Номер 6, страница 55, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник Петерсон

Урок 14. Координаты на плоскости. Часть 3 - номер 6, страница 55.

Условие.

6 Когда маленький Карл Гаусс учился в школе, его учитель, чтобы занять детей надолго, дал трудное задание — найти сумму натуральных чисел от 1 до 100. Но Гаусс ответил моментально. Попробуй и ты быстро сосчитать эту сумму.

Решение.

Решение 2.

Чтобы быстро найти сумму натуральных чисел от 1 до 100, можно воспользоваться методом, который, по легенде, применил юный Карл Гаусс. Суть метода заключается в попарном сложении чисел с противоположных концов последовательности.

Запишем сумму, которую нужно найти:
$S = 1 + 2 + 3 + \dots + 98 + 99 + 100$

Теперь сгруппируем первое и последнее число, второе и предпоследнее, и так далее:
$(1 + 100) = 101$
$(2 + 99) = 101$
$(3 + 98) = 101$
...
Последней такой парой будут числа в середине ряда: $(50 + 51) = 101$.

Как мы видим, сумма каждой пары одинакова и равна 101. Всего в последовательности от 1 до 100 находится 100 чисел. Если мы разделим их на пары, то получим $100 / 2 = 50$ пар.

Чтобы найти общую сумму, нужно умножить сумму одной пары на количество таких пар:
$S = 101 \times 50 = 5050$

Этот же результат можно получить с помощью формулы суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2}$
где $n$ — количество членов (100), $a_1$ — первый член (1), $a_n$ — последний член (100).
$S_{100} = \frac{100 \cdot (1 + 100)}{2} = \frac{100 \cdot 101}{2} = \frac{10100}{2} = 5050$

Ответ: 5050