Номер 9, страница 6 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 1. Линии. 1.1. Разнообразный мир линий. Вопросы - номер 9, страница 6.

Условие.

На сколько областей делит плоскость линия (3) (см. рис. 1.2)? линия (5)? линия (8)?

Решение 6.

Поскольку изображение "рис. 1.2" недоступно, решение основано на наиболее вероятных и стандартных для таких задач типах линий.

линия ③

Предположим, что линия ③ представляет собой простую замкнутую кривую без самопересечений (например, окружность или овал). Согласно теореме Жордана, любая такая линия делит плоскость ровно на две области: внутреннюю (ограниченную) и внешнюю (неограниченную). Таким образом, плоскость делится на 2 области.

Ответ: 2

линия ⑤

Предположим, что линия ⑤ является замкнутой кривой с самопересечениями в форме пятиконечной звезды (пентаграммы), нарисованной одной линией. Чтобы найти количество областей, на которые такая линия делит плоскость, можно воспользоваться формулой Эйлера для связного плоского графа: $V - E + F = 2$, где $V$ – количество вершин (точек самопересечения), $E$ – количество рёбер (участков линии между вершинами), а $F$ – количество областей (включая внешнюю неограниченную область).

Для пятиконечной звезды:
- Количество вершин $V = 5$ (пять точек, где линия пересекает сама себя).
- Количество рёбер $E = 10$ (пять внешних отрезков, образующих лучи, и пять отрезков, образующих внутренний пятиугольник).

Подставим эти значения в формулу Эйлера:
$5 - 10 + F = 2$
$-5 + F = 2$
$F = 7$

Следовательно, линия в виде пятиконечной звезды делит плоскость на 7 областей (1 центральная, 5 "лучевых" и 1 внешняя).

Ответ: 7

линия ⑧

Предположим, что линия ⑧ представляет собой замкнутую кривую с одним самопересечением, похожую на цифру 8 или знак бесконечности ("восьмёрка"). Такая линия образует две петли, которые соприкасаются в одной точке.

Подсчитать области можно напрямую: есть две внутренние области (внутри каждой петли) и одна внешняя область, которая окружает всю фигуру. Всего получается 3 области.

Этот же результат можно получить по формуле Эйлера. Для "восьмёрки":
- Количество вершин $V = 1$ (одна точка самопересечения).
- Количество рёбер $E = 2$ (две петли).

Подставляем в формулу $V - E + F = 2$:
$1 - 2 + F = 2$
$-1 + F = 2$
$F = 3$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 3