номер 249, страница 75, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

249. Наименьшее общее кратное трех двузначных чисел равно 1155. Найдите эти числа, если при делении НОК на эти числа в значении частного получаются нечетные числа.

Пусть искомые три двузначных числа — это $\text{a}$, $\text{b}$ и $\text{c}$.

По условию, их наименьшее общее кратное (НОК) равно 1155. $НОК(a, b, c) = 1155$.

Для начала разложим число 1155 на простые множители: $1155 = 5 \cdot 231 = 5 \cdot 3 \cdot 77 = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$.

Также в условии сказано, что при делении НОК на каждое из этих чисел в частном получаются нечетные числа: $1155 / a = k_1$ (нечетное)

$1155 / b = k_2$ (нечетное)

$1155 / c = k_3$ (нечетное)

Вспомним правило делимости. Чтобы частное от деления двух чисел было нечетным, делитель и делимое должны содержать в своей канонической форме разложения на простые множители одинаковую степень двойки.

Число $1155 = 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 11^1$ не имеет в своем разложении множителя 2, то есть степень двойки равна нулю ($2^0$). Следовательно, искомые числа $\text{a}$, $\text{b}$ и $\text{c}$ также не должны содержать множитель 2, а значит, они должны быть нечетными.

Поскольку $\text{a}$, $\text{b}$ и $\text{c}$ являются делителями своего НОК, они должны быть делителями числа 1155. Найдем все двузначные делители числа 1155. Они могут быть составлены из произведения простых множителей 3, 5, 7 и 11.

• $3 \cdot 5 = 15$
• $3 \cdot 7 = 21$
• $3 \cdot 11 = 33$
• $5 \cdot 7 = 35$
• $5 \cdot 11 = 55$
• $7 \cdot 11 = 77$

Другие комбинации множителей дают либо не двузначные, либо трехзначные числа (например, $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$).

Итак, искомые три числа нужно выбрать из множества $\{15, 21, 33, 35, 55, 77\}$. Все эти числа нечетные, что соответствует нашему выводу.

Чтобы $НОК(a, b, c)$ было равно $3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$, необходимо, чтобы в разложении выбранных трех чисел на простые множители присутствовали все четыре множителя: 3, 5, 7 и 11.

Подберем тройку чисел. Например, выберем числа так, чтобы каждое из них содержало множитель 11, и при этом были покрыты остальные простые множители (3, 5, 7).

• Возьмем число с множителем 3: $33 = 3 \cdot 11$.
• Возьмем число с множителем 5: $55 = 5 \cdot 11$.
• Возьмем число с множителем 7: $77 = 7 \cdot 11$.

Проверим, подходит ли нам набор чисел 33, 55, 77.

1. Это три различных двузначных числа.

2. Найдем их НОК:

$33 = 3 \cdot 11$

$55 = 5 \cdot 11$

$77 = 7 \cdot 11$

$НОК(33, 55, 77) = 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 11^1 = 1155$. Условие выполняется.

3. Проверим частные:

$1155 / 33 = 35$ (нечетное)

$1155 / 55 = 21$ (нечетное)

$1155 / 77 = 15$ (нечетное)

Это условие также выполняется.

Следовательно, искомые числа — 33, 55 и 77. (Существуют и другие наборы чисел, удовлетворяющие условию, но данный набор является одним из решений).

Ответ: 33, 55, 77.