номер 245, страница 75, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

245. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

1) 120; 300; 100;

2) 480; 216; 144;

3) 105; 350; 140;

4) 280; 140; 224.

1) Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 120, 300 и 100, разложим каждое число на простые множители.

Разложение числа 120: $120 = 12 \cdot 10 = (2^2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$.

Разложение числа 300: $300 = 3 \cdot 100 = 3 \cdot 10^2 = 3 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$.

Разложение числа 100: $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$.

Для нахождения НОК, берем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножаем их.

Наибольшая степень для множителя 2: $2^3$.

Наибольшая степень для множителя 3: $3^1$.

Наибольшая степень для множителя 5: $5^2$.

НОК(120; 300; 100) = $2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^2 = 8 \cdot 3 \cdot 25 = 24 \cdot 25 = 600$.

Ответ: 600

2) Найдем НОК для чисел 480, 216 и 144. Для этого разложим их на простые множители.

Разложение числа 480: $480 = 48 \cdot 10 = (16 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = (2^4 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^5 \cdot 3 \cdot 5$.

Разложение числа 216: $216 = 6^3 = (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3$.

Разложение числа 144: $144 = 12^2 = (2^2 \cdot 3)^2 = 2^4 \cdot 3^2$.

Теперь выберем наибольшие степени каждого простого множителя из всех разложений.

Наибольшая степень для множителя 2: $2^5$.

Наибольшая степень для множителя 3: $3^3$.

Наибольшая степень для множителя 5: $5^1$.

НОК(480; 216; 144) = $2^5 \cdot 3^3 \cdot 5^1 = 32 \cdot 27 \cdot 5 = 160 \cdot 27 = 4320$.

Ответ: 4320

3) Найдем НОК для чисел 105, 350 и 140. Сначала разложим их на простые множители.

Разложение числа 105: $105 = 5 \cdot 21 = 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Разложение числа 350: $350 = 35 \cdot 10 = (5 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 5^2 \cdot 7$.

Разложение числа 140: $140 = 14 \cdot 10 = (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 5 \cdot 7$.

Для НОК перемножим наибольшие степени простых множителей, встречающихся в разложениях.

Наибольшая степень для множителя 2: $2^2$.

Наибольшая степень для множителя 3: $3^1$.

Наибольшая степень для множителя 5: $5^2$.

Наибольшая степень для множителя 7: $7^1$.

НОК(105; 350; 140) = $2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \cdot 7^1 = 4 \cdot 3 \cdot 25 \cdot 7 = 12 \cdot 175 = 2100$.

Ответ: 2100

4) Найдем НОК для чисел 280, 140 и 224. Разложим числа на простые множители.

Заметим, что 280 делится на 140 ($280 = 2 \cdot 140$). Это означает, что любое общее кратное для 280 и 224 будет также кратным и для 140. Поэтому достаточно найти НОК(280; 224).

Разложение числа 280: $280 = 28 \cdot 10 = (2^2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) = 2^3 \cdot 5 \cdot 7$.

Разложение числа 224: $224 = 2 \cdot 112 = 2^2 \cdot 56 = 2^2 \cdot 8 \cdot 7 = 2^2 \cdot 2^3 \cdot 7 = 2^5 \cdot 7$.

Выбираем наибольшие степени простых множителей.

Наибольшая степень для множителя 2: $2^5$.

Наибольшая степень для множителя 5: $5^1$.

Наибольшая степень для множителя 7: $7^1$.

НОК(280; 140; 224) = НОК(280; 224) = $2^5 \cdot 5^1 \cdot 7^1 = 32 \cdot 5 \cdot 7 = 160 \cdot 7 = 1120$.

Ответ: 1120