).
Проверка:
Умножаем неполное частное на делитель и прибавляем остаток: $6 \times 3 + 2 = 18 + 2 = 20$.
Получили делимое. Остаток 2 меньше делителя 3 ($2 < 3$). Деление выполнено верно.
Ответ: 6 (ост. 2).

35 : 8
Решение:
Находим наибольшее число до 35, которое делится на 8 без остатка. Это число 32.
$32 : 8 = 4$. Это неполное частное.
Находим остаток: $35 - 32 = 3$.
Значит, $35 : 8 = 4$ (ост. 3).
Проверка:
$4 \times 8 + 3 = 32 + 3 = 35$.
Получили делимое. Остаток 3 меньше делителя 8 ($3 < 8$). Деление выполнено верно.
Ответ: 4 (ост. 3).

244 : 7
Решение:
Делим 24 на 7, получаем 3. $3 \times 7 = 21$. Остаток $24 - 21 = 3$.
Сносим 4, получаем 34. Делим 34 на 7, получаем 4. $4 \times 7 = 28$. Остаток $34 - 28 = 6$.
Неполное частное равно 34, остаток 6.
Значит, $244 : 7 = 34$ (ост. 6).
Проверка:
$34 \times 7 + 6 = 238 + 6 = 244$.
Получили делимое. Остаток 6 меньше делителя 7 ($6 < 7$). Деление выполнено верно.
Ответ: 34 (ост. 6).

167 : 9
Решение:
Делим 16 на 9, получаем 1. $1 \times 9 = 9$. Остаток $16 - 9 = 7$.
Сносим 7, получаем 77. Делим 77 на 9, получаем 8. $8 \times 9 = 72$. Остаток $77 - 72 = 5$.
Неполное частное равно 18, остаток 5.
Значит, $167 : 9 = 18$ (ост. 5).
Проверка:
$18 \times 9 + 5 = 162 + 5 = 167$.
Получили делимое. Остаток 5 меньше делителя 9 ($5 < 9$). Деление выполнено верно.
Ответ: 18 (ост. 5).

6 539 : 5
Решение:
Делим 6 на 5, получаем 1. Остаток 1.
Сносим 5, получаем 15. Делим 15 на 5, получаем 3. Остаток 0.
Сносим 3, получаем 3. Делим 3 на 5, получаем 0. Остаток 3.
Сносим 9, получаем 39. Делим 39 на 5, получаем 7. Остаток $39 - 35 = 4$.
Неполное частное равно 1307, остаток 4.
Значит, $6 539 : 5 = 1307$ (ост. 4).
Проверка:
$1307 \times 5 + 4 = 6535 + 4 = 6539$.
Получили делимое. Остаток 4 меньше делителя 5 ($4 < 5$). Деление выполнено верно.
Ответ: 1307 (ост. 4).

8 969 : 9
Решение:
Делим 89 на 9, получаем 9. Остаток $89 - 81 = 8$.
Сносим 6, получаем 86. Делим 86 на 9, получаем 9. Остаток $86 - 81 = 5$.
Сносим 9, получаем 59. Делим 59 на 9, получаем 6. Остаток $59 - 54 = 5$.
Неполное частное равно 996, остаток 5.
Значит, $8 969 : 9 = 996$ (ост. 5).
Проверка:
$996 \times 9 + 5 = 8964 + 5 = 8969$.
Получили делимое. Остаток 5 меньше делителя 9 ($5 < 9$). Деление выполнено верно.
Ответ: 996 (ост. 5).

5 219 : 9
Решение:
Делим 52 на 9, получаем 5. Остаток $52 - 45 = 7$.
Сносим 1, получаем 71. Делим 71 на 9, получаем 7. Остаток $71 - 63 = 8$.
Сносим 9, получаем 89. Делим 89 на 9, получаем 9. Остаток $89 - 81 = 8$.
Неполное частное равно 579, остаток 8.
Значит, $5 219 : 9 = 579$ (ост. 8).
Проверка:
$579 \times 9 + 8 = 5211 + 8 = 5219$.
Получили делимое. Остаток 8 меньше делителя 9 ($8 < 9$). Деление выполнено верно.
Ответ: 579 (ост. 8).

1 860 : 8
Решение:
Делим 18 на 8, получаем 2. Остаток $18 - 16 = 2$.
Сносим 6, получаем 26. Делим 26 на 8, получаем 3. Остаток $26 - 24 = 2$.
Сносим 0, получаем 20. Делим 20 на 8, получаем 2. Остаток $20 - 16 = 4$.
Неполное частное равно 232, остаток 4.
Значит, $1 860 : 8 = 232$ (ост. 4).
Проверка:
$232 \times 8 + 4 = 1856 + 4 = 1860$.
Получили делимое. Остаток 4 меньше делителя 8 ($4 < 8$). Деление выполнено верно.
Ответ: 232 (ост. 4).

217 : 400
Решение:
Делимое 217 меньше делителя 400. Это означает, что 400 "помещается" в 217 ноль раз.
Неполное частное равно 0.
Остаток в таком случае равен самому делимому, то есть 217.
Значит, $217 : 400 = 0$ (ост. 217).
Проверка:
$0 \times 400 + 217 = 0 + 217 = 217$.
Получили делимое. Остаток 217 меньше делителя 400 ($217 < 400$). Деление выполнено верно.
Ответ: 0 (ост. 217).

130 : 400
Решение:
Делимое 130 меньше делителя 400.
Неполное частное равно 0.
Остаток равен делимому, то есть 130.
Значит, $130 : 400 = 0$ (ост. 130).
Проверка:
$0 \times 400 + 130 = 0 + 130 = 130$.
Получили делимое. Остаток 130 меньше делителя 400 ($130 < 400$). Деление выполнено верно.
Ответ: 0 (ост. 130).

9. Вычисли и сделай проверку.

9.

618 : 6 = 103
912 : 3 = 304

424 000 : 4 = 106 000
86 400 : 8 = 10 800

Вспомним правила проверки деления:

Чтобы проверить деление, нужно частное умножить на делитель. Если получилось делимое, то вычисления выполнены правильно.

Сделаем проверку:

103 · 6 = 618
304 · 3 = 912

106 000 · 4 = 424 000
10 800 · 8 = 86 400

7 410 : 3

Для вычисления $7410 : 3$ выполним деление в столбик. Сначала делим 7 на 3, получаем 2 и 1 в остатке. Сносим 4, делим 14 на 3, получаем 4 и 2 в остатке. Сносим 1, делим 21 на 3, получаем 7 без остатка. Сносим 0, делим 0 на 3, получаем 0.

$7410 : 3 = 2470$

Проверка: Чтобы проверить результат, умножим частное (2470) на делитель (3). Результат должен быть равен делимому (7410).

$2470 \times 3 = 7410$

Результат верный.

Ответ: 2470.

4 850 : 5

Выполним деление. 4 на 5 не делится, поэтому берем 48. Делим 48 на 5, получаем 9 и 3 в остатке. Сносим 5, делим 35 на 5, получаем 7 без остатка. Сносим 0, делим 0 на 5, получаем 0.

$4850 : 5 = 970$

Проверка: Умножим частное (970) на делитель (5).

$970 \times 5 = 4850$

Результат верный.

Ответ: 970.

618 : 6

Выполним деление. Делим 6 на 6, получаем 1. Сносим 1. 1 меньше 6, поэтому в частном пишем 0. Сносим 8, делим 18 на 6, получаем 3.

$618 : 6 = 103$

Проверка: Умножим частное (103) на делитель (6).

$103 \times 6 = 618$

Результат верный.

Ответ: 103.

912 : 3

Выполним деление. Делим 9 на 3, получаем 3. Сносим 1. 1 меньше 3, поэтому в частном пишем 0. Сносим 2, делим 12 на 3, получаем 4.

$912 : 3 = 304$

Проверка: Умножим частное (304) на делитель (3).

$304 \times 3 = 912$

Результат верный.

Ответ: 304.

37 600 : 4

Выполним деление. 3 на 4 не делится, берем 37. Делим 37 на 4, получаем 9 и 1 в остатке. Сносим 6, делим 16 на 4, получаем 4. Оставшиеся два нуля из делимого переносим в частное.

$37600 : 4 = 9400$

Проверка: Умножим частное (9400) на делитель (4).

$9400 \times 4 = 37600$

Результат верный.

Ответ: 9400.

81 600 : 6

Выполним деление. Делим 8 на 6, получаем 1 и 2 в остатке. Сносим 1, делим 21 на 6, получаем 3 и 3 в остатке. Сносим 6, делим 36 на 6, получаем 6. Оставшиеся два нуля из делимого переносим в частное.

$81600 : 6 = 13600$

Проверка: Умножим частное (13600) на делитель (6).

$13600 \times 6 = 81600$

Результат верный.

Ответ: 13600.

424 000 : 4

Выполним деление. Делим 4 на 4, получаем 1. Сносим 2. 2 меньше 4, поэтому в частном пишем 0. Сносим 4, делим 24 на 4, получаем 6. Оставшиеся три нуля из делимого переносим в частное.

$424000 : 4 = 106000$

Проверка: Умножим частное (106000) на делитель (4).

$106000 \times 4 = 424000$

Результат верный.

Ответ: 106000.

86 400 : 8

Выполним деление. Делим 8 на 8, получаем 1. Сносим 6. 6 меньше 8, поэтому в частном пишем 0. Сносим 4, делим 64 на 8, получаем 8. Оставшиеся два нуля из делимого переносим в частное.

$86400 : 8 = 10800$

Проверка: Умножим частное (10800) на делитель (8).

$10800 \times 8 = 86400$

Результат верный.

Ответ: 10800.

10.

10. Вспомним порядок действий в выражениях:

При вычислении числовых выражений сначала выполняют действия умножения и деления, а затем сложения и вычитания, слева направо. При наличии скобок вычисляют сначала значение выражения в них.

$200 000 \stackrel{\mathit{2}}{-} 160 032 \stackrel{\mathit{1}}{:} 8 = 179 996$

1) 160 032 : 8 = 200 004

$900 000 \stackrel{\mathit{2}}{-} 54 027 \stackrel{\mathit{1}}{:} 9 = 893 997$

1) 54 027 : 9 = 6 003

$200 000 \stackrel{\mathit{2}}{-} 521 160 \stackrel{\mathit{1}}{:} 4 = 69 710$

$400 000 \stackrel{\mathit{2}}{-} 81 270 \stackrel{\mathit{1}}{:} 3 = 372 910$

200 000 - 160 032 : 8

Согласно порядку выполнения математических операций, в первую очередь выполняется деление, а затем вычитание.

1) Выполним деление:

$160 032 : 8 = 20 004$

2) Выполним вычитание:

$200 000 - 20 004 = 179 996$

Ответ: 179 996

900 000 - 54 027 : 9

Сначала выполним деление, а затем вычитание.

1) Выполним деление:

$54 027 : 9 = 6 003$

2) Выполним вычитание:

$900 000 - 6 003 = 893 997$

Ответ: 893 997

200 000 - 521 160 : 4

Согласно порядку выполнения операций, сначала необходимо выполнить деление.

1) Выполним деление:

$521 160 : 4 = 130 290$

2) Теперь выполним вычитание:

$200 000 - 130 290 = 69 710$

Ответ: 69 710

400 000 - 81 270 : 3

Порядок действий в выражении следующий: сначала деление, затем вычитание.

1) Выполним деление:

$81 270 : 3 = 27 090$

2) Выполним вычитание:

$400 000 - 27 090 = 372 910$

Ответ: 372 910

11. Объясни, почему неравенства верны.

170 · 5 + 8 · 5 > 169 · 5 + 6 · 5;
6 102 · (81 : 81) > 6 102 · (81 − 81);

676 : 4 < 676 : 2;
359 · 4 > 359 · 3.

11. Неравенство 170 ∙ 5 + 8 ∙ 5 > 169 ∙ 5 + 6 ∙ 5 верно, потому что умножение – это краткая запись сложения одинаковых слагаемых. Значит повторить одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц. С левой стороны число 5 сначала повторили 170 раз, затем еще 8 раз. Значит всего 178 раза. Справа число 5 повторили сначала 169 раз, затем еще 6 раза. Значит всего 175 раз. Поэтому неравенство верно.

Неравенство 6102 ∙ (81 : 81) > 6102 ∙ (81 − 81) верно, потому что с левой стороны в скобках при делении число на тоже число получается 1. При умножении любого числа на 1 получается то число, которое умножали (6102). С правой стороны в скобках из числа вычли само это число, разность равна нулю. При умножении любого числа на 0 получается 0. Поэтому неравенство верно.

Неравенство 676 : 4 < 676 : 2 верно, потому что делимое одинаково, но с левой стороны делитель больше, поэтому результат частного будет меньше.

Неравенство 359 ∙ 4 > 359 ∙ 3 верно, потому что первые множители равны, но второй множитель с левой стороны больше, поэтому и результат произведения будет больше.

$170 \cdot 5 + 8 \cdot 5 > 169 \cdot 5 + 6 \cdot 5$

Для объяснения этого неравенства можно использовать распределительное свойство умножения. Вынесем общий множитель $5$ за скобки в обеих частях неравенства.
Левая часть: $170 \cdot 5 + 8 \cdot 5 = (170 + 8) \cdot 5 = 178 \cdot 5$.
Правая часть: $169 \cdot 5 + 6 \cdot 5 = (169 + 6) \cdot 5 = 175 \cdot 5$.
Теперь неравенство выглядит так: $178 \cdot 5 > 175 \cdot 5$.
Поскольку один из множителей ($5$) одинаков, а другой множитель в левой части ($178$) больше, чем в правой ($175$), то и произведение слева будет больше.
Ответ: Неравенство верно, так как сумма $(170+8)$ больше суммы $(169+6)$.

$676 : 4 < 676 : 2$

В этом неравенстве делимое ($676$) в обеих частях одинаково. Сравниваются частные от деления этого числа на разные делители.
Существует правило: при делении одного и того же положительного числа на разные числа, частное будет тем меньше, чем больше делитель.
Так как делитель $4$ больше, чем делитель $2$ ($4 > 2$), то результат деления на $4$ будет меньше, чем результат деления на $2$.
Ответ: Неравенство верно, так как при одинаковом делимом частное тем меньше, чем больше делитель.

$6 102 \cdot (81 : 81) > 6 102 \cdot (81 - 81)$

Сначала выполним действия в скобках для каждой части неравенства.
В левой части: $81 : 81 = 1$. Выражение становится $6 102 \cdot 1$.
В правой части: $81 - 81 = 0$. Выражение становится $6 102 \cdot 0$.
Теперь неравенство имеет вид: $6 102 \cdot 1 > 6 102 \cdot 0$.
Вычислим значения: $6 102 > 0$. Это верное утверждение.
Ответ: Неравенство верно, так как после вычислений в скобках оно сводится к виду $6102 > 0$.

$359 \cdot 4 > 359 \cdot 3$

В данном неравенстве один из множителей ($359$) в обеих частях одинаков. Сравниваются произведения этого числа на разные множители.
Существует правило: при умножении положительного числа на разные положительные числа, произведение будет тем больше, чем больше второй множитель.
Так как множитель $4$ больше, чем множитель $3$ ($4 > 3$), то и произведение $359 \cdot 4$ будет больше, чем произведение $359 \cdot 3$.
Ответ: Неравенство верно, так как при одинаковом первом множителе произведение тем больше, чем больше второй множитель.

РЕБУС:

Ребус:

Рассуждение:

Для того, чтобы решить ребус, используем правило деления многозначного числа в столбик.

Делим сотни – это первое неполное делимое. Оно начинаются с цифры 3, вторая цифра 5, потому что разделили его полностью (нет остатка). В частном получилось 5 сотен. Значит делитель 7 (35 : 5 = 7). Записываем в первое неполное делимое 5, вычитаем. В делитель пишем цифру 7.

Делим десятки. 4 десятка не можем разделить на 7, чтобы в частном были десятки. В частное на место десятков пишем 0.

Делим единицы. На 7 делится без остатка только 42. Значит в делимое пишем на место единиц цифру 2 и во второй неполный делитель пишем 2 единицы. 42 : 7 = 6. 6 единиц пишем в частное.

Решение:

Для решения этого математического ребуса, представленного в виде деления в столбик, давайте обозначим неизвестные цифры звёздочками. Мы будем восстанавливать исходный пример шаг за шагом.

Запишем ребус в общем виде:
Делимое: $3*4*$
Делитель: $*$
Частное: $5**$

Шаг 1: Находим делитель и первую цифру делимого.
При делении первых двух цифр делимого ($3*$) на делитель ($*$) получается первая цифра частного, равная 5. Произведение $5$ на делитель дает двузначное число, оканчивающееся на 5 ($*5$).
$5 \times Делитель = *5$
Это возможно, только если делитель — нечетное число. Проверим варианты:
$5 \times 3 = 15$
$5 \times 5 = 25$
$5 \times 7 = 35$
$5 \times 9 = 45$

Далее, из числа $3*$ вычитается полученное произведение ($*5$), и остаток после этого вычитания, к которому сносится следующая цифра делимого (4), образует число $4*$. Это означает, что сам остаток от первого вычитания равен 4.
$3* - (*5) = 4$
Теперь подставим найденные ранее произведения:
Если делитель 3: $3* - 15 = 4 \Rightarrow 3* = 19$. Невозможно.
Если делитель 5: $3* - 25 = 4 \Rightarrow 3* = 29$. Невозможно.
Если делитель 7: $3* - 35 = 4 \Rightarrow 3* = 39$. Это возможно, вторая цифра делимого равна 9.
Если делитель 9: $3* - 45 = 4 \Rightarrow 3* = 49$. Невозможно.
Таким образом, мы однозначно определили, что делитель равен 7, а делимое начинается с 39.

Шаг 2: Находим вторую цифру частного.
Первое действие деления: $39 \div 7 = 5$ (остаток 4).
Сносим следующую цифру делимого, 4, и получаем число 44. Это число соответствует $4*$ в ребусе.
Теперь делим 44 на делитель 7:
$44 \div 7 = 6$ (остаток 2).
Значит, вторая цифра частного равна 6.
Произведение второй цифры частного на делитель ($6 \times 7 = 42$) — это число, которое вычитается на втором шаге ($**$).

Шаг 3: Находим последнюю цифру делимого и частного.
Остаток от второго деления равен 2. К нему мы сносим последнюю, неизвестную цифру делимого (обозначим её $x$), получая число $2x$ (т.е. $20+x$).
Так как в результате всего деления остаток равен 0, число $2x$ должно делиться на 7 без остатка.
Проверим, какие числа в диапазоне от 20 до 29 делятся на 7:
1. $21$. В этом случае последняя цифра делимого $x=1$. Тогда последняя цифра частного будет $21 \div 7 = 3$.
2. $28$. В этом случае последняя цифра делимого $x=8$. Тогда последняя цифра частного будет $28 \div 7 = 4$.

Итак, у задачи есть два возможных верных решения.

Вариант 1

Последняя цифра делимого равна 1, последняя цифра частного равна 3.

_3941 | 7
35 | 563
44
42
21
21
0

Ответ: Делимое — 3941, делитель — 7, частное — 563.

Вариант 2

Последняя цифра делимого равна 8, последняя цифра частного равна 4.

_3948 | 7
35 | 564
44
42
28
28
0

Ответ: Делимое — 3948, делитель — 7, частное — 564.

1. Как называют следующие выражения:

Данные выражения представляют собой основные арифметические операции.

40 + 23

Это выражение является примером операции сложения. Числа, которые складывают, называются слагаемыми. В данном случае, $40$ — это первое слагаемое, а $23$ — второе слагаемое. Само выражение $40 + 23$ и его результат называются суммой.
$40 + 23 = 63$

Ответ: Сумма.

100 - 95

Это выражение является примером операции вычитания. Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым ($100$), а число, которое вычитают, — вычитаемым ($95$). Само выражение $100 - 95$ и его результат называются разностью.
$100 - 95 = 5$

Ответ: Разность.

30 · 5

Это выражение является примером операции умножения. Числа, которые перемножают, называются множителями. В данном случае, $30$ и $5$ — это множители. Само выражение $30 \cdot 5$ и его результат называются произведением.
$30 \cdot 5 = 150$

Ответ: Произведение.

75 : 3

Это выражение является примером операции деления. Число, которое делят, называется делимым ($75$), а число, на которое делят, — делителем ($3$). Само выражение $75 : 3$ и его результат называются частным.
$75 : 3 = 25$

Ответ: Частное.

2. Выпиши в один столбик числовые выражения, а в другой − буквенные.

Для решения этой задачи необходимо разделить все представленные выражения на две группы: числовые и буквенные. Числовые выражения состоят только из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Буквенные выражения, помимо чисел и знаков, содержат также буквы (переменные).

Числовые выражения

Это выражения, в которых все компоненты — числа. Их значение можно вычислить.

$75 + 38$

$83 - 36$

$360 : 4 \cdot 6$

$125 : 5 \cdot (130 - 80)$

Ответ: числовыми являются выражения $75 + 38$, $83 - 36$, $360 : 4 \cdot 6$ и $125 : 5 \cdot (130 - 80)$.

Буквенные выражения

Это выражения, в которых присутствует одна или несколько букв (переменных). Их значение зависит от числовых значений этих букв.

$c + 175$

$k - 20$

$18 \cdot b$

$450 : c$

$a + b$

$c - d$

$k \cdot b$

$a : d$

Ответ: буквенными являются выражения $c + 175$, $k - 20$, $18 \cdot b$, $450 : c$, $a + b$, $c - d$, $k \cdot b$ и $a : d$.

3. Найди значения записанных выше числовых выражений и объясни, что обозначают буквы в записях математических выражений.

Найди значения записанных выше числовых выражений

В предоставленном изображении содержится только текст задания, но отсутствуют сами числовые выражения, значения которых нужно найти. Для решения этой части задачи необходимо предоставить сами выражения.

Ответ: Невозможно найти значения, так как числовые выражения не предоставлены.

Объясни, что обозначают буквы в записях математических выражений

Буквы в записях математических выражений, таких как $a + b = c$ или $S = v \cdot t$, называются переменными.

Переменная — это символ (обычно буква латинского или греческого алфавита), который используется для обозначения некоторого неизвестного или произвольного числа. В отличие от конкретных чисел (констант), таких как 2, 5 или $\pi$, переменная может принимать различные числовые значения.

Буквы (переменные) в математике используются для нескольких основных целей.

Во-первых, для обозначения неизвестной величины в уравнениях. Например, в уравнении $x + 5 = 12$ буква $x$ обозначает неизвестное число, которое нужно найти. Решая уравнение, мы находим это конкретное значение.

Во-вторых, для записи общих свойств чисел и законов математики. Например, переместительный закон сложения записывается как $a + b = b + a$. Здесь буквы $a$ и $b$ означают, что это свойство верно для любых чисел, которые можно подставить вместо них.

В-третьих, для записи формул, которые связывают различные физические или математические величины. Например, в формуле площади прямоугольника $S = a \cdot b$, буква $S$ обозначает площадь, а буквы $a$ и $b$ — длины его сторон. Эти буквы являются переменными, так как стороны прямоугольника могут иметь разную длину, и в зависимости от их значений будет меняться площадь.

В-четвертых, для определения функций. Например, в записи $y = 2x + 1$ буква $x$ является независимой переменной (аргументом), а $y$ — зависимой переменной (функцией), значение которой зависит от значения $x$.

Таким образом, использование букв позволяет обобщать математические утверждения, делать их универсальными, а также решать задачи с неизвестными величинами и описывать зависимости между ними.

Ответ: Буквы в математических выражениях обозначают переменные — символы, которые используются для представления неизвестных, произвольных или изменяющихся чисел. Они позволяют записывать формулы, математические законы и уравнения в общем виде.

4. Сравни: чем похожи и чем различаются записи в каждом столбике?

Выпиши только верные равенства и неравенства.

Сравни: чем похожи и чем различаются записи в каждом столбике?

Записи в обоих столбиках похожи тем, что они являются математическими высказываниями, в которых сравниваются два числовых или именованных выражения. И в первом, и во втором столбике используются числа, знаки арифметических действий и единицы измерения.

Различаются записи знаком сравнения. В левом столбике все записи являются равенствами, так как для сравнения используется знак равно ($=$). В правом столбике все записи являются неравенствами, так как для сравнения используются знаки больше ($>$) и меньше ($<$).

Ответ: Записи похожи тем, что сравнивают математические выражения. Различаются тем, что в первом столбике — равенства (со знаком $=$), а во втором — неравенства (со знаками $>$ и $<$).

Выпиши только верные равенства и неравенства.

Чтобы выписать верные равенства и неравенства, нужно проверить каждое из них, выполнив вычисления.

1. $160 + 30 = 300 - 110$
Вычисляем левую часть: $160 + 30 = 190$.
Вычисляем правую часть: $300 - 110 = 190$.
Получаем $190 = 190$. Равенство верное.

2. $120 \cdot 4 = 490$
Вычисляем левую часть: $120 \cdot 4 = 480$.
Получаем $480 = 490$. Равенство неверное.

3. $1\ м^2 = 100\ дм^2$
В одном метре $10$ дециметров ($1\ м = 10\ дм$).
Следовательно, $1\ м^2 = 1\ м \cdot 1\ м = 10\ дм \cdot 10\ дм = 100\ дм^2$.
Равенство верное.

4. $260 - 160 < 800 : 4$
Вычисляем левую часть: $260 - 160 = 100$.
Вычисляем правую часть: $800 : 4 = 200$.
Получаем $100 < 200$. Неравенство верное.

5. $240\ мин > 4\ ч$
Переведем часы в минуты. В одном часе $60$ минут, значит $4\ ч = 4 \cdot 60\ мин = 240\ мин$.
Получаем $240\ мин > 240\ мин$. Неравенство неверное, так как эти величины равны.

6. $70 \cdot 7 + 70 < 70 \cdot 9$
Вычисляем левую часть: $70 \cdot 7 + 70 = 490 + 70 = 560$.
Вычисляем правую часть: $70 \cdot 9 = 630$.
Получаем $560 < 630$. Неравенство верное.

Ответ:
$160 + 30 = 300 - 110$
$1\ м^2 = 100\ дм^2$
$260 - 160 < 800 : 4$
$70 \cdot 7 + 70 < 70 \cdot 9$

5. Приведи пример уравнения. Объясни, что значит решить уравнение. Какое число является решением уравнения: 87 − х = 80?

Приведи пример уравнения.

Уравнение — это математическое равенство, которое содержит одну или несколько неизвестных величин (переменных), обычно обозначаемых буквами (например, $x, y, z$). Цель состоит в том, чтобы найти значения этих неизвестных, которые делают равенство истинным. Примером простого линейного уравнения с одной переменной может служить:

$x + 5 = 12$

В этом уравнении $x$ — это неизвестная переменная, которую необходимо найти.

Ответ: $x + 5 = 12$.

Объясни, что значит решить уравнение.

Решить уравнение — это значит найти все его решения (или корни) или доказать, что их не существует. Корень уравнения — это такое значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. Процесс нахождения корней включает в себя различные математические преобразования, которые упрощают уравнение и позволяют выразить переменную. Например, для уравнения $x + 5 = 12$ корнем является число 7, потому что подстановка $x=7$ дает верное равенство: $7 + 5 = 12$.

Ответ: Решить уравнение означает найти все значения переменной, которые превращают его в верное числовое равенство.

Какое число является решением уравнения: 87 - x = 80?

Дано уравнение $87 - x = 80$. В этом уравнении число 87 — уменьшаемое, $x$ — вычитаемое, а 80 — разность. Чтобы найти неизвестное вычитаемое ($x$), нужно из уменьшаемого (87) вычесть разность (80).

Выполним вычисление:

$x = 87 - 80$

$x = 7$

Чтобы убедиться, что решение найдено верно, выполним проверку. Для этого подставим найденное значение $x=7$ в исходное уравнение:

$87 - 7 = 80$

$80 = 80$

Равенство получилось верным, следовательно, число 7 является решением (корнем) данного уравнения.

Ответ: 7.

6. Среди следующих записей найди уравнения.

Почему другие записи нельзя назвать уравнениями?

Среди следующих записей найди уравнения.

Уравнение — это математическое равенство, в котором есть неизвестная величина (переменная), обычно обозначаемая буквой. Значение этой переменной нужно найти. Чтобы запись была уравнением, она должна содержать знак равенства (=) и букву, обозначающую неизвестное.

Проанализируем каждую запись:

• $25 : x = 5$ — это равенство, содержащее неизвестную $x$. Следовательно, это уравнение.
• $56 - a = 50$ — это равенство, содержащее неизвестную $a$. Следовательно, это уравнение.
• $c : 12 = 3$ — это равенство, содержащее неизвестную $c$. Следовательно, это уравнение.

Ответ: Уравнениями являются записи $25 : x = 5$, $56 - a = 50$ и $c : 12 = 3$.

Почему другие записи нельзя назвать уравнениями?

Остальные записи не являются уравнениями, так как не удовлетворяют определению. Разберем их по группам.

1. Числовые равенства и неравенства: Эти записи не содержат неизвестной переменной.

• $15 \cdot 2 = 30$ — это числовое равенство. Оно показывает, что значение выражения в левой части равно значению в правой, но в нем нет неизвестной, которую нужно найти.
• $180 > 40 \cdot 4$ — это числовое неравенство. Оно сравнивает два значения, но не является равенством и не содержит неизвестной.

2. Неравенства с переменной: Эти записи содержат неизвестную, но используют знаки неравенства ($<$ или $>$), а не знак равенства.

• $b + 20 < 24$ — это неравенство. Здесь нужно найти не одно конкретное значение $b$, а множество значений, при которых это неравенство будет верным.

3. Математические выражения: В этих записях отсутствует знак равенства или неравенства, они просто представляют собой действие или значение.

• $36 : x$ — это буквенное выражение. Оно показывает действие деления, но не приравнивается ни к какому значению.
• $84 : 4$ — это числовое выражение. Оно представляет собой операцию деления, результатом которой будет число.

Ответ: Другие записи не являются уравнениями, потому что одни из них — это числовые равенства или выражения без неизвестных ($15 \cdot 2 = 30$, $84 : 4$), другие — неравенства ($b + 20 < 24$, $180 > 40 \cdot 4$), а третьи — просто выражения без знака равенства ($36 : x$).

7. Реши уравнения.

150 : x = 30

В данном уравнении переменная x является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное.

Делимое равно 150, а частное равно 30.

$x = 150 : 30$

$x = 5$

Для проверки правильности решения подставим найденное значение x в исходное уравнение:

$150 : 5 = 30$

$30 = 30$

Равенство верное, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $x=5$

13 · x = 91

В этом уравнении переменная x является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель.

Произведение равно 91, а известный множитель равен 13.

$x = 91 : 13$

$x = 7$

Для проверки правильности решения подставим найденное значение x в исходное уравнение:

$13 \cdot 7 = 91$

$91 = 91$

Равенство верное, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $x=7$

8. На диаграмме показана вместимость трёх сосудов: бидона, бака и канистры.

1) Во сколько раз вместимость бидона больше, чем вместимость канистр?

2) На сколько литров вместимость бака меньше, чем вместимость канистры?

Для решения задачи сначала определим вместимость каждого сосуда по представленной столбчатой диаграмме. Горизонтальная ось показывает вместимость в литрах.

• Вместимость бидона (верхний столбец) составляет 60 литров.
• Вместимость бака (средний столбец) составляет 15 литров.
• Вместимость канистры (нижний столбец) составляет 30 литров.

Вместимость бидона равна 60 литров, а вместимость канистры — 30 литров. Чтобы найти, во сколько раз вместимость бидона больше, необходимо разделить вместимость бидона на вместимость канистры.
$60 \div 30 = 2$
Таким образом, вместимость бидона в 2 раза больше, чем вместимость канистры.
Ответ: в 2 раза.

Вместимость бака составляет 15 литров, а вместимость канистры — 30 литров. Чтобы найти, на сколько литров вместимость бака меньше, нужно из вместимости канистры вычесть вместимость бака.
$30 - 15 = 15$
Таким образом, вместимость бака на 15 литров меньше, чем вместимость канистры.
Ответ: на 15 литров.