Номер 3, страница 68, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник Петерсон

Урок 22. Сравнение долей. Часть 1 - номер 3, страница 68.

Условие.

3 Для каких значений переменной $x$ верно неравенство:

a) $\frac{1}{x} \le \frac{1}{7}$;

б) $\frac{1}{6} \le \frac{1}{x} < \frac{1}{3}$?

Решение.

Решение 2.

а)

Дано неравенство: $\frac{1}{x} \le \frac{1}{7}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условием $x \ne 0$.

Для решения неравенства перенесем все члены в левую часть:

$\frac{1}{x} - \frac{1}{7} \le 0$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{7 - x}{7x} \le 0$

Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов. Для этого найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.

Нуль числителя: $7 - x = 0 \implies x = 7$.

Нуль знаменателя: $7x = 0 \implies x = 0$.

Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 7)$ и $(7, +\infty)$. Определим знак дроби $\frac{7-x}{7x}$ на каждом из них, выбрав пробную точку.

1. При $x < 0$ (например, $x = -1$): $\frac{7 - (-1)}{7(-1)} = \frac{8}{-7} < 0$. Неравенство выполняется.

2. При $0 < x < 7$ (например, $x = 1$): $\frac{7 - 1}{7(1)} = \frac{6}{7} > 0$. Неравенство не выполняется.

3. При $x > 7$ (например, $x = 10$): $\frac{7 - 10}{7(10)} = \frac{-3}{70} < 0$. Неравенство выполняется.

Также необходимо учесть граничные точки. Точка $x=0$ не входит в решение, так как знаменатель обращается в ноль. Точка $x=7$ входит в решение, так как неравенство нестрогое ($\le$) и при $x=7$ выражение равно нулю ($\frac{0}{49} = 0$), что удовлетворяет условию $0 \le 0$.

Объединяя результаты, получаем, что неравенство верно при $x < 0$ и при $x \ge 7$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup [7, +\infty)$.

б)

Дано двойное неравенство: $\frac{1}{6} \le \frac{1}{x} < \frac{1}{3}$.

Заметим, что все части этого неравенства являются положительными числами. Из левой части $\frac{1}{6} \le \frac{1}{x}$ следует, что $\frac{1}{x}$ должно быть положительным, так как оно больше или равно положительному числу $\frac{1}{6}$.

Если $\frac{1}{x} > 0$, то и сама переменная $x$ должна быть положительной, то есть $x > 0$.

Для положительных чисел $a$ и $b$ верно, что если $a \le b$, то $\frac{1}{a} \ge \frac{1}{b}$. Используя это свойство для положительных $x$, мы можем "перевернуть" все дроби в двойном неравенстве, изменив знаки неравенства на противоположные:

$6 \ge x > 3$

Это равносильно стандартной записи $3 < x \le 6$.

Таким образом, решением является интервал от 3 (не включая) до 6 (включая).

Ответ: $x \in (3, 6]$.