Страница 14, часть 1 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

6 Выполни умножение:

а) $2840 \cdot 125$

б) $2034 \cdot 370$

в) $50\,600 \cdot 7050$

а) б) в)

а) Чтобы найти произведение чисел $2840$ и $125$, выполним умножение в столбик. Сначала умножаем $2840$ на единицы ($5$), затем на десятки ($2$) и сотни ($1$), сдвигая результат каждого следующего умножения на одну позицию влево. В конце складываем полученные произведения.

1. Умножаем $2840$ на $5$: $2840 \cdot 5 = 14200$.

2. Умножаем $2840$ на $2$: $2840 \cdot 2 = 5680$.

3. Умножаем $2840$ на $1$: $2840 \cdot 1 = 2840$.

Запишем и сложим результаты:

×2840 125 14200 +5680 2840 355000

Ответ: $355000$.

б) Для вычисления произведения $2034 \cdot 370$ можно умножить $2034$ на $37$, а затем к полученному результату приписать ноль. Выполним умножение $2034$ на $37$ в столбик.

1. Умножаем $2034$ на $7$: $2034 \cdot 7 = 14238$.

2. Умножаем $2034$ на $3$: $2034 \cdot 3 = 6102$.

Сложим результаты, сдвинув второй на одну позицию влево:

×2034 37 14238 +6102 75258

Теперь добавим ноль от числа $370$ к результату: $752580$.

Ответ: $752580$.

в) Чтобы перемножить $50600$ и $7050$, удобно сначала умножить числа без нулей на конце ($506$ и $705$), а затем к результату приписать общее количество нулей (в нашем случае три: два от $50600$ и один от $7050$).

Выполним умножение $506$ на $705$ в столбик:

1. Умножаем $506$ на $5$: $506 \cdot 5 = 2530$.

2. Умножаем $506$ на $0$: $506 \cdot 0 = 0$.

3. Умножаем $506$ на $7$: $506 \cdot 7 = 3542$.

Сложим результаты, соблюдая сдвиги:

×506 705 2530 + 000 3542 356730

Теперь к результату $356730$ припишем три нуля: $356730000$.

Ответ: $356730000$.

7 Выполни действия:

а) $200504 - 128409$

б) $67935 + 532085$

в) $7810 \cdot 9020$

г) $192480 : 6$

а) б) в) г)

а)

Чтобы найти разность чисел $200\,504$ и $128\,409$, выполним вычитание в столбик:

_200504 128409------- 72095

Таким образом, $200\,504 - 128\,409 = 72\,095$.

Ответ: 72 095

б)

Для нахождения суммы чисел $67\,935$ и $532\,085$ выполним сложение в столбик:

+532085 67935------- 600020

Таким образом, $67\,935 + 532\,085 = 600\,020$.

Ответ: 600 020

в)

Для выполнения умножения $7810 \cdot 9020$ отбросим нули и умножим $781$ на $902$ в столбик, а затем к результату припишем два нуля.

 ×781 902 ---- 1562 000+7029 ------ 704462

Приписав два нуля к результату, получаем $70\,446\,200$.

Таким образом, $7810 \cdot 9020 = 70\,446\,200$.

Ответ: 70 446 200

г)

Чтобы найти частное от деления $192\,480$ на $6$, выполним деление уголком:

_192480 | 6 18 |----- --- | 32080 _12 12 --- _4 0 --- _48 48 --- _0 0 --- 0

Таким образом, $192\,480 : 6 = 32\,080$.

Ответ: 32 080

8 Составь выражения и найди их значения:

а) За 3 стакана чая Наташа заплатила 15 р. Булочка в 4 раза дороже одного стакана чая. Сколько рублей стоит булочка?

б) Пешеход прошёл 15 км за 3 часа. Скорость велосипедиста в 4 раза больше. Чему равна скорость велосипедиста?

в) В 3 коробки положили поровну 15 кг фруктов. А в ящик положили в 4 раза больше фруктов, чем в коробку. Сколько килограммов фруктов положили в ящик?

Что ты замечаешь? Придумай свою аналогичную задачу

а) Сначала найдём, сколько стоит один стакан чая. Для этого общую стоимость (15 р.) разделим на количество стаканов (3):
$15 : 3 = 5$ (р.) — стоит один стакан чая.
Теперь найдём стоимость булочки. Она в 4 раза дороже одного стакана чая, поэтому цену стакана чая умножим на 4:
$5 \cdot 4 = 20$ (р.) — стоит булочка.
Составим общее выражение:
$(15 : 3) \cdot 4 = 20$.
Ответ: 20 рублей.

б) Сначала найдём скорость пешехода. Для этого разделим расстояние (15 км) на время (3 часа):
$15 : 3 = 5$ (км/ч) — скорость пешехода.
Теперь найдём скорость велосипедиста. Она в 4 раза больше скорости пешехода, поэтому скорость пешехода умножим на 4:
$5 \cdot 4 = 20$ (км/ч) — скорость велосипедиста.
Составим общее выражение:
$(15 : 3) \cdot 4 = 20$.
Ответ: 20 км/ч.

в) Сначала найдём, сколько килограммов фруктов в одной коробке. Для этого общий вес фруктов (15 кг) разделим на количество коробок (3):
$15 : 3 = 5$ (кг) — фруктов в одной коробке.
Теперь найдём, сколько фруктов положили в ящик. Их в 4 раза больше, чем в одной коробке, поэтому вес фруктов в одной коробке умножим на 4:
$5 \cdot 4 = 20$ (кг) — фруктов в ящике.
Составим общее выражение:
$(15 : 3) \cdot 4 = 20$.
Ответ: 20 кг.

Что ты замечаешь? Придумай свою аналогичную задачу. Я замечаю, что все три задачи имеют разный сюжет (про деньги, скорость и массу), но решаются абсолютно одинаково. В них используются одни и те же числа (15, 3, 4), и для решения нужно выполнить те же действия в том же порядке: сначала деление, а потом умножение. Выражение для решения всех задач одинаковое: $(15 : 3) \cdot 4 = 20$.

Моя аналогичная задача:
Для украшения трёх одинаковых тортов использовали 15 ягод клубники. А для украшения пирога понадобилось в 4 раза больше ягод, чем для одного торта. Сколько ягод клубники понадобилось для пирога?
Решение:
1) $15 : 3 = 5$ (ягод) — ушло на один торт.
2) $5 \cdot 4 = 20$ (ягод) — понадобилось для пирога.
Ответ: 20 ягод.

9* Продолжи ряд на 3 числа, соблюдая закономерность:

$2, 10, 26, 50, 82, 122, \rule{2cm}{0.15mm}$

Для того чтобы продолжить данный числовой ряд, необходимо выявить закономерность, по которой он построен. Рассмотрим два способа решения.

Способ 1: Анализ разностей между членами ряда

Запишем исходный ряд чисел: 2, 10, 26, 50, 82, 122.

Найдем разность между соседними членами ряда:

• $10 - 2 = 8$
• $26 - 10 = 16$
• $50 - 26 = 24$
• $82 - 50 = 32$
• $122 - 82 = 40$

Мы получили новый ряд чисел, который представляет собой разности между членами исходного ряда: 8, 16, 24, 32, 40. В этом новом ряду легко заметить закономерность: каждое следующее число на 8 больше предыдущего. Это арифметическая прогрессия с шагом 8.

Продолжим ряд разностей на три следующих числа:

• $40 + 8 = 48$
• $48 + 8 = 56$
• $56 + 8 = 64$

Теперь, зная следующие три разности, мы можем найти следующие три члена исходного числового ряда. Для этого нужно к последнему известному члену ряда (122) последовательно прибавлять найденные разности.

• Седьмой член ряда: $122 + 48 = 170$
• Восьмой член ряда: $170 + 56 = 226$
• Девятый член ряда: $226 + 64 = 290$

Способ 2: Поиск общей формулы члена ряда

Рассмотрим члены ряда и попробуем найти для них общую формулу. Можно заметить, что все числа в ряду на 1 больше, чем квадраты некоторых чисел.

• $2 = 1 + 1 = 1^2 + 1$
• $10 = 9 + 1 = 3^2 + 1$
• $26 = 25 + 1 = 5^2 + 1$
• $50 = 49 + 1 = 7^2 + 1$
• $82 = 81 + 1 = 9^2 + 1$
• $122 = 121 + 1 = 11^2 + 1$

Закономерность заключается в том, что каждый член ряда равен квадрату последовательного нечетного числа плюс 1. Ряд нечетных чисел, которые возводятся в квадрат: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...

Следующие три нечетных числа в этой последовательности: 13, 15, 17.

Используя эту закономерность, найдем следующие три члена исходного ряда:

• Седьмой член ряда: $13^2 + 1 = 169 + 1 = 170$
• Восьмой член ряда: $15^2 + 1 = 225 + 1 = 226$
• Девятый член ряда: $17^2 + 1 = 289 + 1 = 290$

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Таким образом, следующие три числа в ряду — это 170, 226 и 290.

Ответ: 170, 226, 290.

3 Точка C делит отрезок AB на две части так, что BC составляет $ \frac{2}{3} $ отрезка AB. Найди длину отрезка AB, если AC = 4 см. Построй эти отрезки.

Решение

Отрезок AB состоит из двух частей: AC и BC. Таким образом, его длина равна сумме длин этих частей: $AB = AC + BC$.

По условию задачи, длина отрезка BC составляет $\frac{2}{3}$ от длины всего отрезка AB, то есть $BC = \frac{2}{3}AB$.

Найдем, какую часть отрезка AB составляет отрезок AC. Для этого из длины всего отрезка (которую можно принять за 1) вычтем часть, которую занимает BC:
$AC = AB - BC = 1 \cdot AB - \frac{2}{3}AB = (1 - \frac{2}{3})AB = \frac{1}{3}AB$.

Итак, мы выяснили, что отрезок AC составляет $\frac{1}{3}$ отрезка AB. Зная из условия, что длина AC равна 4 см, мы можем найти длину всего отрезка AB:
$\frac{1}{3}AB = 4$ см
$AB = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Ответ: 12 см.

Построение

Для построения нам нужно знать длины всех частей. Мы уже знаем, что $AC = 4$ см и $AB = 12$ см. Найдем длину BC:
$BC = AB - AC = 12 \text{ см} - 4 \text{ см} = 8$ см.

На клетчатой бумаге примем, что сторона одной клетки равна 1 см. Тогда:
1. Чертим отрезок AB длиной 12 клеток (12 см).
2. От точки А отступаем вправо 4 клетки (4 см) и ставим точку С.

Получаем искомые отрезки, как показано на рисунке ниже.

4 Выполни действия:

a) $\frac{7}{15} - \left( \frac{9}{15} - \frac{8}{15} + \frac{4}{15} \right) = $

б) $\left( \frac{21}{34} - \frac{5}{34} \right) + \frac{32}{34} - \left( \frac{15}{34} - \frac{1}{34} \right) = $

а) $\frac{7}{15} - (\frac{9}{15} - \frac{8}{15} + \frac{4}{15})$

Чтобы решить этот пример, сначала выполним действия в скобках. Так как все дроби имеют одинаковый знаменатель (15), мы можем складывать и вычитать их числители.

1. Вычисляем выражение в скобках:

$\frac{9}{15} - \frac{8}{15} + \frac{4}{15} = \frac{9 - 8 + 4}{15} = \frac{1 + 4}{15} = \frac{5}{15}$

2. Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$\frac{7}{15} - \frac{5}{15}$

3. Выполним вычитание:

$\frac{7 - 5}{15} = \frac{2}{15}$

Ответ: $\frac{2}{15}$

б) $(\frac{21}{34} - \frac{5}{34}) + \frac{32}{34} - (\frac{15}{34} - \frac{1}{34})$

В этом примере все дроби также имеют общий знаменатель (34). Согласно порядку действий, сначала выполняем операции в скобках.

1. Вычисляем значение в первой скобке:

$\frac{21}{34} - \frac{5}{34} = \frac{21 - 5}{34} = \frac{16}{34}$

2. Вычисляем значение во второй скобке:

$\frac{15}{34} - \frac{1}{34} = \frac{15 - 1}{34} = \frac{14}{34}$

3. Подставляем полученные значения обратно в выражение:

$\frac{16}{34} + \frac{32}{34} - \frac{14}{34}$

4. Выполняем сложение и вычитание слева направо:

$\frac{16 + 32}{34} - \frac{14}{34} = \frac{48}{34} - \frac{14}{34} = \frac{48 - 14}{34} = \frac{34}{34}$

5. Дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна 1.

$\frac{34}{34} = 1$

Ответ: $1$

5 Длина основания прямоугольного параллелепипеда равна 12 см, а его ширина составляет $\frac{3}{4}$ длины и $\frac{3}{5}$ высоты. Найди площадь поверхности этого прямоугольного параллелепипеда и его объём.

Для решения задачи сначала найдём все три измерения прямоугольного параллелепипеда: длину ($a$), ширину ($b$) и высоту ($h$).

1. Длина основания дана по условию: $a = 12$ см.

2. Ширина составляет $\frac{3}{4}$ от длины. Вычислим её:
$b = \frac{3}{4} \cdot a = \frac{3}{4} \cdot 12 = 9$ см.

3. Также известно, что ширина составляет $\frac{3}{5}$ от высоты. Найдём высоту из этого соотношения:
$b = \frac{3}{5} \cdot h \implies h = b \div \frac{3}{5} = 9 \cdot \frac{5}{3} = 15$ см.

Таким образом, размеры параллелепипеда: длина $a=12$ см, ширина $b=9$ см, высота $h=15$ см.

Нахождение площади поверхности
Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $S = 2(ab + ah + bh)$. Подставим найденные значения:
$S = 2(12 \cdot 9 + 12 \cdot 15 + 9 \cdot 15) = 2(108 + 180 + 135) = 2 \cdot 423 = 846 \text{ см}^2$.
Ответ: $846 \text{ см}^2$.

Нахождение объёма
Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot h$. Подставим найденные значения:
$V = 12 \cdot 9 \cdot 15 = 108 \cdot 15 = 1620 \text{ см}^3$.
Ответ: $1620 \text{ см}^3$.

6* Пятачок посадил 8 желудей. Из всех желудей, кроме двух, выросли дубы. На всех дубах, кроме двух, растут жёлуди. Жёлуди со всех плодоносящих дубов, кроме одного, – невкусные. Чему равно число дубов с невкусными желудями? Подчеркни правильный ответ.

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

Для решения этой задачи необходимо последовательно проанализировать каждое условие.

1. Находим общее количество выросших дубов.
Пятачок посадил 8 желудей. По условию, "из всех желудей, кроме двух, выросли дубы". Это означает, что 2 желудя не проросли. Чтобы найти количество дубов, вычтем 2 из общего числа посаженных желудей:
$8 - 2 = 6$ (дубов).

2. Находим количество плодоносящих дубов (тех, на которых растут жёлуди).
Всего выросло 6 дубов. По условию, "на всех дубах, кроме двух, растут жёлуди". Это означает, что 2 дуба не приносят плодов. Найдём количество плодоносящих дубов:
$6 - 2 = 4$ (плодоносящих дуба).

3. Находим количество дубов с невкусными желудями.
Всего есть 4 плодоносящих дуба. По условию, "жёлуди со всех плодоносящих дубов, кроме одного, – невкусные". Это значит, что только на одном дубе жёлуди вкусные, а на всех остальных — нет. Найдём количество дубов с невкусными желудями:
$4 - 1 = 3$ (дуба с невкусными желудями).
Ответ: 3

1. Измерь транспортиром углы A, B, C, D и определи вид каждого угла:

a) $ \angle A = $

$ \angle A - $

б) $ \angle B = $

$ \angle B - $

в) $ \angle C = $

$ \angle C - $

г) $ \angle D = $

$ \angle D - $

2. Найди:

а) $ \frac{5}{6} $ развёрнутого угла

б) $ \frac{10}{9} $ прямого угла

в) угол, $ \frac{3}{7} $ которого равны $42^\circ$

г) угол, $ \frac{8}{5} $ которого равны $160^\circ$

3. После снижения цены на велосипед на 30% он стал стоить 6300 р. Чему равна первоначальная цена этого велосипеда?

4*. В полдень на детскую площадку пришёл Вася, через два часа после него – Маша, а через полтора часа после неё – Никита. Вася играл четыре часа, Маша – три, а Никита – два часа. Как долго Маша и Никита были на площадке вдвоём?

Ответ:

1.

а) Угол A визуально меньше $90°$, следовательно, он является острым. При измерении транспортиром его величина составляет примерно $65°$.
Ответ: $∠A \approx 65°$, острый.

б) Угол B выглядит как прямой угол, его стороны перпендикулярны. Его величина равна $90°$.
Ответ: $∠B = 90°$, прямой.

в) Угол C визуально больше $90°$, но меньше $180°$, следовательно, он является тупым. При измерении транспортиром его величина составляет примерно $135°$.
Ответ: $∠C \approx 135°$, тупой.

г) Угол D визуально меньше $90°$, следовательно, он является острым. При измерении транспортиром его величина составляет примерно $30°$.
Ответ: $∠D \approx 30°$, острый.

2.

а) Развёрнутый угол равен $180°$. Найдём $\frac{5}{6}$ от этого значения:
$180° \cdot \frac{5}{6} = \frac{180 \cdot 5}{6} = 30 \cdot 5 = 150°$.
Ответ: $150°$.

б) Прямой угол равен $90°$. Найдём $\frac{10}{9}$ от этого значения:
$90° \cdot \frac{10}{9} = \frac{90 \cdot 10}{9} = 10 \cdot 10 = 100°$.
Ответ: $100°$.

в) Если $\frac{3}{7}$ искомого угла равны $42°$, то чтобы найти весь угол, нужно разделить $42°$ на дробь $\frac{3}{7}$:
$42° \div \frac{3}{7} = 42 \cdot \frac{7}{3} = \frac{42 \cdot 7}{3} = 14 \cdot 7 = 98°$.
Ответ: $98°$.

г) Если $\frac{8}{5}$ искомого угла равны $160°$, то чтобы найти весь угол, нужно разделить $160°$ на дробь $\frac{8}{5}$:
$160° \div \frac{8}{5} = 160 \cdot \frac{5}{8} = \frac{160 \cdot 5}{8} = 20 \cdot 5 = 100°$.
Ответ: $100°$.

3.

1. Примем первоначальную цену велосипеда за 100%.
2. После снижения цены на 30% новая цена стала составлять $100\% - 30\% = 70\%$ от первоначальной.
3. Известно, что эти 70% равны 6300 р. Пусть $x$ — первоначальная цена. Составим пропорцию:
$x$ р. — 100%
6300 р. — 70%
4. Найдём $x$:
$x = \frac{6300 \cdot 100}{70} = \frac{63000}{7} = 9000$ р.
Ответ: 9000 р.

4*.

1. Определим время прихода каждого на площадку. Полдень — это 12:00.
- Вася пришёл в 12:00.
- Маша пришла через 2 часа после Васи: $12:00 + 2:00 = 14:00$.
- Никита пришёл через 1,5 часа (1 час 30 минут) после Маши: $14:00 + 1:30 = 15:30$.
2. Определим, в какое время каждый ушёл с площадки.
- Вася играл 4 часа и ушёл в: $12:00 + 4:00 = 16:00$.
- Маша играла 3 часа и ушла в: $14:00 + 3:00 = 17:00$.
- Никита играл 2 часа и ушёл в: $15:30 + 2:00 = 17:30$.
3. Найдём промежуток времени, когда Маша и Никита были на площадке одновременно.
- Маша была на площадке с 14:00 до 17:00.
- Никита был на площадке с 15:30 до 17:30.
Они были вместе с момента прихода Никиты (15:30) и до момента ухода Маши (17:00).
4. Вычислим продолжительность этого времени:
$17:00 - 15:30 = 1$ час 30 минут, что равно 1,5 часа.
Ответ: 1,5 часа.