Страница 23, часть 1 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Найди границы, в которых заключены следующие разности:

a) $800 - \overset{\text{б}}{\text{____}} < 814 - 495 < \overset{\text{м}}{\text{____}} - 400$

$\overset{\text{м}}{\text{____}} < 814 - 495 < \overset{\text{б}}{\text{____}}$

б) $\overset{\text{м}}{\text{____}} - 6000 < 8431 - 5897 < 9000 - \overset{\text{б}}{\text{____}}$

$\overset{\text{м}}{\text{____}} < 8431 - 5897 < \overset{\text{б}}{\text{____}}$

а) Чтобы найти границы разности $814 - 495$, необходимо оценить её значение сверху и снизу, используя округление.

1. Для нахождения нижней границы (левая часть неравенства) уменьшаемое ($814$) округляют в меньшую сторону, а вычитаемое ($495$) — в большую. В задании уменьшаемое уже заменено на $800$. Округлим вычитаемое $495$ до ближайшего большего круглого числа — $500$.
Нижняя граница будет равна: $800 - 500 = 300$.

2. Для нахождения верхней границы (правая часть неравенства) уменьшаемое ($814$) округляют в большую сторону, а вычитаемое ($495$) — в меньшую. В задании вычитаемое уже заменено на $400$. Округлим уменьшаемое $814$ до ближайшего большего круглого числа — $900$.
Верхняя граница будет равна: $900 - 400 = 500$.

Теперь заполним пропуски в задании:
Первая строка: $800 - 500 < 814 - 495 < 900 - 400$.
Вторая строка (результаты вычислений): $300 < 814 - 495 < 500$.
Проверка: точное значение разности $814 - 495 = 319$. Неравенство $300 < 319 < 500$ является верным.

Ответ:
$800 - 500 < 814 - 495 < 900 - 400$
$300 < 814 - 495 < 500$

б) Аналогично найдём границы для разности $8431 - 5897$, округляя числа до тысяч.

1. Для нахождения нижней границы уменьшаемое ($8431$) округляем в меньшую сторону, а вычитаемое ($5897$) — в большую. В задании вычитаемое уже заменено на $6000$. Округлим уменьшаемое $8431$ до ближайшего меньшего круглого числа — $8000$.
Нижняя граница будет равна: $8000 - 6000 = 2000$.

2. Для нахождения верхней границы уменьшаемое ($8431$) округляем в большую сторону, а вычитаемое ($5897$) — в меньшую. В задании уменьшаемое уже заменено на $9000$. Округлим вычитаемое $5897$ до ближайшего меньшего круглого числа — $5000$.
Верхняя граница будет равна: $9000 - 5000 = 4000$.

Теперь заполним пропуски в задании:
Первая строка: $8000 - 6000 < 8431 - 5897 < 9000 - 5000$.
Вторая строка (результаты вычислений): $2000 < 8431 - 5897 < 4000$.
Проверка: точное значение разности $8431 - 5897 = 2534$. Неравенство $2000 < 2534 < 4000$ является верным.

Ответ:
$8000 - 6000 < 8431 - 5897 < 9000 - 5000$
$2000 < 8431 - 5897 < 4000$

2. Сделай оценку разностей. Проверь свой результат, вычислив разности.

a) $\Box - \Box < 923 - 379 < \Box - \Box$

$\Box < 923 - 379 < \Box$

б) $\Box - \Box < 5243 - 1497 < \Box - \Box$

$\Box < 5243 - 1497 < \Box$

а)

Чтобы сделать оценку разности $923 - 379$, необходимо найти "вилку" – два числа, между которыми находится точное значение разности. Для этого округлим уменьшаемое и вычитаемое до сотен. Чтобы найти нижнюю границу, мы из наименьшего возможного уменьшаемого вычитаем наибольшее возможное вычитаемое. Чтобы найти верхнюю границу, мы из наибольшего возможного уменьшаемого вычитаем наименьшее возможное вычитаемое.

• Нижняя граница: Округляем $923$ в меньшую сторону до сотен ($900$) и $379$ в большую сторону до сотен ($400$). Получаем $900 - 400 = 500$.
• Верхняя граница: Округляем $923$ в большую сторону до сотен ($1000$) и $379$ в меньшую сторону до сотен ($300$). Получаем $1000 - 300 = 700$.

Таким образом, наша оценка выглядит так:

$900 - 400 < 923 - 379 < 1000 - 300$

$500 < 923 - 379 < 700$

Теперь выполним точное вычисление для проверки:

$923 - 379 = 544$

Проверяем, попадает ли наш результат в полученный интервал: $500 < 544 < 700$. Неравенство верно, значит, оценка сделана правильно.

Ответ:

$900 - 400 < 923 - 379 < 1000 - 300$

$500 < 923 - 379 < 700$

Точный результат: $544$.

б)

Аналогично сделаем оценку разности $5243 - 1497$, округляя числа до тысяч.

• Нижняя граница: Округляем $5243$ в меньшую сторону до тысяч ($5000$) и $1497$ в большую сторону до тысяч ($2000$). Получаем $5000 - 2000 = 3000$.
• Верхняя граница: Округляем $5243$ в большую сторону до тысяч ($6000$) и $1497$ в меньшую сторону до тысяч ($1000$). Получаем $6000 - 1000 = 5000$.

Таким образом, наша оценка выглядит так:

$5000 - 2000 < 5243 - 1497 < 6000 - 1000$

$3000 < 5243 - 1497 < 5000$

Теперь выполним точное вычисление для проверки:

$5243 - 1497 = 3746$

Проверяем, попадает ли наш результат в полученный интервал: $3000 < 3746 < 5000$. Неравенство верно, значит, оценка сделана правильно.

Ответ:

$5000 - 2000 < 5243 - 1497 < 6000 - 1000$

$3000 < 5243 - 1497 < 5000$

Точный результат: $3746$.

3 Маршрут от Москвы до Иркутска через Новосибирск составляет 5255 км. Расстояние от Новосибирска до Иркутска равно 1849 км. Сделай оценку расстояния от Москвы до Новосибирска.

Москва Новосибирск Иркутск

$\Box - \Box < \Box - \Box < \Box - \Box$

$\Box - \Box < \Box - \Box$

Для решения задачи необходимо сначала найти точное расстояние от Москвы до Новосибирска, а затем сделать его оценку с помощью округления.

1. Найдём точное расстояние от Москвы до Новосибирска.

Чтобы найти расстояние на одном из участков пути, нужно из общей длины маршрута вычесть длину известного участка.

Общее расстояние (Москва → Иркутск): $5255$ км.

Расстояние от Новосибирска до Иркутска: $1849$ км.

Расстояние от Москвы до Новосибирска равно:

$5255 - 1849 = 3406$ км.

Ответ: 3406 км.

2. Сделаем оценку расстояния.

Для оценки используется метод границ ("вилка"). Мы находим приближенное значение, которое будет меньше точного (нижняя граница), и значение, которое будет больше точного (верхняя граница). Для этого округлим исходные числа до сотен.

Нижняя граница:

Чтобы получить наименьшую возможную разность, нужно из наименьшего возможного уменьшаемого вычесть наибольшее возможное вычитаемое.

• Округляем общее расстояние $5255$ км в меньшую сторону: $5200$ км.
• Округляем расстояние до Иркутска $1849$ км в большую сторону: $1900$ км.

$5200 - 1900 = 3300$ км.

Верхняя граница:

Чтобы получить наибольшую возможную разность, нужно из наибольшего возможного уменьшаемого вычесть наименьшее возможное вычитаемое.

• Округляем общее расстояние $5255$ км в большую сторону: $5300$ км.
• Округляем расстояние до Иркутска $1849$ км в меньшую сторону: $1800$ км.

$5300 - 1800 = 3500$ км.

Теперь мы можем записать двойное неравенство, которое соответствует пустым полям в задании:

$5200 - 1900 < 5255 - 1849 < 5300 - 1800$

И результат вычислений:

$3300 < 3406 < 3500$

Ответ: Оценка расстояния от Москвы до Новосибирска составляет от 3300 км до 3500 км.

4 Прочитай неравенства и запиши множества их решений:

а) $x > 8$

б) $y \le 5$

в) $1 \le k < 6$

а) $x > 8$

Данное неравенство читается как "икс строго больше восьми". Это означает, что решением являются все числа, которые больше 8, не включая само число 8. Если рассматривать решения в множестве целых чисел, то это будут все целые числа, начиная с 9.
Ответ: $\{9, 10, 11, 12, ...\}$

б) $y \le 5$

Данное неравенство читается как "игрек меньше или равен пяти". Это означает, что решением являются все числа, которые не превышают 5, включая и само число 5. Множеством целых решений будет бесконечная последовательность чисел, заканчивающаяся числом 5.
Ответ: $\{..., 3, 4, 5\}$

в) $1 \le k < 6$

Данное двойное неравенство читается как "k больше или равно единице и строго меньше шести". Это означает, что решением являются все числа, которые находятся в промежутке от 1 (включительно) до 6 (не включительно). Множеством целых чисел, удовлетворяющих этому условию, является конечный набор чисел.
Ответ: $\{1, 2, 3, 4, 5\}$

5 Сделай оценку суммы:

a) $\quad + \quad + \quad < 148 + 679 + 835 < \quad + \quad + \quad$

$\quad < 148 + 679 + 835 < \quad$

б) $\quad + \quad + \quad < 716 + 437 + 964 < \quad + \quad + \quad$

$\quad < 716 + 437 + 964 < \quad$

а)

Чтобы сделать оценку суммы $148 + 679 + 835$, найдем ее нижнюю и верхнюю границы. Для этого округлим каждое слагаемое до сотен в меньшую и большую сторону.

1. Оценка снизу (нижняя граница):
Округлим каждое слагаемое в меньшую сторону до сотен:
$148 > 100$
$679 > 600$
$835 > 800$
Сложив эти значения, получим нижнюю границу для суммы:
$100 + 600 + 800 = 1500$
Следовательно, $1500 < 148 + 679 + 835$.

2. Оценка сверху (верхняя граница):
Округлим каждое слагаемое в большую сторону до сотен:
$148 < 200$
$679 < 700$
$835 < 900$
Сложив эти значения, получим верхнюю границу для суммы:
$200 + 700 + 900 = 1800$
Следовательно, $148 + 679 + 835 < 1800$.

Объединив обе оценки, получаем искомое двойное неравенство. Для проверки можно найти точное значение суммы: $148 + 679 + 835 = 1662$. Наша оценка верна, так как $1500 < 1662 < 1800$.

Ответ:
$100 + 600 + 800 < 148 + 679 + 835 < 200 + 700 + 900$
$1500 < 148 + 679 + 835 < 1800$

б)

Чтобы сделать оценку суммы $716 + 437 + 964$, найдем ее нижнюю и верхнюю границы, используя метод округления слагаемых до сотен.

1. Оценка снизу (нижняя граница):
Округлим каждое слагаемое в меньшую сторону до сотен:
$716 > 700$
$437 > 400$
$964 > 900$
Сложим полученные значения:
$700 + 400 + 900 = 2000$
Таким образом, $2000 < 716 + 437 + 964$.

2. Оценка сверху (верхняя граница):
Округлим каждое слагаемое в большую сторону до сотен:
$716 < 800$
$437 < 500$
$964 < 1000$
Сложим полученные значения:
$800 + 500 + 1000 = 2300$
Таким образом, $716 + 437 + 964 < 2300$.

Объединив обе оценки, получаем двойное неравенство. Для проверки можно найти точное значение суммы: $716 + 437 + 964 = 2117$. Наша оценка верна, так как $2000 < 2117 < 2300$.

Ответ:
$700 + 400 + 900 < 716 + 437 + 964 < 800 + 500 + 1000$
$2000 < 716 + 437 + 964 < 2300$

1. Выдели целую часть из неправильной дроби:

$\frac{9}{5}=$ _____ $\frac{7}{7}=$ _____ $\frac{14}{3}=$ _____ $\frac{32}{4}=$ _____

$\frac{9}{5}=$
Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, нужно разделить числитель на знаменатель с остатком.
Делим 9 на 5: $9 \div 5 = 1$ (остаток $4$).
Неполное частное (1) становится целой частью. Остаток от деления (4) становится числителем дробной части, а знаменатель (5) остается прежним.
Таким образом, получаем смешанное число: $\frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$.
Ответ: $1\frac{4}{5}$

$\frac{7}{7}=$
Для выделения целой части разделим числитель на знаменатель.
$7 \div 7 = 1$.
Поскольку числитель равен знаменателю, дробь равна единице. Остаток от деления равен 0, поэтому дробная часть отсутствует.
Таким образом, $\frac{7}{7} = 1$.
Ответ: $1$

$\frac{14}{3}=$
Чтобы выделить целую часть из дроби $\frac{14}{3}$, разделим числитель 14 на знаменатель 3 с остатком.
$14 \div 3 = 4$ (остаток $2$), так как $3 \cdot 4 = 12$, и $14 - 12 = 2$.
Целая часть равна неполному частному, то есть 4. Остаток 2 становится новым числителем, а знаменатель 3 сохраняется.
В результате получаем: $\frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$.
Ответ: $4\frac{2}{3}$

$\frac{32}{4}=$
Для выделения целой части из дроби $\frac{32}{4}$ необходимо разделить числитель 32 на знаменатель 4.
$32 \div 4 = 8$.
Деление выполняется без остатка (остаток равен 0). Это означает, что данная дробь равна целому числу.
Следовательно, $\frac{32}{4} = 8$.
Ответ: $8$

$\frac{4}{6} + 1\frac{5}{6} = $

$3\frac{6}{8} + \frac{2}{8} = $

$2\frac{8}{9} + 5\frac{4}{9} = $

Общее во всех представленных выражениях заключается в том, что это операции сложения дробей, и в каждом выражении у слагаемых одинаковые знаменатели (в первом примере — 6, во втором — 8, в третьем — 9).

$\frac{4}{6} + 1\frac{5}{6}$

Для вычисления этой суммы сложим целые и дробные части отдельно. У числа $\frac{4}{6}$ целая часть равна 0.

1. Складываем целые части: $0 + 1 = 1$.

2. Складываем дробные части: $\frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{4+5}{6} = \frac{9}{6}$.

3. Получилась неправильная дробь $\frac{9}{6}$. Преобразуем ее в смешанное число, выделив целую часть: $\frac{9}{6} = 1\frac{3}{6}$.

4. Складываем результат сложения целых частей и результат сложения дробных частей: $1 + 1\frac{3}{6} = 2\frac{3}{6}$.

5. Сократим дробную часть. Числитель и знаменатель дроби $\frac{3}{6}$ делятся на 3: $\frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, итоговый результат $2\frac{1}{2}$.

Ответ: $2\frac{1}{2}$

$3\frac{6}{8} + \frac{2}{8}$

Складываем отдельно целые и дробные части.

1. Складываем целые части: $3 + 0 = 3$.

2. Складываем дробные части: $\frac{6}{8} + \frac{2}{8} = \frac{6+2}{8} = \frac{8}{8}$.

3. Дробь $\frac{8}{8}$ равна 1, так как числитель равен знаменателю.

4. Складываем полученные результаты: $3 + 1 = 4$.

Ответ: $4$

$2\frac{8}{9} + 5\frac{4}{9}$

Складываем отдельно целые и дробные части.

1. Складываем целые части: $2 + 5 = 7$.

2. Складываем дробные части: $\frac{8}{9} + \frac{4}{9} = \frac{8+4}{9} = \frac{12}{9}$.

3. Преобразуем неправильную дробь $\frac{12}{9}$ в смешанное число: $\frac{12}{9} = 1\frac{3}{9}$.

4. Складываем результаты: $7 + 1\frac{3}{9} = 8\frac{3}{9}$.

5. Сократим дробную часть $\frac{3}{9}$ на 3: $\frac{3 \div 3}{9 \div 3} = \frac{1}{3}$.

Таким образом, итоговый результат $8\frac{1}{3}$.

Ответ: $8\frac{1}{3}$

Особенность всех полученных сумм состоит в том, что при сложении дробных частей получается дробь, которая больше или равна единице ($\frac{9}{6} > 1$, $\frac{8}{8} = 1$, $\frac{12}{9} > 1$). Это приводит к тому, что целая часть итогового ответа увеличивается как минимум на 1 по сравнению с простой суммой исходных целых частей. Такой процесс называется "сложение с переходом через единицу". Во втором примере результат получился целым числом, потому что сумма дробных частей оказалась в точности равна 1.

3 а) Вычисли суммы. Попробуй записать их так, чтобы в ответе не было неправильных дробей.

$2\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \_$ $1\frac{3}{5} + 1\frac{4}{5} = \_$

Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план.

б) Используя рисунки, допиши числовые равенства. Сделай вывод.

$2\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 2\frac{\boxed{\phantom{X}}}{4} = \boxed{\phantom{X}}$

$1\frac{3}{5} + 1\frac{4}{5} = 2\frac{\boxed{\phantom{X}}}{5} = \boxed{\phantom{X}}$

Проверь себя по учебнику, с. 38. Если нужно, исправь ошибки.

a)

Вычисление сумм:
Для первого примера $2\frac{1}{4} + \frac{3}{4}$:
Складываем дробные части: $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{1+3}{4} = \frac{4}{4}$.
Дробь $\frac{4}{4}$ равна 1.
Прибавляем полученную единицу к целой части: $2 + 1 = 3$.
Таким образом, $2\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 3$.

Для второго примера $1\frac{3}{5} + 1\frac{4}{5}$:
Складываем целые части: $1 + 1 = 2$.
Складываем дробные части: $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{3+4}{5} = \frac{7}{5}$.
Дробная часть $\frac{7}{5}$ является неправильной дробью. Необходимо выделить из нее целую часть: $\frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$.
Теперь складываем полученные целые части и оставшуюся дробь: $2 + 1\frac{2}{5} = 3\frac{2}{5}$.
Таким образом, $1\frac{3}{5} + 1\frac{4}{5} = 3\frac{2}{5}$.

Ответ на вопрос "Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план.":

Что я пока не знаю: Я еще не полностью понимаю, как действовать, когда при сложении смешанных чисел сумма их дробных частей оказывается неправильной дробью (числитель больше знаменателя).

Цель: Научиться алгоритму сложения смешанных чисел, когда сумма дробных частей равна или больше единицы.

План:
1. Сложить целые части.
2. Сложить дробные части.
3. Если в результате сложения дробных частей получилась неправильная дробь, выделить из нее целую часть.
4. Прибавить эту целую часть к сумме целых частей.
5. Записать окончательный ответ.

Ответ: $2\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 3$; $1\frac{3}{5} + 1\frac{4}{5} = 3\frac{2}{5}$. Цель — научиться складывать смешанные числа, когда сумма их дробных частей является неправильной дробью. План состоит из последовательного сложения целых и дробных частей с последующим преобразованием неправильной дроби в смешанное число и добавлением целой части к результату.

б)

Заполняем числовые равенства, используя рисунки:
1) Первый рисунок иллюстрирует сложение $2\frac{1}{4} + \frac{3}{4}$. К двум целым кругам и четверти круга добавляются три четверти. Вместе четыре четверти ($\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4}$) образуют еще один целый круг. В результате получается $2 + 1 = 3$ целых круга.
$2\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 2\frac{4}{4} = 3$

2) Второй рисунок иллюстрирует сложение $1\frac{3}{5} + 1\frac{4}{5}$. К одному целому пятиугольнику и $\frac{3}{5}$ добавляют еще один целый пятиугольник и $\frac{4}{5}$. Сложив целые фигуры, получаем 2. Сложив части, получаем $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5}$. Дробь $\frac{7}{5}$ — это один целый пятиугольник ($\frac{5}{5}$) и еще $\frac{2}{5}$. В итоге получаем $2$ целых + $1$ целый и $\frac{2}{5}$, что равно $3\frac{2}{5}$.
$1\frac{3}{5} + 1\frac{4}{5} = 2\frac{7}{5} = 3\frac{2}{5}$

Вывод:
При сложении смешанных чисел нужно отдельно складывать их целые и дробные части. Если при сложении дробных частей получается неправильная дробь, из нее необходимо выделить целую часть и прибавить ее к сумме целых частей.

Ответ:
$2\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 2\frac{4}{4} = 3$
$1\frac{3}{5} + 1\frac{4}{5} = 2\frac{7}{5} = 3\frac{2}{5}$
Вывод: Чтобы сложить смешанные числа, нужно сложить отдельно их целые и дробные части. Если сумма дробных частей — неправильная дробь, из неё выделяют целую часть и добавляют к сумме целых частей.

4 Найди суммы:

а) $2\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \text{___} = \text{___}$

б) $1\frac{2}{7} + 3\frac{5}{7} = \text{___} = \text{___}$

в) $\frac{7}{8} + 5\frac{6}{8} = \text{___} = \text{___}$

г) $2\frac{14}{15} + 1\frac{3}{15} = \text{___} = \text{___}$

а) $2\frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

Чтобы найти сумму смешанного числа и дроби, можно сложить их дробные части, а целую часть оставить без изменений, если сумма дробных частей не образует новую целую часть. В данном случае знаменатели дробей одинаковы.

Сложим дробные части: $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1+2}{3} = \frac{3}{3}$.

Дробь $\frac{3}{3}$ равна 1. Теперь прибавим эту единицу к целой части первого слагаемого: $2 + 1 = 3$.

Таким образом: $2\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 2 + (\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) = 2 + \frac{3}{3} = 2 + 1 = 3$.

Ответ: $3$.

б) $1\frac{2}{7} + 3\frac{5}{7}$

Для сложения смешанных чисел нужно сложить отдельно их целые части и отдельно их дробные части.

Складываем целые части: $1 + 3 = 4$.

Складываем дробные части. Так как знаменатели одинаковы, складываем числители: $\frac{2}{7} + \frac{5}{7} = \frac{2+5}{7} = \frac{7}{7}$.

Дробь $\frac{7}{7}$ равна 1. Прибавим эту единицу к сумме целых частей: $4 + 1 = 5$.

Таким образом: $1\frac{2}{7} + 3\frac{5}{7} = (1+3) + (\frac{2}{7} + \frac{5}{7}) = 4 + \frac{7}{7} = 4 + 1 = 5$.

Ответ: $5$.

в) $\frac{7}{8} + 5\frac{6}{8}$

Чтобы найти сумму дроби и смешанного числа, сложим дробные части, а целую часть смешанного числа оставим. Знаменатели дробей одинаковы.

Складываем дробные части: $\frac{7}{8} + \frac{6}{8} = \frac{7+6}{8} = \frac{13}{8}$.

Получилась неправильная дробь $\frac{13}{8}$. Преобразуем ее в смешанное число. Для этого разделим числитель на знаменатель с остатком: $13 \div 8 = 1$ (ост. $5$). Целая часть равна 1, остаток 5 становится новым числителем, а знаменатель остается прежним: $\frac{13}{8} = 1\frac{5}{8}$.

Теперь прибавим полученное смешанное число к целой части второго слагаемого: $5 + 1\frac{5}{8} = 6\frac{5}{8}$.

Таким образом: $\frac{7}{8} + 5\frac{6}{8} = 5 + (\frac{7}{8} + \frac{6}{8}) = 5 + \frac{13}{8} = 5 + 1\frac{5}{8} = 6\frac{5}{8}$.

Ответ: $6\frac{5}{8}$.

г) $2\frac{14}{15} + 1\frac{3}{15}$

Для сложения смешанных чисел нужно сложить отдельно их целые части и отдельно их дробные части.

Складываем целые части: $2 + 1 = 3$.

Складываем дробные части. Так как знаменатели одинаковы, складываем числители: $\frac{14}{15} + \frac{3}{15} = \frac{14+3}{15} = \frac{17}{15}$.

Получилась неправильная дробь $\frac{17}{15}$. Преобразуем ее в смешанное число: $17 \div 15 = 1$ (ост. $2$). Значит, $\frac{17}{15} = 1\frac{2}{15}$.

Теперь сложим сумму целых частей с полученным смешанным числом: $3 + 1\frac{2}{15} = 4\frac{2}{15}$.

Таким образом: $2\frac{14}{15} + 1\frac{3}{15} = (2+1) + (\frac{14}{15} + \frac{3}{15}) = 3 + \frac{17}{15} = 3 + 1\frac{2}{15} = 4\frac{2}{15}$.

Ответ: $4\frac{2}{15}$.

5 Расшифруй запись (одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные буквы – разные цифры).

$\begin{array}{r}\text{М А С Л О} \\- \text{М Л} \\\underline{\phantom{- \text{М Л}}} \\\text{У С} \\- \text{У Л} \\\underline{\phantom{- \text{У Л}}} \\\text{Э Л} \\- \text{Э Л} \\\underline{\phantom{- \text{Э Л}}} \\\text{О}\end{array}\begin{array}{|l}\text{Л} \\\text{С А Л О}\end{array}$

Для решения этой криптоарифметической задачи представим её в виде стандартного примера на деление в столбик и проанализируем каждый шаг.

Запись представляет собой деление пятизначного числа МАСЛО на однозначное число Л, в результате чего получается четырехзначное число САЛО.

$МАСЛО \div Л = САЛО$

Рассмотрим шаги деления, показанные в примере:

1. Анализ последнего действия.
Последнее вычитание в столбике — это $ЭЛ - ЭЛ = 0$. Это означает, что остаток на данном шаге равен нулю. После этого сносится последняя цифра делимого — О. Получается число 0О, то есть просто О. Это число делится на Л, и в результате получается последняя цифра частного, которая тоже О. Таким образом, мы имеем уравнение: $О \div Л = О$. Это возможно, только если $О = 0$, поскольку Л является делителем и не может быть равно нулю. Итак, мы определили первую цифру: О = 0.

2. Анализ третьего шага деления.
Вычитание $ЭЛ - ЭЛ = 0$ происходит на третьем шаге деления, когда мы находим третью цифру частного, которой является Л. Это означает, что произведение этой цифры частного (Л) на делитель (Л) равно вычитаемому числу (ЭЛ). Получаем уравнение: $Л \times Л = ЭЛ$.
Запишем число ЭЛ как $10 \times Э + Л$.
$Л^2 = 10 \times Э + Л$
$Л^2 - Л = 10 \times Э$
$Л(Л-1) = 10 \times Э$
Произведение двух последовательных чисел $Л$ и $Л-1$ должно быть кратно 10. Это возможно, если одно из чисел кратно 5, а другое — чётное. Рассмотрим возможные варианты для Л (Л не может быть 0 или 1, так как ЭЛ — двузначное число, и Э не может быть 0, потому что О=0):

• Если $Л=5$, то $Л-1=4$. $Л(Л-1) = 5 \times 4 = 20$. Тогда $10 \times Э = 20$, откуда Э = 2. Этот вариант подходит.
• Если $Л-1=5$, то $Л=6$. $Л(Л-1) = 6 \times 5 = 30$. Тогда $10 \times Э = 30$, откуда Э = 3. Этот вариант тоже возможен.

3. Анализ остальных шагов.
Аналогично, из структуры примера можно вывести следующие соотношения для других цифр частного:

• Первая цифра частного С: $С \times Л = МЛ \implies Л(С-1) = 10 \times М$
• Вторая цифра частного А: $А \times Л = УЛ \implies Л(А-1) = 10 \times У$

Также рассмотрим вычитание на втором шаге: из числа УС вычитают УЛ и получают число, начинающееся с Э. Это можно интерпретировать как $(10У + С) - (10У + Л) = Э$. Отсюда получаем простое соотношение: $С - Л = Э$, или $С = Л + Э$.

4. Проверка гипотез.
Теперь проверим два найденных нами ранее варианта.

Случай 1: Л = 5, Э = 2

• Находим С: $С = Л + Э = 5 + 2 = 7$. Итак, С = 7.
• Находим М из $Л(С-1) = 10 \times М$: $5(7-1) = 10 \times М \implies 5 \times 6 = 10 \times М \implies 30 = 10 \times М \implies$ М = 3.
• Находим У и А из $Л(А-1) = 10 \times У$: $5(А-1) = 10 \times У \implies А-1 = 2 \times У$.
  А должно быть нечётным числом, большим 1, чтобы У не было равно 0. Проверим доступные цифры. Уже использованы: 0, 2, 3, 5, 7. Если $А=1$, то $У=0$, что невозможно (О=0). Если $А=9$, то $9-1 = 2 \times У \implies 8 = 2 \times У \implies$ У = 4. Все цифры разные. Этот вариант подходит.

Мы получили полный набор цифр: М=3, А=9, С=7, Л=5, О=0, У=4, Э=2.

Случай 2: Л = 6, Э = 3

• Находим С: $С = Л + Э = 6 + 3 = 9$. Итак, С = 9.
• Находим М из $Л(С-1) = 10 \times М$: $6(9-1) = 10 \times М \implies 6 \times 8 = 10 \times М \implies 48 = 10 \times М$. Здесь нет целого решения для М, поэтому этот случай невозможен.

5. Итоговое решение.
Единственный возможный вариант — первый. Расшифруем запись:

• М = 3
• А = 9
• С = 7
• Л = 5
• О = 0
• У = 4
• Э = 2

Подставим цифры в исходный пример: МАСЛО = 39750, Л = 5, САЛО = 7950. Проверим деление: $39750 \div 5 = 7950$. Равенство верно.

Пример в цифровом виде:

 39750 | 5- 35 |----- ---- | 7950 47 - 45 -- 25 - 25 -- 0 

Ответ: 39750 / 5 = 7950.

4 На итоговом тестировании по математике в 4-х классах отметку «5» получили 27 учеников, «4» – 45 учеников, «3» – 18 учеников, а двоек не получил никто. Построй круговую диаграмму результатов тестирования и проанализируй её.

Построй круговую диаграмму результатов тестирования

Для построения диаграммы сначала необходимо рассчитать, какой сектор круга будет соответствовать каждой отметке.

1. Найдём общее количество учеников, писавших тест:

$27 (\text{«5»}) + 45 (\text{«4»}) + 18 (\text{«3»}) = 90$ учеников.

2. Весь круг представляет собой $360^\circ$. Рассчитаем, какой угол соответствует каждой группе учеников:

• Ученики с отметкой «5»: $\frac{27}{90} \times 360^\circ = \frac{3}{10} \times 360^\circ = 108^\circ$.
• Ученики с отметкой «4»: $\frac{45}{90} \times 360^\circ = \frac{1}{2} \times 360^\circ = 180^\circ$.
• Ученики с отметкой «3»: $\frac{18}{90} \times 360^\circ = \frac{1}{5} \times 360^\circ = 72^\circ$.

Для проверки сложим полученные углы: $108^\circ + 180^\circ + 72^\circ = 360^\circ$. Расчёты верны.

3. Теперь можно построить диаграмму. Начертим круг и с помощью транспортира разделим его на секторы с вычисленными углами: $180^\circ$ (для «четвёрок»), $108^\circ$ (для «пятёрок») и $72^\circ$ (для «троек»).

Ответ: Построена круговая диаграмма, на которой сектор для отметки «4» составляет $180^\circ$, для отметки «5» — $108^\circ$, и для отметки «3» — $72^\circ$.

Проанализируй её

Анализ построенной диаграммы позволяет сделать следующие выводы:

• Самый большой сектор ($180^\circ$) соответствует отметке «4». Это означает, что ровно половина всех учеников (45 из 90) написали тест на «хорошо».
• Сектор, соответствующий отметке «5» ($108^\circ$), заметно больше сектора для отметки «3» ($72^\circ$). Это показывает, что отличников (27 человек) больше, чем тех, кто получил удовлетворительную оценку (18 человек).
• Поскольку двоек никто не получил, все ученики справились с итоговым тестированием.
• Большинство учеников ($27 + 45 = 72$ человека, что составляет $\frac{72}{90} = \frac{4}{5}$ или 80%) написали работу на «хорошо» и «отлично», что свидетельствует о высоком уровне знаний.

Ответ: Анализ диаграммы показывает, что половина учеников получила отметку «4», число получивших «5» больше, чем число получивших «3». Все ученики успешно прошли тестирование, а общий уровень успеваемости высокий.

5 Заполни пропуски в «цепочке»:

Начальное круглое пустое поле.

Далее: стрелка с операцией ${-20}$ ведет к:

Первое прямоугольное пустое поле (нижнее).

Далее: стрелка с операцией ${:70}$ ведет к:

Первое прямоугольное пустое поле (верхнее).

Далее: стрелка с операцией ${\cdot 800}$ ведет к:

Второе прямоугольное пустое поле (нижнее).

Далее: стрелка с операцией ${:40}$ ведет к:

Второе прямоугольное пустое поле (верхнее).

Далее: стрелка с операцией ${+80}$ ведет к:

Прямоугольное поле со значением ${120}$ (нижнее).

Далее: стрелка с операцией ${:15}$ ведет к:

Третье прямоугольное пустое поле (верхнее).

Далее: стрелка с операцией ${+62}$ ведет к:

Третье прямоугольное пустое поле (нижнее).

Далее: стрелка с операцией ${\cdot 30}$ ведет к:

Четвертое прямоугольное пустое поле (верхнее).

Далее: стрелка с операцией ${:100}$ ведет к:

Конечное круглое пустое поле.

Для решения этой задачи необходимо последовательно вычислить значения в пустых ячейках, двигаясь от известного числа 120. Наиболее вероятный способ решения, приводящий к целочисленным ответам, заключается в том, что вычисления производятся последовательно вдоль зигзагообразной цепочки. Начнем с числа 120 и будем двигаться в обе стороны: влево, выполняя обратные операции, и вправо, выполняя прямые операции.

Двигаясь от числа 120 влево по цепочке, мы выполняем действия, обратные указанным, чтобы найти предыдущие числа.

1. Третий верхний прямоугольник. Чтобы получить 120, число из этого прямоугольника разделили на 15. Обратное действие — умножение: $120 \cdot 15 = 1800$.

2. Второй верхний прямоугольник. Чтобы получить 1800, к предыдущему числу прибавили 80. Обратное действие — вычитание: $1800 - 80 = 1720$.

3. Второй нижний прямоугольник. Чтобы получить 1720, предыдущее число (согласно зигзагообразной траектории) разделили на 40. Обратное действие — умножение: $1720 \cdot 40 = 68800$.

4. Первый верхний прямоугольник. Чтобы получить 68800, предыдущее число умножили на 800. Обратное действие — деление: $68800 : 800 = 86$.

5. Первый нижний прямоугольник. Чтобы получить 86, предыдущее число разделили на 70. Обратное действие — умножение: $86 \cdot 70 = 6020$.

6. Начальный круг. Чтобы получить 6020, из начального числа вычли 20. Обратное действие — сложение: $6020 + 20 = 6040$.

Двигаясь от числа 120 вправо, мы выполняем указанные операции.

1. Четвертый верхний прямоугольник. Линия от ячейки с числом 120 не содержит операции. Предположим, что значение передается без изменений, то есть, в этом прямоугольнике будет число 120.

2. Четвертый нижний прямоугольник. К числу из четвертого верхнего прямоугольника (120) прибавляем 62: $120 + 62 = 182$.

3. Пятый верхний прямоугольник. Число из четвертого верхнего прямоугольника (120) умножаем на 30: $120 \cdot 30 = 3600$.

4. Конечный круг. Число из пятого верхнего прямоугольника (3600) делим на 100: $3600 : 100 = 36$.

Ответ:

Заполненные пропуски в цепочке:
Начальный круг: 6040
Верхний ряд (слева направо): 86, 1720, 1800, 120, 3600
Нижний ряд (слева направо): 6020, 68800, 120 (дано), 182
Конечный круг: 36

6 Ширина прямоугольного параллелепипеда 20 см, что составляет $ \frac{4}{5} $ его длины. Высота параллелепипеда составляет $ \frac{2}{9} $ суммы его длины и ширины.

Чему равен объём параллелепипеда?

Для решения задачи необходимо выполнить три действия: найти длину, затем высоту и, наконец, объём параллелепипеда.

1. Найдём длину параллелепипеда.
По условию, ширина параллелепипеда равна 20 см, что составляет $\frac{4}{5}$ его длины. Чтобы найти всю длину по её части, нужно значение этой части (20 см) разделить на дробь ($\frac{4}{5}$):
$20 \div \frac{4}{5} = 20 \cdot \frac{5}{4} = \frac{20 \cdot 5}{4} = \frac{100}{4} = 25$ см.

2. Найдём высоту параллелепипеда.
Высота составляет $\frac{2}{9}$ от суммы его длины и ширины. Сначала вычислим сумму длины и ширины:
$25 + 20 = 45$ см.
Теперь найдём высоту, вычислив $\frac{2}{9}$ от этой суммы:
$45 \cdot \frac{2}{9} = \frac{45 \cdot 2}{9} = 5 \cdot 2 = 10$ см.

3. Найдём объём параллелепипеда.
Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) равен произведению его длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($h$):
$V = a \cdot b \cdot h$
Подставим известные значения:
$V = 25 \text{ см} \cdot 20 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 5000 \text{ см}^3$.

Ответ: объём параллелепипеда равен $5000 \text{ см}^3$.

7 * В некоторой гостинице к приёму гостей готово 5 трёхместных номеров и один двухместный. Сколько ещё надо подготовить двухместных номеров, чтобы разместить в этой гостинице группу из 25 туристов?

A 3

B 4

C 5

D 6

E 8

Для того чтобы определить, сколько ещё нужно подготовить двухместных номеров, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Сначала рассчитаем, сколько всего туристов можно разместить в уже готовых номерах. В гостинице есть 5 трёхместных номеров и 1 двухместный.

Вместимость пяти трёхместных номеров составляет:

$5 \times 3 = 15$ туристов.

Вместимость одного двухместного номера:

$1 \times 2 = 2$ туриста.

Общая вместимость готовых номеров:

$15 + 2 = 17$ туристов.

2. Теперь выясним, скольким туристам из группы не хватает мест. Всего в группе 25 туристов.

$25 - 17 = 8$ туристов.

3. Оставшихся 8 туристов нужно разместить в двухместных номерах. Рассчитаем, сколько для этого понадобится номеров, разделив количество туристов на вместимость одного двухместного номера:

$8 \div 2 = 4$ номера.

Таким образом, необходимо подготовить ещё 4 двухместных номера. Это соответствует варианту B.

Ответ: 4