номер 1, страница 82, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1. В каком случае произведение делится на данное число?

Произведение нескольких чисел делится на данное число в двух основных случаях, которые вытекают из свойств делимости и основной теоремы арифметики.

1. Простой и достаточный случай

Основное и наиболее часто используемое правило гласит: произведение делится на данное число, если хотя бы один из множителей делится на это число. Это легко доказать. Пусть есть произведение $P = a \cdot b \cdot c$ и число $\text{n}$. Если предположить, что множитель $\text{a}$ делится на $\text{n}$, то его можно записать в виде $a = k \cdot n$, где $\text{k}$ — некоторое целое число.

Тогда всё произведение можно представить следующим образом: $P = (k \cdot n) \cdot b \cdot c = n \cdot (k \cdot b \cdot c)$.

Поскольку $\text{k}$, $\text{b}$ и $\text{c}$ — целые числа, их произведение $(k \cdot b \cdot c)$ также является целым числом. Таким образом, произведение $\text{P}$ равно числу $\text{n}$, умноженному на целое число, что по определению означает, что $\text{P}$ делится на $\text{n}$.

Пример: Делится ли произведение $18 \times 11 \times 23$ на 9?

Да, так как один из множителей, число 18, делится на 9 ($18 \div 9 = 2$). Следовательно, всё произведение $18 \times 11 \times 23 = 4554$ также будет делиться на 9 ($4554 \div 9 = 506$).

2. Общий случай (с использованием простых множителей)

Бывают ситуации, когда ни один из множителей в произведении не делится на данное число, однако само произведение делится. Это возможно, если данное число является составным, и его простые множители "распределены" между сомножителями произведения.

Общее правило, которое охватывает все ситуации, основано на разложении чисел на простые множители. Оно звучит так: произведение делится на данное число тогда и только тогда, когда в совокупности простых множителей всех сомножителей произведения содержатся все простые множители данного числа (с учетом их степеней).

Пример: Делится ли произведение $10 \times 12$ на 15?

Ни 10, ни 12 не делятся на 15 без остатка.

Разложим делитель и множители на простые множители:

• Делитель: $15 = 3 \times 5$. Для делимости на 15 необходимо наличие множителей 3 и 5.
• Множитель 1: $10 = 2 \times 5$.
• Множитель 2: $12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$.

В этом наборе есть и множитель 3 (из числа 12), и множитель 5 (из числа 10). Значит, все необходимые для делимости на 15 простые множители присутствуют.

Проверка: $10 \times 12 = 120$. $120 \div 15 = 8$. Произведение делится нацело.

Ответ: Произведение делится на данное число, если:

1) Хотя бы один из множителей делится на это число.

2) В общем случае — если совокупность простых множителей всех сомножителей произведения содержит все простые множители, из которых состоит данное число (с учетом их количества).