номер 254, страница 76, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

254. Какой общий вывод о значении произведения $\text{НОК} (a; b) \cdot \text{НОД} (a; b)$ можно сформулировать на основании результатов, полученных при выполнении упражнения 253?

На основании результатов, полученных при выполнении упражнения 253, можно сформулировать следующий общий вывод: произведение наименьшего общего кратного (НОК) и наибольшего общего делителя (НОД) двух натуральных чисел $\text{a}$ и $\text{b}$ равно произведению этих чисел.

Это свойство записывается в виде формулы:

$НОК(a; b) \cdot НОД(a; b) = a \cdot b$

Проверим этот вывод на конкретном примере, который мог встретиться в упражнении 253. Пусть даны числа $a = 12$ и $b = 18$.

1. Разложим числа на простые множители:

$a = 12 = 2^2 \cdot 3^1$

$b = 18 = 2^1 \cdot 3^2$

2. Найдем Наибольший Общий Делитель (НОД). Для этого берем общие простые множители в наименьшей степени, в которой они встречаются в разложениях:

$НОД(12; 18) = 2^{\min(2,1)} \cdot 3^{\min(1,2)} = 2^1 \cdot 3^1 = 6$

3. Найдем Наименьшее Общее Кратное (НОК). Для этого берем все простые множители из обоих разложений в наибольшей степени:

$НОК(12; 18) = 2^{\max(2,1)} \cdot 3^{\max(1,2)} = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$

4. Вычислим произведение НОК и НОД:

$НОК(12; 18) \cdot НОД(12; 18) = 36 \cdot 6 = 216$

5. Вычислим произведение самих чисел $\text{a}$ и $\text{b}$:

$a \cdot b = 12 \cdot 18 = 216$

Результаты совпали: $216 = 216$. Пример подтверждает наш вывод.

Это равенство верно для любых двух натуральных чисел. Докажем это в общем виде. Пусть каноническое разложение чисел $\text{a}$ и $\text{b}$ на простые множители имеет вид:

$a = p_1^{x_1} \cdot p_2^{x_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{x_k}$

$b = p_1^{y_1} \cdot p_2^{y_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{y_k}$

(где $p_i$ — простые числа, а $x_i, y_i$ — неотрицательные целые числа; если какой-то простой множитель отсутствует в разложении, его степень считается равной 0).

Тогда по определению:

$НОД(a; b) = p_1^{\min(x_1, y_1)} \cdot p_2^{\min(x_2, y_2)} \cdot \ldots \cdot p_k^{\min(x_k, y_k)}$

$НОК(a; b) = p_1^{\max(x_1, y_1)} \cdot p_2^{\max(x_2, y_2)} \cdot \ldots \cdot p_k^{\max(x_k, y_k)}$

Найдем их произведение:

$НОК(a; b) \cdot НОД(a; b) = (p_1^{\max(x_1, y_1)} \cdot \ldots \cdot p_k^{\max(x_k, y_k)}) \cdot (p_1^{\min(x_1, y_1)} \cdot \ldots \cdot p_k^{\min(x_k, y_k)})$

Сгруппировав множители с одинаковыми основаниями, получим:

$НОК(a; b) \cdot НОД(a; b) = p_1^{\max(x_1, y_1) + \min(x_1, y_1)} \cdot \ldots \cdot p_k^{\max(x_k, y_k) + \min(x_k, y_k)}$

Для любых двух чисел $\text{x}$ и $\text{y}$ справедливо тождество $\max(x, y) + \min(x, y) = x + y$. Применим его к показателям степеней:

$НОК(a; b) \cdot НОД(a; b) = p_1^{x_1+y_1} \cdot p_2^{x_2+y_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{x_k+y_k}$

Теперь снова разделим произведение на две части:

$= (p_1^{x_1} \cdot p_2^{x_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{x_k}) \cdot (p_1^{y_1} \cdot p_2^{y_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{y_k})$

Что в точности равно произведению $a \cdot b$.

Таким образом, общий вывод заключается в том, что произведение НОК и НОД двух натуральных чисел всегда равно произведению этих чисел.

Ответ: Общий вывод состоит в том, что для любых двух натуральных чисел $\text{a}$ и $\text{b}$ произведение их Наименьшего Общего Кратногo (НОК) и Наибольшего Общего Делителя (НОД) равно произведению самих этих чисел: $НОК(a; b) \cdot НОД(a; b) = a \cdot b$.