номер 252, страница 76, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

252. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное $\text{x}$ и $\text{y}$, если:

1) $x = abcd$ и $y = ab^2c$;

2) $x = a^3bcd$ и $y = a^2b^2c^2$;

3) $x = ab^3c^3$ и $y = abcd$;

4) $x = a^4b^4c^2d^4$ и $y = a^2b^2c^3d^4$.

1) Даны выражения $x = abcd$ и $y = ab^2c$. Чтобы найти НОД и НОК, представим их в виде произведения степеней, где показатели у каждого основания-переменной указаны явно: $x = a^1b^1c^1d^1$ и $y = a^1b^2c^1d^0$ (так как переменная $\text{d}$ отсутствует в $\text{y}$, ее степень считается равной 0).

Наибольший общий делитель (НОД) находится как произведение всех общих множителей, взятых с наименьшим показателем степени. Для $\text{a}$ наименьшая степень $\min(1, 1)=1$. Для $\text{b}$ наименьшая степень $\min(1, 2)=1$. Для $\text{c}$ наименьшая степень $\min(1, 1)=1$. Для $\text{d}$ наименьшая степень $\min(1, 0)=0$. Таким образом, $\text{НОД}(x, y) = a^1b^1c^1d^0 = abc$.

Наименьшее общее кратное (НОК) находится как произведение всех множителей, имеющихся в разложениях, взятых с наибольшим показателем степени. Для $\text{a}$ наибольшая степень $\max(1, 1)=1$. Для $\text{b}$ наибольшая степень $\max(1, 2)=2$. Для $\text{c}$ наибольшая степень $\max(1, 1)=1$. Для $\text{d}$ наибольшая степень $\max(1, 0)=1$. Таким образом, $\text{НОК}(x, y) = a^1b^2c^1d^1 = ab^2cd$.

Ответ: $\text{НОД}(x, y) = abc$; $\text{НОК}(x, y) = ab^2cd$.

2) Даны выражения $x = a^3bcd$ и $y = a^2b^2c^2$. Представим их в виде $x = a^3b^1c^1d^1$ и $y = a^2b^2c^2d^0$.

Для нахождения НОД берем каждую переменную с наименьшим показателем степени: для $\text{a}$ это $\min(3, 2)=2$, для $\text{b}$ это $\min(1, 2)=1$, для $\text{c}$ это $\min(1, 2)=1$, для $\text{d}$ это $\min(1, 0)=0$. Получаем $\text{НОД}(x, y) = a^2b^1c^1d^0 = a^2bc$.

Для нахождения НОК берем каждую переменную с наибольшим показателем степени: для $\text{a}$ это $\max(3, 2)=3$, для $\text{b}$ это $\max(1, 2)=2$, для $\text{c}$ это $\max(1, 2)=2$, для $\text{d}$ это $\max(1, 0)=1$. Получаем $\text{НОК}(x, y) = a^3b^2c^2d^1 = a^3b^2c^2d$.

Ответ: $\text{НОД}(x, y) = a^2bc$; $\text{НОК}(x, y) = a^3b^2c^2d$.

3) Даны выражения $x = ab^3c^3$ и $y = abcd$. Представим их в виде $x = a^1b^3c^3d^0$ и $y = a^1b^1c^1d^1$.

Для НОД берем наименьшие показатели степеней: у $\text{a}$ это $\min(1, 1)=1$, у $\text{b}$ это $\min(3, 1)=1$, у $\text{c}$ это $\min(3, 1)=1$, у $\text{d}$ это $\min(0, 1)=0$. В результате $\text{НОД}(x, y) = a^1b^1c^1d^0 = abc$.

Для НОК берем наибольшие показатели степеней: у $\text{a}$ это $\max(1, 1)=1$, у $\text{b}$ это $\max(3, 1)=3$, у $\text{c}$ это $\max(3, 1)=3$, у $\text{d}$ это $\max(0, 1)=1$. В результате $\text{НОК}(x, y) = a^1b^3c^3d^1 = ab^3c^3d$.

Ответ: $\text{НОД}(x, y) = abc$; $\text{НОК}(x, y) = ab^3c^3d$.

4) Даны выражения $x = a^4b^4c^2d^4$ и $y = a^2b^2c^2d^4$.

Для нахождения НОД берем наименьшие показатели степеней для каждой переменной: для $\text{a}$ это $\min(4, 2)=2$, для $\text{b}$ это $\min(4, 2)=2$, для $\text{c}$ это $\min(2, 2)=2$, для $\text{d}$ это $\min(4, 4)=4$. Таким образом, $\text{НОД}(x, y) = a^2b^2c^2d^4$.

Для нахождения НОК берем наибольшие показатели степеней для каждой переменной: для $\text{a}$ это $\max(4, 2)=4$, для $\text{b}$ это $\max(4, 2)=4$, для $\text{c}$ это $\max(2, 2)=2$, для $\text{d}$ это $\max(4, 4)=4$. Таким образом, $\text{НОК}(x, y) = a^4b^4c^2d^4$.

Ответ: $\text{НОД}(x, y) = a^2b^2c^2d^4$; $\text{НОК}(x, y) = a^4b^4c^2d^4$.