Страница 18, часть 1 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

1 а) Отметь на числовом луче множество чисел, которые одновременно больше 5 и меньше 10. Попробуй записать неравенство, множеством решений которого являются отмеченные числа. $5 < x < 10$

Что ты пока не знаешь?

Поставь перед собой цель и составь план.

б) Проверь свой вариант по учебнику, с. 11. Если нужно, исправь ошибки. Узнай, как записывают двойные неравенства. Сделай вывод.

а)

Сначала найдем числа, которые удовлетворяют обоим условиям: они должны быть одновременно больше 5 и меньше 10. Если мы посмотрим на числовой луч, то это числа, которые находятся между отметками 5 и 10.
Из целых чисел это: 6, 7, 8, 9.

На числовом луче это множество чисел можно отметить, заштриховав промежуток между 5 и 10. Точки 5 и 10 не включаются в множество, так как числа должны быть строго больше 5 и строго меньше 10. Такие точки на числовом луче обозначаются "выколотыми" или пустыми кружками.

Теперь попробуем записать неравенство. Обозначим искомые числа переменной $x$.
Условие "числа больше 5" записывается как $x > 5$.
Условие "числа меньше 10" записывается как $x < 10$.
Поскольку оба условия должны выполняться одновременно, мы можем объединить их в одно двойное неравенство: $5 < x < 10$.

Что ты пока не знаешь?
Я пока не знаю, как правильно записывать два условия (например, "больше а" и "меньше b") в виде одного неравенства.

Поставь перед собой цель и составь план.
Цель: Научиться записывать и понимать двойные неравенства.
План:
1. Изучить в учебнике, что такое двойное неравенство.
2. Понять, как оно читается и что означает.
3. Применить новые знания для решения этой задачи и проверить правильность своей записи.

Ответ: Множество чисел, которые одновременно больше 5 и меньше 10, — это все числа, находящиеся в промежутке между 5 и 10. Неравенство, описывающее это множество: $5 < x < 10$.

б)

Проверив информацию по учебнику, мы узнаем, что для записи множества чисел, находящихся между двумя другими числами, используются двойные неравенства.

Двойное неравенство вида $a < x < b$ означает, что число $x$ одновременно больше числа $a$ и меньше числа $b$.
В нашей задаче:

• $a = 5$
• $b = 10$

Следовательно, наш вариант $5 < x < 10$ является правильной записью. Читается это неравенство так: "икс больше пяти и меньше десяти".

Вывод:
Двойное неравенство — это удобный и краткий способ записи условия, при котором значение переменной ограничено с двух сторон (снизу и сверху). Оно объединяет в себе два простых неравенства.

Ответ: Двойные неравенства вида $a < x < b$ используются для обозначения множества чисел, которые одновременно больше $a$ и меньше $b$. Для данной задачи правильная запись — $5 < x < 10$.

2 Прочитай двойное неравенство. Замени его двумя неравенствами.

а) $10 < m \le 16$ и

б) $12 < n < 20$ и

в) $4 \le k \le 11$ и

г) $7 \le t < 13$ и

а)

Двойное неравенство $10 < m \le 16$ читается как: "m больше десяти и меньше или равно шестнадцати". Это означает, что значение $m$ должно удовлетворять двум условиям одновременно.

Первое условие получаем из левой части двойного неравенства: $10 < m$.

Второе условие получаем из правой части двойного неравенства: $m \le 16$.

Таким образом, двойное неравенство можно заменить двумя неравенствами, соединенными союзом "и".

Ответ: $10 < m$ и $m \le 16$.

б)

Двойное неравенство $12 < n < 20$ читается как: "n больше двенадцати и меньше двадцати". Это значит, что переменная $n$ одновременно строго больше $12$ и строго меньше $20$.

Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух неравенств:

Первое неравенство: $12 < n$.

Второе неравенство: $n < 20$.

Ответ: $12 < n$ и $n < 20$.

в)

Двойное неравенство $4 \le k \le 11$ читается как: "k больше или равно четырем и меньше или равно одиннадцати". Это условие можно разбить на два отдельных неравенства, которые должны выполняться одновременно.

Первое неравенство, из левой части: $4 \le k$.

Второе неравенство, из правой части: $k \le 11$.

Ответ: $4 \le k$ и $k \le 11$.

г)

Двойное неравенство $7 \le t < 13$ читается как: "t больше или равно семи и меньше тринадцати". Это означает, что переменная $t$ должна быть одновременно не меньше $7$ и строго меньше $13$.

Заменим это двойное неравенство двумя неравенствами:

Первое неравенство: $7 \le t$.

Второе неравенство: $t < 13$.

Ответ: $7 \le t$ и $t < 13$.

3 Запиши двойные неравенства:

а) x больше или равно 10 и меньше 15: $10 \le x < 15$

б) y больше 23 и меньше или равно 27: $23 < y \le 27$

в) z больше или равно 7 и меньше или равно 16: $7 \le z \le 16$

г) c больше 4 и меньше 7: $4 < c < 7$

а) Условие "x больше или равно 10" означает, что $x$ может быть равен 10 или любому числу, которое больше 10. Это записывается математически как $x \ge 10$. Условие "x меньше 15" означает, что $x$ должен быть строго меньше 15, что записывается как $x < 15$. Объединяя эти два условия в одно двойное неравенство, мы ставим $x$ между двумя числами. Слева ставится меньшее число (10), а справа — большее (15), с соответствующими знаками неравенства. Получаем: $10 \le x < 15$.
Ответ: $10 \le x < 15$

б) Условие "y больше 23" означает, что $y$ должен быть строго больше 23. Это записывается как $y > 23$. Условие "y меньше или равно 27" означает, что $y$ может быть равен 27 или любому числу, которое меньше 27. Это записывается как $y \le 27$. Совмещая эти условия в двойное неравенство, получаем, что $y$ находится в интервале от 23 до 27, не включая 23, но включая 27.
Ответ: $23 < y \le 27$

в) Условие "z больше или равно 7" записывается как $z \ge 7$. Условие "z меньше или равно 16" записывается как $z \le 16$. В этом случае переменная $z$ может принимать значения от 7 до 16 включительно. Объединяя эти два нестрогих неравенства, получаем двойное неравенство, где $z$ находится между 7 и 16, включая оба этих числа.
Ответ: $7 \le z \le 16$

г) Условие "c больше 4" записывается как $c > 4$. Условие "c меньше 7" записывается как $c < 7$. Оба неравенства строгие. Это означает, что переменная $c$ принимает значения, которые находятся строго между 4 и 7, не включая сами числа 4 и 7. Объединяем их в одно двойное неравенство.
Ответ: $4 < c < 7$

4 Прочитай неравенства. Отметь на числовом луче и запиши с помощью фигурных скобок множества их решений. Что ты замечаешь?

$1 < x < 6$ {}

$2 \le x \le 5$ {}

$1 < x < 6$

Это двойное строгое неравенство. Оно означает, что $x$ должен быть строго больше 1 и строго меньше 6. Если мы ищем целочисленные решения, то это будут все целые числа, которые находятся между 1 и 6, не включая сами числа 1 и 6.

Перечислим эти числа: 2, 3, 4, 5.

На числовом луче нужно отметить точки, соответствующие этим числам.

Множество решений в фигурных скобках записывается так: {2, 3, 4, 5}.

Ответ: {2, 3, 4, 5}

$2 \le x \le 5$

Это двойное нестрогое неравенство. Оно означает, что $x$ должен быть больше или равен 2 и меньше или равен 5. В этом случае граничные числа 2 и 5 включаются в множество решений.

Перечислим целочисленные решения: 2, 3, 4, 5.

На числовом луче нужно отметить точки, соответствующие этим числам.

Множество решений в фигурных скобках записывается так: {2, 3, 4, 5}.

Ответ: {2, 3, 4, 5}

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что хотя неравенства $1 < x < 6$ и $2 \le x \le 5$ записаны по-разному, множества их целочисленных решений полностью совпадают. В обоих случаях решением является множество чисел {2, 3, 4, 5}.

5 Напиши 4 двойных неравенства, множество решений которых отмечено на числовом луче:

На числовом луче отмечено множество целых чисел: {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Это означает, что искомое число, которое мы можем обозначить переменной $x$, должно быть не меньше 3 и не больше 8. Двойное неравенство как раз и позволяет записать это условие. Существует несколько способов записать такое неравенство.

Первое неравенство

Запишем неравенство, используя знаки "меньше или равно" ($ \le $) и "больше или равно" ($ \ge $). Наименьшее значение в множестве — 3, а наибольшее — 8. Значит, $x$ должен быть больше или равен 3 и меньше или равен 8.

Ответ: $3 \le x \le 8$

Второе неравенство

Теперь используем знаки строгого неравенства "меньше" ($ < $) и "больше" ($ > $). Чтобы включить число 3, переменная $x$ должна быть строго больше предыдущего целого числа, то есть 2. Чтобы включить число 8, переменная $x$ должна быть строго меньше следующего целого числа, то есть 9.

Ответ: $2 < x < 9$

Третье неравенство

Можно скомбинировать строгий и нестрогий знаки. Например, левую границу зададим нестрого, а правую — строго. Переменная $x$ больше или равна 3, но при этом строго меньше 9.

Ответ: $3 \le x < 9$

Четвертое неравенство

Другой вариант комбинации знаков: левую границу зададим строго, а правую — нестрого. Переменная $x$ строго больше 2 и при этом меньше или равна 8.

Ответ: $2 < x \le 8$

6 Запиши множество трёхзначных чисел, сумма цифр которых равна 4 и при делении которых на 4 получается остаток 2.

Для решения этой задачи необходимо найти все числа, соответствующие трём условиям:

1. Число является трёхзначным.
2. Сумма его цифр равна 4.
3. При делении на 4 оно даёт остаток 2.

Будем решать задачу по шагам.

Шаг 1. Найдём все трёхзначные числа, сумма цифр которых равна 4.

Пусть искомое число состоит из цифр $a, b, c$, где $a$ – цифра в разряде сотен, $b$ – в разряде десятков, $c$ – в разряде единиц. По условию, $a + b + c = 4$. Поскольку число трёхзначное, цифра сотен $a$ не может быть равна нулю, то есть $a \ge 1$. Перечислим все возможные комбинации цифр и составим из них числа:

• Если первая цифра $a=4$, то $b+c=0$, откуда $b=0$ и $c=0$. Получаем число 400.
• Если первая цифра $a=3$, то $b+c=1$. Возможны комбинации (3, 1, 0) и (3, 0, 1). Получаем числа 310 и 301.
• Если первая цифра $a=2$, то $b+c=2$. Возможны комбинации (2, 2, 0), (2, 0, 2) и (2, 1, 1). Получаем числа 220, 202 и 211.
• Если первая цифра $a=1$, то $b+c=3$. Возможны комбинации (1, 3, 0), (1, 0, 3), (1, 2, 1), (1, 1, 2). Получаем числа 130, 103, 121 и 112.

Таким образом, мы получили следующий список всех трёхзначных чисел, у которых сумма цифр равна 4: 103, 112, 121, 130, 202, 211, 220, 301, 310, 400.

Шаг 2. Проверим, какие из этих чисел при делении на 4 дают в остатке 2.

Чтобы проверить это условие, можно воспользоваться свойством делимости: остаток от деления числа на 4 равен остатку от деления на 4 числа, образованного двумя последними цифрами исходного числа.

• 103: проверяем число 03 (т.е. 3). $3 \div 4 = 0$ (остаток 3). Не подходит.
• 112: проверяем число 12. $12 \div 4 = 3$ (остаток 0). Не подходит.
• 121: проверяем число 21. $21 \div 4 = 5$ (остаток 1). Не подходит.
• 130: проверяем число 30. $30 \div 4 = 7$ (остаток 2). Подходит.
• 202: проверяем число 02 (т.е. 2). $2 \div 4 = 0$ (остаток 2). Подходит.
• 211: проверяем число 11. $11 \div 4 = 2$ (остаток 3). Не подходит.
• 220: проверяем число 20. $20 \div 4 = 5$ (остаток 0). Не подходит.
• 301: проверяем число 01 (т.е. 1). $1 \div 4 = 0$ (остаток 1). Не подходит.
• 310: проверяем число 10. $10 \div 4 = 2$ (остаток 2). Подходит.
• 400: проверяем число 00 (т.е. 0). $0 \div 4 = 0$ (остаток 0). Не подходит.

Шаг 3. Формирование итогового множества.

В результате проверки мы выяснили, что заданным условиям удовлетворяют три числа: 130, 202 и 310. Запишем их в виде множества, как требуется в задании.

Ответ: $\{130, 202, 310\}$.

3 Заполни пропуски:

$\boxed{\frac{11}{14}} \xrightarrow{-\frac{2}{14}} \boxed{\quad} \xrightarrow{+\frac{5}{14}} \boxed{\quad} \xrightarrow{\boxed{\quad}} \boxed{\frac{7}{14}} \xrightarrow{\boxed{\quad}} \boxed{\frac{1}{14}}$

$\boxed{?}$

Для решения этой задачи нужно последовательно выполнить вычисления, двигаясь слева направо по цепочке, и определить недостающие числа и операции.

Первый пропуск

Начальное число в цепочке — $\frac{11}{14}$. Первое действие — вычитание $\frac{2}{14}$. Чтобы найти число в первом пустом квадрате, нужно выполнить это вычитание.

$\frac{11}{14} - \frac{2}{14} = \frac{11-2}{14} = \frac{9}{14}$

Ответ: $\frac{9}{14}$

Второй пропуск

Теперь к числу, полученному на предыдущем шаге ($\frac{9}{14}$), нужно применить второе действие — сложение с $\frac{5}{14}$.

$\frac{9}{14} + \frac{5}{14} = \frac{9+5}{14} = \frac{14}{14}$

Ответ: $\frac{14}{14}$

Третий пропуск (синий квадрат)

На этом шаге нам известно число до операции ($\frac{14}{14}$) и число после нее ($\frac{7}{14}$). Нам нужно найти саму операцию. Поскольку $\frac{7}{14}$ меньше, чем $\frac{14}{14}$, операция — это вычитание. Найдем разность, чтобы определить, какое число вычитается.

$\frac{14}{14} - \frac{7}{14} = \frac{14 - 7}{14} = \frac{7}{14}$

Значит, пропущенная операция — это вычитание $\frac{7}{14}$.

Ответ: $-\frac{7}{14}$

Четвертый пропуск (синий квадрат)

Аналогично предыдущему шагу, нам известно число до операции ($\frac{7}{14}$) и после нее ($\frac{1}{14}$). Найдем разность, чтобы определить операцию.

$\frac{7}{14} - \frac{1}{14} = \frac{7 - 1}{14} = \frac{6}{14}$

Пропущенная операция — это вычитание $\frac{6}{14}$.

Ответ: $-\frac{6}{14}$

Квадрат со знаком вопроса

Последний квадрат со знаком вопроса, на который смотрит персонаж, является итоговым. В него следует вписать конечный результат всей цепочки вычислений, который указан в последнем квадрате цепочки.

Ответ: $\frac{1}{14}$

4. $A = \left\{2\frac{2}{3}; 6\frac{3}{4}; 2\frac{9}{10}; 2\frac{2}{11}\right\}$. Составь подмножество B множества A чисел, являющихся решениями неравенства $5 < x \le 9$.

$B = \{\quad\}$

Дано множество чисел $A = \{2\frac{2}{3}; 6\frac{3}{4}; 2\frac{9}{10}; 2\frac{2}{11}\}$. Требуется найти его подмножество $B$, элементы которого являются решениями неравенства $5 < x \le 9$.

Для этого необходимо проверить каждый элемент множества $A$ на соответствие данному неравенству.

1. Проверим число $2\frac{2}{3}$.
Сравним его с 5. Так как $2\frac{2}{3} < 5$, условие $5 < x$ не выполняется. Следовательно, $2\frac{2}{3}$ не является решением неравенства.

2. Проверим число $6\frac{3}{4}$.
Сравним его с 5. Так как $6\frac{3}{4} > 5$, первое условие $5 < x$ выполняется.
Теперь сравним его с 9. Так как $6\frac{3}{4} \le 9$, второе условие $x \le 9$ также выполняется.
Поскольку оба условия истинны, число $6\frac{3}{4}$ является решением неравенства.

3. Проверим число $2\frac{9}{10}$.
Сравним его с 5. Так как $2\frac{9}{10} < 5$, условие $5 < x$ не выполняется. Следовательно, $2\frac{9}{10}$ не является решением неравенства.

4. Проверим число $2\frac{2}{11}$.
Сравним его с 5. Так как $2\frac{2}{11} < 5$, условие $5 < x$ не выполняется. Следовательно, $2\frac{2}{11}$ не является решением неравенства.

Таким образом, из всех элементов множества $A$ только число $6\frac{3}{4}$ удовлетворяет неравенству $5 < x \le 9$. Это число и составит подмножество $B$.

Ответ: $B = \{6\frac{3}{4}\}$

5 а) Запиши проценты в виде дробей со знаменателем 100:

1% =

10% =

100% =

200% =

5% =

38% =

104% =

260% =

б) Из полученных дробей выпиши:

правильные дроби:

неправильные дроби:

Обведи неправильные дроби, которые являются натуральными числами.

а) Запиши проценты в виде дробей со знаменателем 100:

По определению, процент — это сотая часть числа. Чтобы представить процент в виде дроби со знаменателем 100, нужно число процентов записать в числитель, а число 100 — в знаменатель.

$1\% = \frac{1}{100}$
$5\% = \frac{5}{100}$
$10\% = \frac{10}{100}$
$38\% = \frac{38}{100}$
$100\% = \frac{100}{100}$
$104\% = \frac{104}{100}$
$200\% = \frac{200}{100}$
$260\% = \frac{260}{100}$

б) Из полученных дробей выпиши:

правильные дроби:

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. В нашем списке дробей со знаменателем 100 нам нужно найти те, у которых числитель меньше 100.

Такими дробями являются: $\frac{1}{100}$, $\frac{5}{100}$, $\frac{10}{100}$ и $\frac{38}{100}$.

Ответ: $\frac{1}{100}, \frac{5}{100}, \frac{10}{100}, \frac{38}{100}$.

неправильные дроби:

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. В нашем списке дробей ищем те, у которых числитель больше или равен 100.

Такими дробями являются: $\frac{100}{100}$, $\frac{104}{100}$, $\frac{200}{100}$ и $\frac{260}{100}$.

Ответ: $\frac{100}{100}, \frac{104}{100}, \frac{200}{100}, \frac{260}{100}$.

Обведи неправильные дроби, которые являются натуральными числами.

Натуральные числа — это числа, которые используются для счета предметов (1, 2, 3, ...). Дробь является натуральным числом, если её числитель делится на знаменатель без остатка. Проверим каждую из полученных неправильных дробей:

$\frac{100}{100} = 100 \div 100 = 1$. Число 1 — натуральное.

$\frac{104}{100} = 1.04$. Это десятичная дробь, а не натуральное число.

$\frac{200}{100} = 200 \div 100 = 2$. Число 2 — натуральное.

$\frac{260}{100} = 2.6$. Это десятичная дробь, а не натуральное число.

Следовательно, натуральными числами являются дроби $\frac{100}{100}$ и $\frac{200}{100}$.

Ответ: $\frac{100}{100}, \frac{200}{100}$.

Одни часы спешат на 25 мин и показывают 7 ч 50 мин. Какое время показывают другие часы, которые отстают на 15 мин?

Для решения этой задачи необходимо сначала найти точное время, а затем рассчитать время на вторых, отстающих, часах.

1. Находим точное время. Первые часы спешат на 25 минут, показывая 7 ч 50 мин. Это означает, что для определения точного времени нужно вычесть 25 минут из показаний этих часов.

$7 \text{ ч } 50 \text{ мин } - 25 \text{ мин } = 7 \text{ ч } 25 \text{ мин }$

Таким образом, точное время — 7 часов 25 минут.

2. Находим время на вторых часах. Вторые часы отстают на 15 минут от точного времени. Чтобы найти, какое время они показывают, нужно вычесть 15 минут из точного времени.

$7 \text{ ч } 25 \text{ мин } - 15 \text{ мин } = 7 \text{ ч } 10 \text{ мин }$

Следовательно, вторые часы показывают 7 часов 10 минут.

Ответ: 7 ч 10 мин

1. Отложи от луча OA угол, равный 45°. Найди два решения.

2. Построй угол, если известно, что $\frac{4}{5}$ его величины составляют 120°.

3. Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми равно 750 км. Скорость первого автомобиля 64 км/ч. Через 2 ч после выезда автомобилей расстояние между ними уменьшилось до 450 км. С какой скоростью ехал второй автомобиль?

4*. В классе $d$ учеников. $\frac{5}{9}$ из них девочки, а треть мальчиков носят очки. Сколько мальчиков носят очки?

1. Угол можно отложить по любую сторону от луча OA. Для этого нужно приложить транспортир центром к точке O, а его нулевую отметку совместить с лучом OA. Затем найти на шкале транспортира деление 45° и поставить точку. Соединив точку O с этой новой точкой, мы получим угол 45°. Поскольку это можно сделать как "вверх", так и "вниз" от луча OA (то есть по часовой стрелке и против часовой стрелки), существует два решения.

Ответ: можно построить два разных угла по 45°, отложив их в разные полуплоскости относительно луча OA.

2. Пусть величина искомого угла равна $x$. По условию задачи, $\frac{4}{5}$ его величины составляют 120°. Составим уравнение:

$\frac{4}{5} \cdot x = 120°$

Чтобы найти всю величину угла ($x$), нужно известную часть (120°) разделить на долю, которую она составляет ($\frac{4}{5}$):

$x = 120 \div \frac{4}{5} = 120 \cdot \frac{5}{4} = \frac{120 \cdot 5}{4} = 30 \cdot 5 = 150°$

Для построения угла в 150° нужно начертить луч, приложить к его началу центр транспортира, совместить нулевую отметку с лучом, найти на шкале отметку 150° и провести второй луч из той же начальной точки через эту отметку.

Ответ: величина искомого угла равна 150°.

3. Решим задачу по действиям:

1. Найдем, на какое расстояние автомобили сблизились за 2 часа. Изначально между ними было 750 км, а стало 450 км.

$750 - 450 = 300$ (км) – общее расстояние, которое проехали оба автомобиля навстречу друг другу за 2 часа.

2. Найдем общую скорость сближения автомобилей. Для этого разделим пройденное ими расстояние на время в пути.

$300 \div 2 = 150$ (км/ч) – скорость сближения автомобилей.

3. Скорость сближения равна сумме скоростей двух автомобилей. Зная скорость сближения и скорость первого автомобиля (64 км/ч), найдем скорость второго автомобиля.

$150 - 64 = 86$ (км/ч) – скорость второго автомобиля.

Ответ: 86 км/ч.

4*. Решим задачу в общем виде:

1. Найдем, какую часть от всех учеников в классе составляют мальчики. Если девочки составляют $\frac{5}{9}$ всех учеников, то мальчики составляют оставшуюся часть. Примем всех учеников за 1.

$1 - \frac{5}{9} = \frac{9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$ (часть) – составляют мальчики от всего класса.

2. Найдем количество мальчиков в классе. Всего учеников $d$, а мальчики составляют $\frac{4}{9}$ от этого количества.

Количество мальчиков: $\frac{4}{9} \cdot d = \frac{4d}{9}$.

3. По условию, треть ($\frac{1}{3}$) мальчиков носят очки. Найдем количество мальчиков в очках, взяв $\frac{1}{3}$ от их общего числа.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4d}{9} = \frac{1 \cdot 4d}{3 \cdot 9} = \frac{4d}{27}$ (мальчиков) – носят очки.

Ответ: $\frac{4d}{27}$ мальчиков носят очки.