номер 361, страница 126, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

361. На столе 5 чашек. Если переворачиваем одновременно любые две чашки, то можно ли поставить все чашки дном вверх?

Для решения этой задачи проанализируем, как изменяется количество чашек, стоящих дном вверх. Введем понятие инварианта — величины, которая сохраняет свое свойство (в данном случае, четность) при выполнении заданных операций.

Пусть $\text{k}$ — это количество чашек, стоящих дном вверх. Предположим, что изначально все чашки стоят правильно, то есть дном вниз. В этом случае в начальном состоянии $k = 0$. Цель — добиться, чтобы все 5 чашек стояли дном вверх, то есть чтобы $k = 5$.

Рассмотрим, как меняется $\text{k}$ при переворачивании двух чашек:

1. Если мы переворачиваем две чашки, стоящие дном вниз, то обе они становятся перевернутыми. Количество чашек дном вверх увеличивается на 2. Изменение: $k \rightarrow k + 2$.

2. Если мы переворачиваем две чашки, которые уже стоят дном вверх, то обе они становятся в правильное положение. Количество чашек дном вверх уменьшается на 2. Изменение: $k \rightarrow k - 2$.

3. Если мы переворачиваем одну чашку, стоящую дном вниз, и одну — дном вверх, то их состояния меняются на противоположные. Одна чашка становится перевернутой, а другая — нет. Общее количество чашек дном вверх не меняется. Изменение: $k \rightarrow k - 1 + 1 = k$.

Как видно из всех случаев, при каждом шаге количество чашек, стоящих дном вверх, изменяется на четное число (2, -2 или 0). Это означает, что четность количества перевернутых чашек не меняется в ходе операций. Эта четность является инвариантом.

В начальном состоянии количество перевернутых чашек равно 0 — это четное число. Следовательно, после любого числа таких операций количество перевернутых чашек всегда будет оставаться четным.

Целевое состояние — 5 перевернутых чашек. Число 5 является нечетным. Поскольку из состояния с четным числом перевернутых чашек невозможно перейти в состояние с нечетным числом, достичь цели нельзя.

Ответ: Нет, поставить все чашки дном вверх невозможно.