номер 2, страница 82, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

2. Как узнать, делится ли сумма чисел на данное число?

Чтобы определить, делится ли сумма нескольких чисел на заданное число (делитель), можно воспользоваться свойством делимости суммы. Существует два основных способа проверки.

Способ 1: Прямое вычисление

Это самый простой и интуитивно понятный метод. Алгоритм действий следующий: сначала вычисляется сумма всех чисел, а затем проверяется, делится ли полученный результат на заданное число без остатка. Например, чтобы проверить, делится ли сумма $a_1 + a_2 + ... + a_n$ на число $\text{d}$, нужно вычислить $S = a_1 + a_2 + ... + a_n$ и затем проверить, является ли остаток от деления $\text{S}$ на $\text{d}$ равным нулю.

Способ 2: Использование свойства остатков

Этот метод основан на фундаментальном свойстве в теории чисел, которое часто называют свойством делимости суммы. Оно гласит: сумма чисел делится на некоторое число тогда и только тогда, когда сумма остатков от деления этих чисел на это же число делится на него.

Это можно записать математически. Пусть у нас есть слагаемые $a_1, a_2, ..., a_n$ и делитель $\text{d}$. Пусть $r_i$ — это остаток от деления $a_i$ на $\text{d}$. Тогда сумма $S = a_1 + a_2 + ... + a_n$ делится на $\text{d}$ в том и только в том случае, если сумма остатков $R = r_1 + r_2 + ... + r_n$ делится на $\text{d}$.

Этот способ особенно удобен, когда слагаемые — большие числа, так как он позволяет работать с их остатками, которые всегда меньше делителя.

Пример

Рассмотрим вопрос: делится ли сумма чисел $52 + 79 + 125$ на $\text{5}$?

Проверка Способом 1:

Сначала найдем сумму: $52 + 79 + 125 = 256$. Теперь разделим сумму на $\text{5}$: $256 \div 5 = 51$ с остатком $\text{1}$. Так как остаток не равен нулю, сумма не делится на $\text{5}$.

Проверка Способом 2:

Найдем остатки от деления каждого слагаемого на $\text{5}$: остаток от деления $52$ на $\text{5}$ равен $\text{2}$; остаток от деления $79$ на $\text{5}$ равен $\text{4}$; остаток от деления $125$ на $\text{5}$ равен $\text{0}$. Теперь сложим эти остатки: $2 + 4 + 0 = 6$. Проверим, делится ли сумма остатков, то есть $\text{6}$, на $\text{5}$. Деление $\text{6}$ на $\text{5}$ дает в остатке $\text{1}$. Так как сумма остатков не делится на $\text{5}$, то и исходная сумма чисел не делится на $\text{5}$.

Частный случай

Важно отметить, что если каждое слагаемое в сумме делится на заданное число, то и вся сумма будет делиться на это число. Например, сумма $10+15+20$ делится на $\text{5}$, потому что каждое из чисел $10, 15, 20$ делится на $\text{5}$. Однако обратное утверждение неверно. Сумма может делиться на число, даже если ни одно из слагаемых на него не делится (например, $2 + 3 = 5$, сумма делится на $\text{5}$, но слагаемые нет).

Ответ: Чтобы узнать, делится ли сумма чисел на данное число, необходимо сложить остатки от деления каждого из этих чисел на данное число. Если полученная сумма остатков делится на данное число, то и исходная сумма чисел делится на него. В противном случае — не делится. Альтернативно, можно просто вычислить полную сумму чисел и проверить ее делимость на данное число.