Номер 5, страница 23, часть 2 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь Петерсон

5 Расшифруй запись (одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные буквы – разные цифры).

$\begin{array}{r}\text{М А С Л О} \\- \text{М Л} \\\underline{\phantom{- \text{М Л}}} \\\text{У С} \\- \text{У Л} \\\underline{\phantom{- \text{У Л}}} \\\text{Э Л} \\- \text{Э Л} \\\underline{\phantom{- \text{Э Л}}} \\\text{О}\end{array}\begin{array}{|l}\text{Л} \\\text{С А Л О}\end{array}$

Для решения этой криптоарифметической задачи представим её в виде стандартного примера на деление в столбик и проанализируем каждый шаг.

Запись представляет собой деление пятизначного числа МАСЛО на однозначное число Л, в результате чего получается четырехзначное число САЛО.

$МАСЛО \div Л = САЛО$

Рассмотрим шаги деления, показанные в примере:

1. Анализ последнего действия.
Последнее вычитание в столбике — это $ЭЛ - ЭЛ = 0$. Это означает, что остаток на данном шаге равен нулю. После этого сносится последняя цифра делимого — О. Получается число 0О, то есть просто О. Это число делится на Л, и в результате получается последняя цифра частного, которая тоже О. Таким образом, мы имеем уравнение: $О \div Л = О$. Это возможно, только если $О = 0$, поскольку Л является делителем и не может быть равно нулю. Итак, мы определили первую цифру: О = 0.

2. Анализ третьего шага деления.
Вычитание $ЭЛ - ЭЛ = 0$ происходит на третьем шаге деления, когда мы находим третью цифру частного, которой является Л. Это означает, что произведение этой цифры частного (Л) на делитель (Л) равно вычитаемому числу (ЭЛ). Получаем уравнение: $Л \times Л = ЭЛ$.
Запишем число ЭЛ как $10 \times Э + Л$.
$Л^2 = 10 \times Э + Л$
$Л^2 - Л = 10 \times Э$
$Л(Л-1) = 10 \times Э$
Произведение двух последовательных чисел $Л$ и $Л-1$ должно быть кратно 10. Это возможно, если одно из чисел кратно 5, а другое — чётное. Рассмотрим возможные варианты для Л (Л не может быть 0 или 1, так как ЭЛ — двузначное число, и Э не может быть 0, потому что О=0):

• Если $Л=5$, то $Л-1=4$. $Л(Л-1) = 5 \times 4 = 20$. Тогда $10 \times Э = 20$, откуда Э = 2. Этот вариант подходит.
• Если $Л-1=5$, то $Л=6$. $Л(Л-1) = 6 \times 5 = 30$. Тогда $10 \times Э = 30$, откуда Э = 3. Этот вариант тоже возможен.

3. Анализ остальных шагов.
Аналогично, из структуры примера можно вывести следующие соотношения для других цифр частного:

• Первая цифра частного С: $С \times Л = МЛ \implies Л(С-1) = 10 \times М$
• Вторая цифра частного А: $А \times Л = УЛ \implies Л(А-1) = 10 \times У$

Также рассмотрим вычитание на втором шаге: из числа УС вычитают УЛ и получают число, начинающееся с Э. Это можно интерпретировать как $(10У + С) - (10У + Л) = Э$. Отсюда получаем простое соотношение: $С - Л = Э$, или $С = Л + Э$.

4. Проверка гипотез.
Теперь проверим два найденных нами ранее варианта.

Случай 1: Л = 5, Э = 2

• Находим С: $С = Л + Э = 5 + 2 = 7$. Итак, С = 7.
• Находим М из $Л(С-1) = 10 \times М$: $5(7-1) = 10 \times М \implies 5 \times 6 = 10 \times М \implies 30 = 10 \times М \implies$ М = 3.
• Находим У и А из $Л(А-1) = 10 \times У$: $5(А-1) = 10 \times У \implies А-1 = 2 \times У$.
  А должно быть нечётным числом, большим 1, чтобы У не было равно 0. Проверим доступные цифры. Уже использованы: 0, 2, 3, 5, 7. Если $А=1$, то $У=0$, что невозможно (О=0). Если $А=9$, то $9-1 = 2 \times У \implies 8 = 2 \times У \implies$ У = 4. Все цифры разные. Этот вариант подходит.

Мы получили полный набор цифр: М=3, А=9, С=7, Л=5, О=0, У=4, Э=2.

Случай 2: Л = 6, Э = 3

• Находим С: $С = Л + Э = 6 + 3 = 9$. Итак, С = 9.
• Находим М из $Л(С-1) = 10 \times М$: $6(9-1) = 10 \times М \implies 6 \times 8 = 10 \times М \implies 48 = 10 \times М$. Здесь нет целого решения для М, поэтому этот случай невозможен.

5. Итоговое решение.
Единственный возможный вариант — первый. Расшифруем запись:

• М = 3
• А = 9
• С = 7
• Л = 5
• О = 0
• У = 4
• Э = 2

Подставим цифры в исходный пример: МАСЛО = 39750, Л = 5, САЛО = 7950. Проверим деление: $39750 \div 5 = 7950$. Равенство верно.

Пример в цифровом виде:

 39750 | 5- 35 |----- ---- | 7950 47 - 45 -- 25 - 25 -- 0 

Ответ: 39750 / 5 = 7950.