Номер 13, страница 20, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник Петерсон

Урок 5. Транспортир. Часть 3 - номер 13, страница 20.

Условие.

13 Запиши 4 различных неравенства с множеством натуральных решений ${5; 6; 7}$.

Решение.

Решение 2.

Задача состоит в том, чтобы найти четыре различных неравенства, множеством натуральных решений которых является {5; 6; 7}. Это означает, что переменная $x$, будучи натуральным числом ($x \in \mathbb{N}$), должна быть больше 4, но меньше 8. Это можно выразить несколькими способами.

1. Двойное строгое неравенство
Самый очевидный способ — ограничить переменную $x$ числами 4 и 8, не включая их. Это гарантирует, что наименьшим натуральным решением будет 5, а наибольшим — 7.
Неравенство имеет вид: $4 < x < 8$.
Проверим: натуральные числа, которые строго больше 4 — это 5, 6, 7, 8, ... Натуральные числа, которые строго меньше 8 — это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Пересечением этих двух множеств являются числа {5; 6; 7}.
Ответ: $4 < x < 8$.

2. Двойное нестрогое неравенство
Аналогично первому способу, можно ограничить переменную $x$, но на этот раз включая границы. Чтобы решениями были числа 5, 6 и 7, неравенство должно включать 5 и 7 в качестве граничных значений.
Неравенство имеет вид: $5 \le x \le 7$.
Проверим: натуральные числа, которые больше или равны 5 — это 5, 6, 7, 8, ... Натуральные числа, которые меньше или равны 7 — это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Пересечением этих множеств являются числа {5; 6; 7}.
Ответ: $5 \le x \le 7$.

3. Квадратичное неравенство
Можно составить неравенство, используя квадратичную функцию. Если мы хотим, чтобы решения находились между двумя числами, например, $a$ и $b$, можно использовать неравенство вида $(x-a)(x-b) < 0$. Чтобы решениями были натуральные числа {5; 6; 7}, интервал решений должен быть, например, от 4 до 8. Возьмем $a=4$ и $b=8$.
Неравенство: $(x-4)(x-8) < 0$.
Если раскрыть скобки, оно примет вид: $x^2 - 8x - 4x + 32 < 0$, то есть $x^2 - 12x + 32 < 0$.
Проверим: решением неравенства $(x-4)(x-8) < 0$ является интервал $4 < x < 8$. Натуральные числа, принадлежащие этому интервалу, — это {5; 6; 7}.
Ответ: $x^2 - 12x + 32 < 0$.

4. Неравенство с модулем
Заметим, что числа 5, 6 и 7 сгруппированы вокруг числа 6. Расстояние от 5 до 6 равно 1, расстояние от 7 до 6 также равно 1, а расстояние от 6 до 6 равно 0. Таким образом, все искомые числа удалены от 6 на расстояние, не превышающее 1. Это можно записать с помощью модуля.
Неравенство имеет вид: $|x - 6| \le 1$.
Проверим: неравенство с модулем $|a| \le b$ эквивалентно двойному неравенству $-b \le a \le b$. В нашем случае получаем: $-1 \le x - 6 \le 1$. Прибавив 6 ко всем частям, получим $5 \le x \le 7$, что, как мы уже выяснили, имеет множество натуральных решений {5; 6; 7}.
Ответ: $|x - 6| \le 1$.