Номер 1.3, страница 7 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 1.1. Разнообразный мир линий. Глава 1. Линии - номер 1.3, страница 7.

1.3 Возьмите кубик и на его поверхности проведите мелом линию так, как нарисовано на рисунке 1.3. Попробуйте сделать такую же линию из куска проволоки.

1.3

Задача предлагает провести на поверхности куба замкнутую линию, которая последовательно соединяет середины шести его ребер, а затем попробовать изготовить такую же линию из проволоки.

Выполнение этого задания приводит к интересному наблюдению. Хотя линия нарисована на трехмерном объекте (кубе) и огибает его грани, изготовленная из проволоки модель этой линии оказывается плоской фигурой. Более того, эта фигура является правильным шестиугольником.

Это наблюдение имеет строгое математическое обоснование.
Пусть длина ребра куба равна $a$. Каждый из шести отрезков, образующих нарисованную линию, соединяет середины двух ребер, принадлежащих соседним граням куба. Чтобы найти длину одного такого отрезка, можно рассмотреть развертку этих двух граней. На развертке этот отрезок окажется гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны половине длины ребра куба, то есть $a/2$.
По теореме Пифагора, длина $L$ каждого из шести отрезков линии равна:
$L = \sqrt{(a/2)^2 + (a/2)^2} = \sqrt{a^2/4 + a^2/4} = \sqrt{2a^2/4} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Поскольку все шесть отрезков имеют одинаковую длину, полученная из проволоки фигура является равносторонним шестиугольником.

Можно также математически доказать, что все шесть вершин этого шестиугольника (то есть середины соответствующих ребер куба) лежат в одной плоскости. Благодаря высокой симметрии куба, все внутренние углы этого плоского шестиугольника также равны между собой (каждый угол равен 120°). Следовательно, фигура является правильным шестиугольником.
Проверить это можно и на практике: если положить проволочную модель на стол или любую другую ровную поверхность, она приляжет к ней полностью, без зазоров.

Ответ: Изготовленная из проволоки линия будет иметь форму плоского правильного шестиугольника.