Номер 1, страница 65, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник Петерсон

Урок 17. Точки на осях координат. Часть 3 - номер 1, страница 65.

Условие.

1 Построй четырёхугольник ABCD по координатам вершин. Если возможно, проведи его оси симметрии. Проверь с помощью кальки.

а) $A(0;1)$, $B(2;5)$, $C(6;5)$, $D(8;1)$;

б) $A(0;3)$, $B(5;6)$, $C(7;3)$, $D(5;0)$;

в) $A(1;1)$, $B(1;5)$, $C(7;5)$, $D(7;1)$;

г) $A(1;2)$, $B(2;6)$, $C(8;6)$, $D(7;2)$;

д) $A(0;3)$, $B(4;5)$, $C(7;3)$, $D(4;1)$;

е) $A(1;3)$, $B(4;6)$, $C(7;3)$, $D(4;0)$.

Решение.

Решение 2.

а) Построив четырёхугольник ABCD по координатам A(0; 1), B(2; 5), C(6; 5), D(8; 1), мы видим, что его основания BC и AD лежат на параллельных прямых $y=5$ и $y=1$. Следовательно, ABCD – трапеция. Найдём длины боковых (непараллельных) сторон AB и CD:
$AB = \sqrt{(2-0)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20}$
$CD = \sqrt{(8-6)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20}$
Так как боковые стороны равны ($AB=CD$), трапеция является равнобедренной. У равнобедренной трапеции есть одна ось симметрии, которая проходит через середины её оснований. Середина основания BC — точка с координатами $(\frac{2+6}{2}; \frac{5+5}{2}) = (4; 5)$. Середина основания AD — точка с координатами $(\frac{0+8}{2}; \frac{1+1}{2}) = (4; 1)$. Ось симметрии проходит через эти две точки и задаётся уравнением $x=4$.
Ответ: Осью симметрии является прямая $x=4$.

б) Построим четырёхугольник ABCD по координатам A(0; 3), B(5; 6), C(7; 3), D(5; 0). Найдём длины его сторон:
$AB = \sqrt{(5-0)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{5^2+3^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$
$AD = \sqrt{(5-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{5^2+(-3)^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$
$BC = \sqrt{(7-5)^2 + (3-6)^2} = \sqrt{2^2+(-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$
$CD = \sqrt{(7-5)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$
Так как смежные стороны попарно равны ($AB=AD$ и $BC=CD$), эта фигура является дельтоидом (кайтом). Осью симметрии дельтоида является его диагональ AC, которая лежит на прямой $y=3$. При отражении относительно этой прямой вершина B(5; 6) переходит в вершину D(5; 0), а вершины A и C остаются на месте, поэтому вся фигура отображается на себя.
Ответ: Осью симметрии является прямая $y=3$.

в) Построим четырёхугольник ABCD по координатам A(1; 1), B(1; 5), C(7; 5), D(7; 1). Его стороны AB и CD параллельны оси Y, а стороны BC и AD параллельны оси X. Следовательно, все углы прямые, и фигура является прямоугольником. Длина стороны $AB = 5-1=4$, длина стороны $BC = 7-1=6$. Так как смежные стороны не равны, это не квадрат. Прямоугольник имеет две оси симметрии, которые проходят через середины его противоположных сторон.
Первая ось — это вертикальная прямая, проходящая через середины сторон AD и BC. Её уравнение $x = \frac{1+7}{2}$, то есть $x=4$.
Вторая ось — это горизонтальная прямая, проходящая через середины сторон AB и CD. Её уравнение $y = \frac{1+5}{2}$, то есть $y=3$.
Ответ: Две оси симметрии: прямые $x=4$ и $y=3$.

г) Построим четырёхугольник ABCD по координатам A(1; 2), B(2; 6), C(8; 6), D(7; 2). Стороны BC и AD лежат на горизонтальных прямых $y=6$ и $y=2$, значит они параллельны. Найдём угловые коэффициенты сторон AB и DC:
$k_{AB} = \frac{6-2}{2-1} = 4$
$k_{DC} = \frac{6-2}{8-7} = 4$
Так как угловые коэффициенты равны, стороны AB и DC также параллельны. Фигура, у которой противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Длины смежных сторон $BC=6$ и $AB=\sqrt{(2-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{17}$ не равны. Углы не являются прямыми. Такой параллелограмм (не являющийся ромбом или прямоугольником) не имеет осей симметрии.
Ответ: Осей симметрии нет.

д) Построим четырёхугольник ABCD по координатам A(0; 3), B(4; 5), C(7; 3), D(4; 1). Найдём длины его сторон:
$AB = \sqrt{(4-0)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{4^2+2^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20}$
$AD = \sqrt{(4-0)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{4^2+(-2)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20}$
$BC = \sqrt{(7-4)^2 + (3-5)^2} = \sqrt{3^2+(-2)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$
$CD = \sqrt{(7-4)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{3^2+2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$
Так как смежные стороны попарно равны ($AB=AD$ и $BC=CD$), эта фигура является дельтоидом (кайтом). Осью симметрии является его диагональ AC, которая лежит на прямой $y=3$. При отражении относительно этой прямой вершина B(4; 5) переходит в вершину D(4; 1), а вершины A и C остаются на месте.
Ответ: Осью симметрии является прямая $y=3$.

е) Построим четырёхугольник ABCD по координатам A(1; 3), B(4; 6), C(7; 3), D(4; 0). Найдём длины его сторон:
$AB = \sqrt{(4-1)^2+(6-3)^2} = \sqrt{3^2+3^2} = \sqrt{18}$
$BC = \sqrt{(7-4)^2+(3-6)^2} = \sqrt{3^2+(-3)^2} = \sqrt{18}$
$CD = \sqrt{(4-7)^2+(0-3)^2} = \sqrt{(-3)^2+(-3)^2} = \sqrt{18}$
$DA = \sqrt{(1-4)^2+(3-0)^2} = \sqrt{(-3)^2+3^2} = \sqrt{18}$
Все стороны равны, значит это ромб. Проверим длины его диагоналей:
$AC = \sqrt{(7-1)^2+(3-3)^2} = \sqrt{6^2} = 6$
$BD = \sqrt{(4-4)^2+(0-6)^2} = \sqrt{(-6)^2} = 6$
Так как диагонали ромба равны, этот ромб является квадратом. У квадрата четыре оси симметрии: две проходят через диагонали, а две — через середины противоположных сторон.
1. Прямая, содержащая диагональ AC: $y=3$.
2. Прямая, содержащая диагональ BD: $x=4$.
3. Прямая, проходящая через середины сторон AD и BC: $y=x-1$.
4. Прямая, проходящая через середины сторон AB и DC: $y=-x+7$.
Ответ: Четыре оси симметрии: прямые $y=3$, $x=4$, $y=x-1$ и $y=-x+7$.