номер 3, страница 82, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

3. В каком случае разность делится на данное число?

Разность двух чисел $a - b$ делится на данное число $\text{c}$ в том случае, когда уменьшаемое $\text{a}$ и вычитаемое $\text{b}$ имеют одинаковые остатки при делении на число $\text{c}$. Это свойство делимости можно доказать и рассмотреть на примерах.

Общее правило

Сформулируем основное правило: разность двух чисел делится на некоторое число тогда и только тогда, когда эти два числа дают одинаковый остаток при делении на это число.

Пусть при делении числа $\text{a}$ на число $\text{c}$ в частном получается $q_1$ и в остатке $\text{r}$, то есть $a = q_1 \cdot c + r$.

И пусть при делении числа $\text{b}$ на число $\text{c}$ в частном получается $q_2$ и в остатке тот же самый $\text{r}$, то есть $b = q_2 \cdot c + r$.

Тогда их разность будет равна:

$a - b = (q_1 \cdot c + r) - (q_2 \cdot c + r) = q_1 \cdot c + r - q_2 \cdot c - r = (q_1 - q_2) \cdot c$

Полученное выражение $(q_1 - q_2) \cdot c$ очевидно делится на $\text{c}$, так как одним из его множителей является $\text{c}$. Это доказывает правило.

Рассмотрим два частных случая, которые вытекают из этого общего правила.

Случай 1: Уменьшаемое и вычитаемое делятся на данное число

Это частный случай общего правила, когда остаток от деления равен 0.

Если уменьшаемое $\text{a}$ делится на $\text{c}$ и вычитаемое $\text{b}$ делится на $\text{c}$, то их разность $a - b$ также делится на $\text{c}$.

Пример:

Проверим, делится ли разность $56 - 24$ на $\text{8}$.

Число $56$ делится на $\text{8}$ ($56 = 7 \cdot 8$).

Число $24$ делится на $\text{8}$ ($24 = 3 \cdot 8$).

Следовательно, их разность должна делиться на $\text{8}$.

$56 - 24 = 32$.

$32$ действительно делится на $\text{8}$ ($32 = 4 \cdot 8$).

Случай 2: Уменьшаемое и вычитаемое имеют одинаковый ненулевой остаток

Это основное применение общего правила.

Пример:

Проверим, делится ли разность $65 - 37$ на $\text{7}$.

Найдем остаток от деления $65$ на $\text{7}$: $65 = 9 \cdot 7 + 2$. Остаток равен $\text{2}$.

Найдем остаток от деления $37$ на $\text{7}$: $37 = 5 \cdot 7 + 2$. Остаток равен $\text{2}$.

Так как остатки одинаковы, разность $65 - 37$ должна делиться на $\text{7}$.

$65 - 37 = 28$.

$28$ действительно делится на $\text{7}$ ($28 = 4 \cdot 7$).

Ответ: Разность двух чисел делится на данное число, если уменьшаемое и вычитаемое имеют одинаковые остатки при делении на это число. В частности, если и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на данное число (т.е. остаток от деления равен нулю), то их разность также делится на это число.