Страница 70, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

1. Угадай задуманное число

1) Задумай любое однозначное число, кроме нуля.

Умножь его на 9.
Результат раздели на задуманное число.
Объясни, почему получилось 9.

2) Задумай любое однозначное число, кроме нуля.

Увеличь его в 5 раз.
Вычти из результата задуманное число.
Полученную разность раздели на задуманное число.
Прибавь к результату 96.
Получилось 100.
Объясни, почему всегда получается 100.

1. 1) Объяснение:

Получилось 9 потому, что при умножении 9 и задуманного числа результат увеличился в х раз (задуманное число), а затем при делении на задуманное число результат уменьшился в х раз (задуманное число).

2) Всегда получается 100, потому что, когда мы увеличили число в 5 раз, – это другими словами взяли 5 раз , но потом вычли 1 раз, то есть стало неизвестное число взятое 4 раза (х ∙ 4). Затем разделили на задуманное число, значит осталось 4. К 4 + 96 = 100.

1) Объясним, почему результат всегда 9, используя алгебру. Пусть задуманное однозначное число, не равное нулю, это $x$.

Сначала мы умножаем это число на 9, получая $x \times 9$. Затем делим результат на задуманное число. Всю операцию можно записать в виде дроби: $\frac{x \times 9}{x}$.

Поскольку по условию $x$ не равен нулю ($x \neq 0$), мы можем сократить $x$ в числителе и знаменателе. В результате этой операции переменная $x$ исчезает, и остается только число 9:

$\frac{x \times 9}{x} = 9$

Это верно для любого числа $x$, которое мы могли бы задумать (кроме нуля), потому что умножение и деление на одно и то же число — это взаимно обратные действия. Они компенсируют друг друга. Например, если задумать 7: $7 \times 9 = 63$, а $63 \div 7 = 9$.

Ответ: Результат всегда равен 9, потому что умножение на 9 и последующее деление на задуманное число $x$ алгебраически эквивалентно выражению $\frac{9 \times x}{x}$. Так как $x$ не равен нулю, он сокращается, и в результате остается 9.

2) Объясним, почему результат всегда 100, используя алгебру. Пусть задуманное однозначное число (не равное нулю) это $y$.

Сначала мы увеличиваем число $y$ в 5 раз, получая $5 \times y$. Затем из этого результата вычитаем задуманное число: $5y - y$, что равно $4y$. После этого полученную разность делим на задуманное число: $\frac{4y}{y}$. И, наконец, прибавляем к результату 96. Вся последовательность действий записывается в виде выражения: $\frac{4y}{y} + 96$.

Поскольку $y$ не равно нулю ($y \neq 0$), мы можем сократить $y$ в числителе и знаменателе дроби. Выражение упрощается так:

$\frac{4y}{y} + 96 = 4 + 96 = 100$.

Как видно из расчетов, задуманное число $y$ сокращается, и конечный результат не зависит от его первоначального значения. Поэтому, какое бы однозначное число (кроме нуля) ни было задумано, ответ всегда будет 100. Например, если задумать 3: $3 \times 5 = 15$, затем $15 - 3 = 12$, далее $12 \div 3 = 4$, и наконец $4 + 96 = 100$.

Ответ: Результат всегда равен 100, потому что последовательность действий с задуманным числом $y$ приводит к выражению $\frac{(5y - y)}{y} + 96$. Это выражение упрощается до $\frac{4y}{y} + 96$, и так как $y$ не равно нулю, оно сокращается. В итоге остается $4 + 96 = 100$.

2. 1) Вырежи квадрат со стороной 2 см и разрежь его на 3 таких треугольника, из которых можно составить эти фигуры.

2) Какой будет площадь каждой фигуры?

3) Назови ещё одно свойство, общее для всех фигур на рисунке.

2. 1) Квадрат разрезаем сначала пополам, а потом одну часть ещё раз пополам. Получится 1 побольше треугольник и два маленьких.

Затем складываем фигуры.

2) Площадь всех этих фигур состоит из треугольников, которые составляли квадрат. Поэтому площади этих фигур равна площади исходного разрезанного квадрата.

Сторона квадрата равна 2 см.

2 ∙ 2 = 4 см² - площадь каждой фигуры.
Ответ: 4 квадратных сантиметра площадь каждой фигуры.

1) Чтобы разрезать квадрат на 3 треугольника, из которых можно составить все представленные фигуры, нужно выполнить следующие действия:

1. Возьмем квадрат со стороной 2 см. Назовем его вершины A, B, C, D по часовой стрелке.
2. Найдем середину одной из его сторон, например, стороны AB. Обозначим эту точку как M.
3. Проведем два разреза из вершин, противоположных этой стороне (вершин D и C), к середине стороны AB (к точке M).

В результате мы получим три треугольника:

• Два одинаковых прямоугольных треугольника (ADM и BCM). У каждого из них один катет равен стороне квадрата (2 см), а другой катет — половине стороны квадрата (1 см).
• Один равнобедренный треугольник (DCM). Его основание равно стороне квадрата (2 см), а высота, проведенная к основанию, также равна стороне квадрата (2 см).

Именно из этих трех треугольников можно сложить каждую из пяти фигур, показанных на рисунке.

Ответ: Нужно найти середину одной из сторон квадрата и сделать два разреза от этой точки к двум противоположным вершинам.

2) Все фигуры на рисунке составлены из одних и тех же трех треугольников. Эти треугольники, в свою очередь, были получены путем разрезания исходного квадрата. Это означает, что площадь каждой из этих фигур равна площади исходного квадрата. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — длина его стороны.

В нашем случае сторона квадрата $a = 2 \text{ см}$.

Следовательно, площадь квадрата (и каждой из фигур) равна:

$S = (2 \text{ см})^2 = 4 \text{ см}^2$

Ответ: Площадь каждой фигуры составляет $4 \text{ см}^2$.

3) Кроме одинаковой площади, у всех фигур на рисунке есть еще одно общее свойство. Если внимательно рассмотреть каждую фигуру, можно заметить, что все они симметричны. Это означает, что для каждой фигуры можно найти прямую линию (ось симметрии), которая делит фигуру на две зеркально одинаковые части.

• Фигура из двух треугольников (вверху слева) имеет вертикальную ось симметрии.
• Прямоугольник (вверху в центре) имеет и вертикальную, и горизонтальную оси симметрии.
• Стрелка (вверху справа) имеет горизонтальную ось симметрии.
• Фигура в виде "галочки" (внизу слева) имеет вертикальную ось симметрии.
• Фигура в виде "песочных часов" (внизу в центре) имеет и вертикальную, и горизонтальную оси симметрии.

Ответ: Все фигуры на рисунке имеют хотя бы одну ось симметрии.

3. Расставь знаки арифметических действий и, если нужно, скобки так, чтобы равенства стали верными.

3. Напомним порядок действий в выражениях:

При вычислении числовых выражений сначала выполняют действия умножения и деления, а затем сложения и вычитания, слева направо. При наличии скобок вычисляют сначала значение выражения в них.

8 8 8 8 = 7

Для решения этой задачи необходимо расставить знаки арифметических действий и скобки таким образом, чтобы получить верное равенство. Один из подходов — работать в обратном порядке. Чтобы в результате получилось 7, можно, например, получить число 56 и разделить его на 8, так как $56 \div 8 = 7$. Теперь задача сводится к тому, чтобы получить число 56 из трех восьмерок. Этого можно достичь следующим образом: $8 \times 8 - 8 = 64 - 8 = 56$. Объединим обе части в одно выражение: $(8 \times 8 - 8) \div 8$. Проверим правильность вычислений: $(8 \times 8 - 8) \div 8 = (64 - 8) \div 8 = 56 \div 8 = 7$. Таким образом, равенство становится верным.

Ответ: $(8 \times 8 - 8) \div 8 = 7$

8 8 8 8 = 9

Используем аналогичный подход, что и в предыдущем примере. Чтобы получить 9, можно найти число, которое при делении на 8 дает 9. Это число $9 \times 8 = 72$. Теперь нам нужно получить 72 из трех восьмерок. Это можно сделать, если сложить произведение двух восьмерок с третьей восьмеркой: $8 \times 8 + 8 = 64 + 8 = 72$. Составим полное выражение: $(8 \times 8 + 8) \div 8$. Проверим его: $(8 \times 8 + 8) \div 8 = (64 + 8) \div 8 = 72 \div 8 = 9$. Равенство выполняется.

Ответ: $(8 \times 8 + 8) \div 8 = 9$

8 8 8 8 = 8

Чтобы в результате получилось 8, можно взять одну восьмерку и прибавить к ней выражение из трех оставшихся восьмерок, которое равно нулю. Получить 0 из трех восьмерок можно несколькими способами. Например, так: $(8 - 8) \div 8$. Сначала выполняется действие в скобках: $8 - 8 = 0$. Затем деление: $0 \div 8 = 0$. Теперь подставим это в наше выражение: $8 + (8 - 8) \div 8$. Проверим: $8 + (8 - 8) \div 8 = 8 + 0 \div 8 = 8 + 0 = 8$. Равенство верное.

Ответ: $8 + (8 - 8) \div 8 = 8$

8 8 8 8 = 10

Чтобы получить 10, можно к 8 прибавить 2. Следовательно, из оставшихся трех восьмерок нам нужно получить число 2. Это можно сделать, если сумму двух восьмерок разделить на третью: $(8 + 8) \div 8 = 16 \div 8 = 2$. Теперь составим полное выражение, подставив полученную двойку: $8 + (8 + 8) \div 8$. Проверим вычисления: $8 + (8 + 8) \div 8 = 8 + 16 \div 8 = 8 + 2 = 10$. Равенство является верным.

Ответ: $8 + (8 + 8) \div 8 = 10$

1. Дополни следующие задачи недостающими данными, исходя из условий твоей семьи. Реши задачи.

Затем рассмотри другие варианты.

1) Расход горючего для нашего семейного автомобиля составляет ▢ л на 100 км. Расстояние от дома до дачи и обратно ▢ км. Рассчитай, сколько рублей надо затратить на бензин, чтобы съездить на дачу и обратно.

2) Путёвка в санаторий для одного взрослого человека стоит 15 000 р., для ребёнка − 9 000 р., а путёвка для взрослого вместе с ребёнком стоит 19 000 р. Сколько удастся сэкономить твоей семье, если поехать на отдых не по одному в разные санатории, а всем вместе в один санаторий?

1) Расход горючего для нашего семейного автомобиля составляет ? л на 100 км. Расстояние от дома до дачи и обратно ? км. Рассчитай, сколько рублей надо затратить на бензин, чтобы съездить на дачу и обратно.

Для решения этой задачи нужно дополнить её недостающими данными. Предположим, что:

• Расход топлива нашего автомобиля — 10 литров на 100 км.
• Расстояние от дома до дачи и обратно — 150 км.
• Цена 1 литра бензина — 55 рублей.

Теперь проведем расчеты.

1. Сначала найдем, сколько всего литров бензина потребуется на поездку. Для этого разделим общее расстояние на 100 и умножим на расход на 100 км.

$ \text{Расход топлива} = (\frac{150 \text{ км}}{100 \text{ км}}) \times 10 \text{ л} = 1,5 \times 10 = 15 \text{ л} $

2. Теперь рассчитаем общую стоимость бензина, умножив количество литров на цену за один литр.

$ \text{Стоимость} = 15 \text{ л} \times 55 \text{ руб./л} = 825 \text{ руб.} $

Ответ: чтобы съездить на дачу и обратно, надо затратить 825 рублей.

Рассмотрим другой вариант:

Предположим, у нас более экономичный автомобиль (8 л на 100 км), а дача находится дальше (расстояние туда и обратно — 200 км). Цена бензина та же — 55 руб./л.

1. Расход топлива:

$ (\frac{200 \text{ км}}{100 \text{ км}}) \times 8 \text{ л} = 2 \times 8 = 16 \text{ л} $

2. Стоимость:

$ 16 \text{ л} \times 55 \text{ руб./л} = 880 \text{ руб.} $

Ответ: в этом случае на поездку надо затратить 880 рублей.

2) Путёвка в санаторий для одного взрослого человека стоит 15 000 р., для ребёнка — 9 000 р., а путёвка для взрослого вместе с ребёнком стоит 19 000 р. Сколько удастся сэкономить твоей семье, если поехать на отдых не по одному в разные санатории, а всем вместе в один санаторий?

Для решения этой задачи нужно знать состав семьи. Предположим, что семья состоит из двух взрослых и двух детей.

1. Сначала посчитаем, сколько бы семья заплатила, если бы покупала путевки на каждого отдельно.

Стоимость для двух взрослых: $ 2 \times 15\;000 = 30\;000 \text{ руб.} $

Стоимость для двух детей: $ 2 \times 9\;000 = 18\;000 \text{ руб.} $

Общая стоимость при покупке отдельных путевок: $ 30\;000 + 18\;000 = 48\;000 \text{ руб.} $

2. Теперь посчитаем стоимость, если воспользоваться специальным предложением «взрослый вместе с ребенком». Для семьи из 2 взрослых и 2 детей нужно купить две такие совместные путевки.

Общая стоимость по специальному предложению: $ 2 \times 19\;000 = 38\;000 \text{ руб.} $

3. Найдем разницу в стоимости, чтобы определить экономию.

$ 48\;000 \text{ руб.} - 38\;000 \text{ руб.} = 10\;000 \text{ руб.} $

Ответ: семье из двух взрослых и двух детей удастся сэкономить 10 000 рублей.

Рассмотрим другой вариант:

Предположим, что семья состоит из одного взрослого и одного ребенка.

1. Стоимость отдельных путевок:

$ 15\;000 + 9\;000 = 24\;000 \text{ руб.} $

2. Стоимость совместной путевки по специальному предложению:

$ 19\;000 \text{ руб.} $

3. Экономия составит:

$ 24\;000 \text{ руб.} - 19\;000 \text{ руб.} = 5\;000 \text{ руб.} $

Ответ: в этом случае семья сэкономит 5 000 рублей.

2. Принтер (печатающее устройство) к домашнему компьютеру стоит 3 600 р. Один картридж (устройство, наполненное чернилами) к нему может отпечатать 2 000 страниц. Заправка картриджа стоит 650 р. Всем членам семьи в месяц требуется распечатать 150 страниц.

1) Хватит ли одного картриджа на весь учебный год?

2) Сколько пачек бумаги потребуется в этих условиях в течение одного учебного года для обычной распечатки страниц компьютерного набора?

3) Отпечатать одну страницу компьютерного набора стоит 4 р. Нужно ли покупать принтер или выгоднее пользоваться услугами специалиста?

Расскажи, какие данные для ответа на каждый вопрос оказались лишними в этой задаче и какими данными её надо дополнить.

1) Хватит ли одного картриджа на весь учебный год?

Для ответа на этот вопрос сначала определим, сколько всего страниц потребуется распечатать за учебный год. В условии не указана продолжительность учебного года, поэтому примем ее равной 9 месяцам (с сентября по май).

1. Найдем общее количество страниц, которое нужно распечатать за год:

$150 \text{ страниц/месяц} \times 9 \text{ месяцев} = 1350 \text{ страниц}$

2. Сравним это количество с ресурсом одного картриджа:

Ресурс картриджа — 2000 страниц. Потребность за год — 1350 страниц.

$1350 \text{ страниц} < 2000 \text{ страниц}$

Поскольку необходимое количество страниц меньше, чем ресурс одного картриджа, его хватит на весь учебный год.

Ответ: Да, одного картриджа хватит на весь учебный год.

2) Сколько пачек бумаги потребуется в этих условиях в течение одного учебного года для обычной распечатки страниц компьютерного набора?

Из предыдущего пункта мы знаем, что за учебный год (9 месяцев) потребуется распечатать 1350 страниц.

В условии задачи не указано, сколько листов бумаги содержится в одной пачке. Примем за стандартное значение 500 листов в пачке.

1. Рассчитаем необходимое количество пачек бумаги:

$1350 \text{ страниц} / 500 \text{ листов/пачка} = 2.7 \text{ пачки}$

Поскольку нельзя купить часть пачки, необходимо округлить полученное значение в большую сторону до целого числа. Таким образом, семье потребуется купить 3 пачки бумаги.

Ответ: Потребуется 3 пачки бумаги (при условии, что в одной пачке 500 листов).

3) Отпечатать одну страницу компьютерного набора стоит 4 р. Нужно ли покупать принтер или выгоднее пользоваться услугами специалиста?

Чтобы ответить на этот вопрос, сравним общие затраты за один учебный год (9 месяцев) в обоих случаях.

1. Рассчитаем стоимость печати у специалиста:

За год нужно напечатать 1350 страниц. Стоимость одной страницы — 4 р.

$1350 \text{ страниц} \times 4 \text{ р./страница} = 5400 \text{ р.}$

2. Рассчитаем стоимость покупки и использования собственного принтера в течение первого года:

Эта стоимость складывается из цены принтера и цены на бумагу. В задаче не указана стоимость бумаги, поэтому для расчета примем, что одна пачка (500 листов) стоит 300 р. Как мы выяснили ранее, на год потребуется 3 пачки.

Стоимость бумаги: $3 \text{ пачки} \times 300 \text{ р./пачка} = 900 \text{ р.}$

Стоимость принтера: 3600 р. (предполагаем, что принтер продается с одним полным картриджем).

Так как одного картриджа хватает на год, покупать новый или заправлять старый в первый год не нужно.

Общие затраты на собственный принтер за первый год: $3600 \text{ р. (принтер)} + 900 \text{ р. (бумага)} = 4500 \text{ р.}$

3. Сравним затраты:

Стоимость услуг специалиста: 5400 р.

Стоимость владения принтером (первый год): 4500 р.

$4500 \text{ р.} < 5400 \text{ р.}$

Покупка принтера оказывается выгоднее уже в первый год использования.

Ответ: Да, нужно покупать принтер, так как это выгоднее, чем пользоваться услугами специалиста.

Расскажи, какие данные для ответа на каждый вопрос оказались лишними в этой задаче и какими данными её надо дополнить.

Лишние данные:

• Для ответа на вопрос 1 лишними являются данные о стоимости принтера (3600 р.), стоимости заправки картриджа (650 р.) и стоимости печати у специалиста (4 р. за страницу).

• Для ответа на вопрос 2 лишними также являются все данные о стоимости (принтера, заправки картриджа, услуг специалиста).

• Для ответа на вопрос 3 (при расчете на один год) лишней оказывается стоимость заправки картриджа (650 р.), так как ресурса первого картриджа, который обычно идет в комплекте, достаточно на весь год.

Данные, которыми нужно дополнить задачу:

• Продолжительность учебного года. Это ключевой параметр для расчета общего количества страниц. В решении было принято, что он равен 9 месяцам.

• Количество листов в одной пачке бумаги. Эта информация необходима для решения второго вопроса. В решении было принято стандартное значение — 500 листов.

• Стоимость одной пачки бумаги. Без этой информации невозможно корректно сравнить затраты и ответить на третий вопрос. В решении была принята условная цена в 300 р. за пачку.

• Информация о наличии стартового картриджа. Необходимо уточнение, входит ли в стоимость принтера (3600 р.) первый картридж. В решении было сделано стандартное предположение, что он входит в комплект.