Номер 12, страница 67, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник Петерсон

Урок 21. Доли. Часть 1 - номер 12, страница 67.

Условие.

12* Илья продолжил стороны треугольника и на каждой из трёх образовавшихся прямых отметил по 2 точки. Всего он отметил 4 точки. Как он это сделал?

Решение.

Решение 2.

Пусть вершины треугольника — это точки A, B и C. Стороны треугольника лежат на трех прямых, которые попарно пересекаются в этих вершинах.

По условию задачи, на каждой из трех прямых отмечено по 2 точки, а всего отмеченных точек — 4. Если бы все отмеченные точки были различны для каждой прямой, то их общее число было бы $2 \times 3 = 6$. Тот факт, что точек всего 4, означает, что некоторые из них принадлежат более чем одной прямой. Точками, которые принадлежат двум прямым одновременно, являются вершины треугольника.

Определим, сколько точек должно быть общими, а сколько — нет. Пусть $k$ — это количество отмеченных точек, которые являются вершинами треугольника (т.е. лежат на пересечении двух прямых), а $m$ — количество точек, которые лежат только на одной прямой. Общее количество отмеченных точек равно 4, следовательно, $k + m = 4$.

Суммарное количество "точек на прямых" составляет $2 + 2 + 2 = 6$. Это число также можно выразить через $k$ и $m$: каждая из $k$ точек вносит вклад в 2 (так как лежит на двух прямых), а каждая из $m$ точек — в 1. Таким образом, $2 \cdot k + 1 \cdot m = 6$.

Мы получили систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} k + m = 4 \\ 2k + m = 6 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(2k + m) - (k + m) = 6 - 4$

$k = 2$

Теперь подставим значение $k=2$ в первое уравнение:

$2 + m = 4$

$m = 2$

Таким образом, математический анализ показывает, что для выполнения условий задачи необходимо отметить ровно 2 вершины треугольника и 2 другие точки, каждая из которых лежит только на одной из трех прямых.

Следовательно, Илья мог действовать так. Сначала он отметил две любые вершины треугольника, например, A и B. Таким образом, на прямой, содержащей сторону AB, уже есть две требуемые точки. Далее, на прямой, содержащей сторону AC, отмечена только одна точка — A. Чтобы на ней стало две точки, Илья отметил еще одну точку D на этой прямой, отличную от вершин. Аналогично, на прямой, содержащей сторону BC, отмечена только одна точка — B, и Илья отметил еще одну точку E на этой прямой, также отличную от вершин.

Проверим результат такого построения. Отмеченные точки: A, B, D, E — всего 4 различные точки. На прямой AB лежат точки A и B (2 точки). На прямой AC лежат точки A и D (2 точки). На прямой BC лежат точки B и E (2 точки). Все условия задачи выполнены.

Ответ: Илья отметил две вершины треугольника (например, A и B). Затем он отметил по одной дополнительной точке на двух других прямых: одну точку на прямой AC и одну точку на прямой BC. Таким образом, на каждой из трех прямых оказалось по 2 точки, а всего различных отмеченных точек стало 4.