номер 248, страница 75, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

248. Наибольший общий делитель трех двузначных чисел равен $15$. Найдите эти числа, если при делении их на НОД в значении частного получаются нечетные числа.

Пусть искомые три двузначных числа — это $\text{a}$, $\text{b}$ и $\text{c}$.

По условию, их наибольший общий делитель (НОД) равен 15. Это означает, что каждое из этих чисел является кратным 15. Таким образом, мы можем записать их в следующем виде:

$a = 15 \cdot k$

$b = 15 \cdot m$

$c = 15 \cdot n$

где $\text{k}$, $\text{m}$ и $\text{n}$ — некоторые натуральные числа.

Из определения НОД следует, что для того, чтобы $НОД(a, b, c) = 15$, множители $\text{k}$, $\text{m}$ и $\text{n}$ должны быть взаимно простыми, то есть $НОД(k, m, n) = 1$.

В условии также сказано, что при делении чисел $\text{a}$, $\text{b}$ и $\text{c}$ на их НОД (то есть на 15), частные получаются нечетными. Частные от этого деления как раз и есть $\text{k}$, $\text{m}$ и $\text{n}$. Следовательно, $\text{k}$, $\text{m}$ и $\text{n}$ — это различные нечетные числа.

Так как числа $\text{a}$, $\text{b}$ и $\text{c}$ являются двузначными, они должны находиться в диапазоне от 10 до 99. Найдем возможные значения для множителей ($\text{k}$, $\text{m}$, $\text{n}$), умножая 15 на последовательные натуральные числа, пока результат остается двузначным:

$15 \cdot 1 = 15$

$15 \cdot 2 = 30$

$15 \cdot 3 = 45$

$15 \cdot 4 = 60$

$15 \cdot 5 = 75$

$15 \cdot 6 = 90$

$15 \cdot 7 = 105$ (уже трехзначное число).

Таким образом, множители $\text{k}$, $\text{m}$ и $\text{n}$ могут принимать значения из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Выберем из этого множества три различных нечетных числа. Это числа 1, 3 и 5.

Проверим, являются ли они взаимно простыми: $НОД(1, 3, 5) = 1$. Условие выполняется.

Теперь найдем искомые числа, подставив найденные множители:

Первое число: $15 \cdot 1 = 15$

Второе число: $15 \cdot 3 = 45$

Третье число: $15 \cdot 5 = 75$

Проверка:

1. Числа 15, 45, 75 — двузначные.

2. $НОД(15, 45, 75) = 15$.

3. Частные от деления на 15: $15/15 = 1$, $45/15 = 3$, $75/15 = 5$. Все частные — нечетные числа.

Все условия задачи выполнены.

Ответ: 15, 45, 75.