Вопросы, страница 78, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Что означает запись: $C \not\subset D$? Прочитайте ее разными способами.

Почему для любого множества пустое множество и само множество являются его подмножествами?

Что означает запись: $C \nsubseteq D$? Прочитайте ее разными способами.

Запись $C \nsubseteq D$ означает, что множество $\text{C}$ не является подмножеством множества $\text{D}$. Это отрицание утверждения $C \subseteq D$ (множество $\text{C}$ является подмножеством множества $\text{D}$).

По определению, множество $\text{X}$ является подмножеством множества $\text{Y}$, если каждый элемент множества $\text{X}$ также является элементом множества $\text{Y}$.

Соответственно, запись $C \nsubseteq D$ означает, что в множестве $\text{C}$ существует как минимум один элемент, который не принадлежит множеству $\text{D}$. Формально это можно записать как $\exists x (x \in C \text{ и } x \notin D)$.

Эту запись можно прочитать несколькими способами:

1. «Це не является подмножеством дэ».

2. «Множество $\text{C}$ не является подмножеством множества $\text{D}$».

3. «Множество $\text{C}$ не содержится в множестве $\text{D}$».

Ответ: Запись $C \nsubseteq D$ означает, что множество $\text{C}$ не является подмножеством множества $\text{D}$, то есть в $\text{C}$ есть хотя бы один элемент, которого нет в $\text{D}$. Прочитать ее можно как «C не является подмножеством D» или «C не содержится в D».

Почему для любого множества пустое множество и само множество являются его подмножествами?

Это следует напрямую из определения подмножества. Давайте рассмотрим оба случая для произвольного множества $\text{A}$.

1. Пустое множество ($\emptyset$) является подмножеством любого множества $\text{A}$.

Определение подмножества: множество $\text{X}$ является подмножеством $\text{Y}$ ($X \subseteq Y$), если для любого элемента $\text{x}$ из $\text{X}$ следует, что $\text{x}$ также является элементом $\text{Y}$. Чтобы доказать, что $\emptyset \subseteq A$, нужно проверить истинность утверждения: «для любого элемента $\text{x}$, если $x \in \emptyset$, то $x \in A$».

По определению, в пустом множестве $\emptyset$ нет ни одного элемента. Поэтому посылка (первая часть утверждения) «$x \in \emptyset$» всегда ложна. В математической логике утверждение «если $\text{P}$, то $\text{Q}$» считается истинным, если $\text{P}$ ложно, независимо от истинности $\text{Q}$. Этот принцип известен как «истина из ложной посылки» (vacuous truth).

Так как невозможно найти элемент в пустом множестве, который бы не принадлежал множеству $\text{A}$, условие подмножества выполняется. Следовательно, пустое множество является подмножеством любого множества.

2. Само множество $\text{A}$ является своим подмножеством.

Чтобы доказать, что $A \subseteq A$, нужно проверить, что каждый элемент множества $\text{A}$ также является элементом множества $\text{A}$. Это утверждение является тавтологией (оно всегда истинно). Для любого элемента $\text{x}$, если мы знаем, что $x \in A$, то утверждение $x \in A$ очевидно истинно.

Таким образом, так как каждый элемент множества $\text{A}$ принадлежит самому себе, любое множество является своим собственным подмножеством.

Ответ: Пустое множество является подмножеством любого множества $\text{A}$, так как в пустом множестве нет элементов, которые бы не принадлежали $\text{A}$. Само множество $\text{A}$ является своим подмножеством, так как каждый элемент из $\text{A}$ тривиально принадлежит $\text{A}$. Оба утверждения следуют из формального определения подмножества.