номер 246, страница 75, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

246. Известно, что значение произведения двух взаимно простых чисел равно:

1) 33;

2) 65;

3) 143;

4) 133;

5) 20;

6) 56;

7) 99;

8) 300.

Найдите эти числа.

Два натуральных числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Это означает, что у них нет общих простых делителей. Чтобы найти два взаимно простых числа, произведение которых равно заданному значению, необходимо разложить это значение на простые множители. Затем, эти множители нужно сгруппировать в два числа таким образом, чтобы ни один простой множитель не входил одновременно в оба числа. Это достигается путем распределения всех степеней каждого простого множителя из исходного разложения в одно из двух искомых чисел.

1) Произведение равно 33. Разложение на простые множители: $33 = 3 \cdot 11$. Так как 3 и 11 – это разные простые числа, они взаимно просты. Следовательно, искомые числа – это 3 и 11.

Ответ: 3 и 11.

2) Произведение равно 65. Разложение на простые множители: $65 = 5 \cdot 13$. Числа 5 и 13 – простые и различные, а значит, взаимно простые.

Ответ: 5 и 13.

3) Произведение равно 143. Разложение на простые множители: $143 = 11 \cdot 13$. Числа 11 и 13 – простые и различные, следовательно, они взаимно простые.

Ответ: 11 и 13.

4) Произведение равно 133. Разложение на простые множители: $133 = 7 \cdot 19$. Числа 7 и 19 – простые и различные, значит, они взаимно простые.

Ответ: 7 и 19.

5) Произведение равно 20. Разложение на простые множители: $20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$. Чтобы числа были взаимно простыми, множитель $2^2$ должен целиком войти в одно число, а множитель 5 — в другое. Таким образом, получаем числа $2^2=4$ и 5.

Ответ: 4 и 5.

6) Произведение равно 56. Разложение на простые множители: $56 = 8 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$. Чтобы числа были взаимно простыми, множитель $2^3$ должен целиком войти в одно число, а множитель 7 — в другое. Таким образом, получаем числа $2^3=8$ и 7.

Ответ: 7 и 8.

7) Произведение равно 99. Разложение на простые множители: $99 = 9 \cdot 11 = 3^2 \cdot 11$. Чтобы числа были взаимно простыми, множитель $3^2$ должен целиком войти в одно число, а множитель 11 — в другое. Таким образом, получаем числа $3^2=9$ и 11.

Ответ: 9 и 11.

8) Произведение равно 300. Разложение на простые множители: $300 = 3 \cdot 100 = 3 \cdot 10^2 = 3 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$. Чтобы получить два взаимно простых числа, нужно распределить группы простых множителей ($2^2$, $3^1$ и $5^2$) между двумя числами. В этом случае существует несколько вариантов: можно взять число $2^2 = 4$ и число $3 \cdot 5^2 = 75$; можно взять число 3 и число $2^2 \cdot 5^2 = 100$; можно взять число $5^2 = 25$ и число $2^2 \cdot 3 = 12$. Все эти пары чисел (4 и 75, 3 и 100, 12 и 25) взаимно просты и их произведение равно 300.

Ответ: 12 и 25 (или 3 и 100, или 4 и 75).