номер 255, страница 76, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

255. Используя результаты, полученные при выполнении упражнения 253, сравните:

1) $\text{НОК}(а; b)$ и $а$, если $а > b$;

2) $\text{НОД}(а; в)$ и $\text{b}$, если $а > в$.

1) Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел $\text{a}$ и $\text{b}$ — это наименьшее натуральное число, которое делится нацело и на $\text{a}$, и на $\text{b}$.

По определению, $НОК(a; b)$ является кратным для числа $\text{a}$. Это означает, что $НОК(a; b)$ можно представить в виде произведения $\text{a}$ на некоторое натуральное число $\text{k}$:

$НОК(a; b) = k \cdot a$, где $k \ge 1$.

Так как $\text{k}$ является натуральным числом, наименьшее возможное значение $\text{k}$ равно 1. Следовательно, $k \cdot a \ge 1 \cdot a$, что означает $НОК(a; b) \ge a$.

Равенство $НОК(a; b) = a$ выполняется в том случае, если $\text{a}$ кратно $\text{b}$. Например, если $a=12$, $b=4$ (при $a > b$), то $НОК(12; 4) = 12$, то есть $НОК(a; b) = a$.

Если же $\text{a}$ не кратно $\text{b}$, то неравенство будет строгим: $НОК(a; b) > a$. Например, если $a=10$, $b=6$ (при $a > b$), то $НОК(10; 6) = 30$, и $30 > 10$.

Таким образом, в общем случае $НОК(a; b)$ всегда больше или равно $\text{a}$.

Ответ: $НОК(a; b) \ge a$.

2) Наибольший общий делитель (НОД) двух натуральных чисел $\text{a}$ и $\text{b}$ — это самое большое натуральное число, на которое делятся без остатка и $\text{a}$, и $\text{b}$.

По определению, $НОД(a; b)$ является делителем числа $\text{b}$. Любой делитель положительного числа не может быть больше самого этого числа. Следовательно, $НОД(a; b)$ не может быть больше $\text{b}$.

Таким образом, $НОД(a; b) \le b$.

Равенство $НОД(a; b) = b$ выполняется в том случае, если $\text{a}$ кратно $\text{b}$ (то есть $\text{b}$ является делителем $\text{a}$). Например, если $a=18$, $b=6$ (при $a > b$), то $НОД(18; 6) = 6$, то есть $НОД(a; b) = b$.

Если же $\text{a}$ не кратно $\text{b}$, то неравенство будет строгим: $НОД(a; b) < b$. Например, если $a=15$, $b=10$ (при $a > b$), то $НОД(15; 10) = 5$, и $5 < 10$.

Таким образом, в общем случае $НОД(a; b)$ всегда меньше или равен $\text{b}$.

Ответ: $НОД(a; b) \le b$.