Номер 7, страница 55, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник Петерсон

Урок 14. Координаты на плоскости. Часть 3 - номер 7, страница 55.

Условие.

7 Как быстро вычислить:

a) $1 + 3 + 5 + \ldots + 995 + 997 + 999;$

б) $99 - 97 + 95 - 93 + 91 - 89 + \ldots + 7 - 5 + 3 - 1?$

Решение.

Решение 2.

а) $1 + 3 + 5 + \dots + 995 + 997 + 999$

Данная сумма представляет собой сумму членов арифметической прогрессии, состоящей из нечетных чисел. Чтобы быстро вычислить эту сумму, можно сгруппировать слагаемые парами: первое с последним, второе с предпоследним и так далее.

$(1 + 999) + (3 + 997) + (5 + 995) + \dots$

Сумма каждой такой пары равна 1000:

$1 + 999 = 1000$

$3 + 997 = 1000$

$5 + 995 = 1000$

Теперь нужно определить, сколько всего слагаемых в этой сумме, чтобы найти количество пар. Это все нечетные числа от 1 до 999. Чтобы найти их количество, можно использовать формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1 = 1$, $a_n = 999$, и разность $d=2$.

$999 = 1 + (n-1) \cdot 2$

$998 = (n-1) \cdot 2$

$499 = n - 1$

$n = 500$

Таким образом, в сумме 500 слагаемых. Так как мы группируем их по два, количество пар будет:

$500 / 2 = 250$

Каждая пара дает в сумме 1000, а таких пар 250. Следовательно, общая сумма равна:

$250 \times 1000 = 250000$

Также можно заметить, что это сумма первых 500 нечетных чисел, а сумма первых $n$ нечетных чисел равна $n^2$.

$S_{500} = 500^2 = 250000$

Ответ: 250000

б) $99 - 97 + 95 - 93 + 91 - 89 + \dots + 7 - 5 + 3 - 1$

Для быстрого вычисления этого выражения сгруппируем числа попарно:

$(99 - 97) + (95 - 93) + (91 - 89) + \dots + (7 - 5) + (3 - 1)$

Результат вычитания в каждой паре одинаков и равен 2:

$99 - 97 = 2$

$95 - 93 = 2$

$...$

$3 - 1 = 2$

Теперь нужно посчитать, сколько таких пар получилось. Исходный ряд состоит из нечетных чисел от 1 до 99. Найдем их количество. Как и в предыдущей задаче, воспользуемся формулой для нахождения количества членов прогрессии:

$a_1 = 1$, $a_n = 99$, $d=2$.

$99 = 1 + (n-1) \cdot 2$

$98 = (n-1) \cdot 2$

$49 = n - 1$

$n = 50$

Всего в выражении 50 чисел. Так как мы объединили их в пары, количество пар будет:

$50 / 2 = 25$

Итак, у нас есть 25 пар, каждая из которых равна 2. Общая сумма будет произведением количества пар на значение каждой пары:

$25 \times 2 = 50$

Ответ: 50