Страница 7 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

1.3 Возьмите кубик и на его поверхности проведите мелом линию так, как нарисовано на рисунке 1.3. Попробуйте сделать такую же линию из куска проволоки.

1.3

Задача предлагает провести на поверхности куба замкнутую линию, которая последовательно соединяет середины шести его ребер, а затем попробовать изготовить такую же линию из проволоки.

Выполнение этого задания приводит к интересному наблюдению. Хотя линия нарисована на трехмерном объекте (кубе) и огибает его грани, изготовленная из проволоки модель этой линии оказывается плоской фигурой. Более того, эта фигура является правильным шестиугольником.

Это наблюдение имеет строгое математическое обоснование.
Пусть длина ребра куба равна $a$. Каждый из шести отрезков, образующих нарисованную линию, соединяет середины двух ребер, принадлежащих соседним граням куба. Чтобы найти длину одного такого отрезка, можно рассмотреть развертку этих двух граней. На развертке этот отрезок окажется гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны половине длины ребра куба, то есть $a/2$.
По теореме Пифагора, длина $L$ каждого из шести отрезков линии равна:
$L = \sqrt{(a/2)^2 + (a/2)^2} = \sqrt{a^2/4 + a^2/4} = \sqrt{2a^2/4} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Поскольку все шесть отрезков имеют одинаковую длину, полученная из проволоки фигура является равносторонним шестиугольником.

Можно также математически доказать, что все шесть вершин этого шестиугольника (то есть середины соответствующих ребер куба) лежат в одной плоскости. Благодаря высокой симметрии куба, все внутренние углы этого плоского шестиугольника также равны между собой (каждый угол равен 120°). Следовательно, фигура является правильным шестиугольником.
Проверить это можно и на практике: если положить проволочную модель на стол или любую другую ровную поверхность, она приляжет к ней полностью, без зазоров.

Ответ: Изготовленная из проволоки линия будет иметь форму плоского правильного шестиугольника.

1.4 НАБЛЮДАЕМ

Автомобильная развязка, изображённая на фотографии, носит название «бабочка» за внешнее сходство с этим насекомым. А что она представляет собой с точки зрения геометрии? Как здесь решена проблема пересечения автомобильных дорог? Какие ещё способы решения этой проблемы вы знаете?

А что она представляет собой с точки зрения геометрии?

С точки зрения геометрии, автомобильная развязка типа «бабочка» (также известная как «расходящийся алмаз» или Diverging Diamond Interchange) представляет собой сложную пространственную конструкцию, которая включает в себя следующие геометрические элементы:

• Пересекающиеся линии в разных плоскостях: Две основные автомагистрали пересекаются на разных уровнях (одна проходит над другой по эстакаде или мосту). В пространстве их осевые линии являются скрещивающимися прямыми или кривыми.
• Кривые линии: Соединительные дороги (съезды и заезды) представляют собой кривые, которые в дорожном проектировании часто описываются дугами окружностей или более сложными кривыми, такими как клотоиды, для обеспечения плавного и безопасного маневрирования транспортных средств.
• Симметрия: Структура развязки часто обладает центральной симметрией относительно точки пересечения осей двух дорог. Если углы пересечения и съезды идентичны, она также может иметь осевую симметрию.
• Точки пересечения на одной плоскости: На второстепенной дороге есть две точки, где траектории движения встречных потоков пересекаются. Это происходит на двух регулируемых перекрестках, где дорога фактически переходит с правостороннего на левостороннее движение и обратно.

Таким образом, это комбинация прямых, кривых и поверхностей, расположенных в трехмерном пространстве на разных уровнях и обладающих определенными свойствами симметрии.

Ответ: С точки зрения геометрии, развязка «бабочка» — это пространственная система, состоящая из скрещивающихся на разных уровнях основных дорог, соединенных плавными кривыми (съездами), и имеющая два локальных пересечения траекторий на второстепенной дороге. Вся структура, как правило, симметрична.

Как здесь решена проблема пересечения автомобильных дорог?

Проблема пересечения автомобильных дорог — это управление конфликтующими потоками транспорта для предотвращения аварий и заторов. В развязке типа «бабочка» эта проблема решается комплексно и эффективно:

• Разделение по уровням: Главное решение — это постройка одной дороги над другой (с помощью эстакады или моста). Это полностью устраняет конфликт между транспортными потоками, движущимися прямо по обеим магистралям.
• Устранение «левого поворота» через встречную полосу: Ключевая особенность развязки — это временная смена полос на второстепенной дороге. Перед мостом автомобили по светофору переезжают на левую (встречную) сторону дороги и проезжают так до следующего светофора за мостом, где возвращаются на свою сторону. Благодаря этому маневру, поворот налево для выезда на главную магистраль осуществляется без пересечения встречного потока. Это самый опасный и медленный маневр на обычном перекрестке, и здесь он исключен.
• Эффективное светофорное регулирование: Так как конфликт левых поворотов устранен, светофоры на двух перекрестках развязки работают в очень простом двухфазном режиме (одна фаза для прямого движения по второстепенной дороге, вторая — для выезжающих с главной). Это значительно сокращает время ожидания и увеличивает пропускную способность по сравнению с традиционными перекрестками, требующими 3-4 фазы регулирования.

Ответ: Проблема пересечения решена за счет разделения основных дорог по разным уровням и уникальной схемы движения на второстепенной дороге, которая временно меняет направление движения на левостороннее, что позволяет исключить конфликтные левые повороты и упростить работу светофоров.

Какие ещё способы решения этой проблемы вы знаете?

Существует множество типов дорожных развязок и перекрестков, предназначенных для решения проблемы пересечения дорог. Вот некоторые из них:

• Пересечение в одном уровне: Самый простой способ, где дороги пересекаются на одной высоте. Движение может регулироваться:
  • Светофорами.
  • Знаками приоритета (главная и второстепенная дорога).
  • Круговым движением (кольцевая развязка в одном уровне).
• Развязка «Клеверный лист»: Классическая разноуровневая развязка, позволяющая совершать все повороты без остановки. Однако она занимает много места и имеет недостаток в виде зон «сплетения» потоков, где въезжающие и съезжающие автомобили вынуждены перестраиваться на коротком участке.
• Ромбовидная развязка («Алмаз»): Простая и компактная разноуровневая развязка, где съезды с главной дороги образуют два перекрестка (обычно регулируемых) на второстепенной. Развязка «бабочка» является её усовершенствованной версией.
• Турбинная развязка: Сложная многоуровневая развязка с направленными спиралевидными съездами, которая обеспечивает высокую скорость движения для всех направлений. Она безопаснее «клеверного листа», так как не имеет зон сплетения потоков, но значительно дороже в строительстве.
• Штабельная (многоуровневая) развязка: Самый производительный, но и самый дорогой тип развязки. Съезды для поворотов располагаются на нескольких уровнях (3, 4 или даже 5) друг над другом. Используется для пересечения самых загруженных автомагистралей.

Ответ: Другие способы решения проблемы пересечения дорог включают в себя как простые одноуровневые перекрестки (регулируемые светофорами или круговым движением), так и сложные разноуровневые развязки, такие как «клеверный лист», «ромб», «турбина» и многоуровневые (штабельные) развязки.

1.5 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ На рисунке 1.4 изображена спираль, рассмотрите её. Ответьте на вопрос и выполните задания:

1) В каком направлении раскручивается спираль: по часовой стрелке или против часовой стрелки?

2) Этой спирали соответствует последовательность чисел: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4. Продолжите эту последовательность.

3) Перечертите спираль в тетрадь, добавив ещё несколько звеньев.

4) Начертите такую же спираль, раскручивающуюся по часовой стрелке.

1)

Чтобы определить направление раскручивания спирали, необходимо рассмотреть, как она строится. Спираль, соответствующая последовательности длин звеньев 1, 1, 2, 2, 3, 3, ..., обычно рисуется на квадратной сетке. Движение начинается из центра, и после каждого звена (отрезка) совершается поворот на 90 градусов в одну и ту же сторону. Чтобы спираль раскручивалась (удалялась от центра), последовательность направлений должна быть, например, такой: вправо (длина 1), вверх (длина 1), влево (длина 2), вниз (длина 2), вправо (длина 3) и так далее. Каждый поворот в этой последовательности является левым. Движение с постоянными левыми поворотами является движением против часовой стрелки.

Ответ: Спираль раскручивается против часовой стрелки.

2)

В данной последовательности чисел $1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4$ наблюдается простая закономерность: каждое натуральное число, начиная с единицы, повторяется ровно два раза. Следуя этому правилу, за двумя четверками должны идти две пятерки, затем две шестерки, и так далее.

Ответ: $1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, ...$

3)

Чтобы достроить спираль, мы продолжаем добавлять звенья, длины которых соответствуют продолженной последовательности ($5, 5, 6, 6, ...$), совершая после каждого звена поворот на 90 градусов против часовой стрелки. На чертеже ниже показана спираль, достроенная до звеньев с длиной 6.

Ответ: Чертеж спирали с добавленными звеньями представлен на рисунке выше.

4)

Спираль, которая раскручивается по часовой стрелке, строится аналогично, но все повороты на 90 градусов совершаются вправо (по часовой стрелке). Последовательность направлений звеньев будет, например, такой: вправо, вниз, влево, вверх, вправо и так далее.

Ответ: Чертеж спирали, раскручивающейся по часовой стрелке, представлен на рисунке выше.

1.6 ИЩЕМ СПОСОБ КОПИРОВАНИЯ

На рисунке 1.5 изображён орнамент.

Он получается повторением одного и того же базового элемента.

1) Мысленно выделите базовый элемент и изобразите его в тетради.

2) Начертите такой орнамент, повторив базовый элемент 5 раз.

Поскольку в задании отсутствует сам рисунок 1.5 с орнаментом, мы рассмотрим решение на примере одного из самых распространенных типов орнамента — волнистой линии (так называемой «бегущей волны»).

1)
Базовый элемент — это минимальный повторяющийся фрагмент, из которого строится весь орнамент. Для волнистой линии базовым элементом является один "изгиб" или одна полная волна. Если мысленно выделить этот элемент, он будет выглядеть как S-образная кривая.
Изображение базового элемента:

Ответ: Базовый элемент представляет собой единичный фрагмент волны, как показано на рисунке.

2)
Чтобы начертить орнамент, нужно последовательно соединить 5 базовых элементов. Каждый следующий элемент начинается там, где заканчивается предыдущий, продолжая волнистую линию.
Изображение орнамента из 5 элементов:

Ответ: Орнамент, полученный путем пятикратного повторения базового элемента, изображен на рисунке выше.

1.7 НАБЛЮДАЕМ

Найдите на карте России область (республику, край), в которой вы живёте. Что представляет собой её граница? Есть ли у этой границы части, совпадающие с границей России? Сколько рядом с вами областей-соседей?

Рис. 1.4

Рис. 1.5

Этот вопрос предполагает ответ, зависящий от вашего личного места жительства. Поскольку я являюсь искусственным интеллектом и не живу в каком-либо конкретном регионе, я приведу развернутый ответ на примере двух субъектов Российской Федерации: Московской области (которая не имеет выхода к государственной границе) и Псковской области (которая имеет выход к государственной границе).

Пример 1: Московская область

Для ответа на вопросы в качестве примера выберем Московскую область.

Что представляет собой её граница?
Граница Московской области представляет собой сложную замкнутую кривую линию, которая отделяет её территорию от соседних областей. Она не имеет простой геометрической формы, а следует исторически сложившимся рубежам, часто проходя по рекам, лесам и другим природным объектам, а также по границам населенных пунктов и хозяйственных угодий. Общая протяженность границ Московской области составляет около 2200 км.
Ответ: Граница представляет собой сложную замкнутую линию без простой геометрической формы, определяемую историческими и природными рубежами.

Есть ли у этой границы части, совпадающие с границей России?
Московская область является внутренним регионом Российской Федерации и окружена другими субъектами РФ со всех сторон. Поэтому у её границы нет участков, которые бы совпадали с государственной границей России.
Ответ: Нет, таких частей нет.

Сколько рядом с вами областей-соседей?
Московская область граничит с семью другими областями (субъектами Российской Федерации):
- на северо-западе и севере — с Тверской областью;
- на севере — с Ярославской областью;
- на северо-востоке и востоке — с Владимирской областью;
- на юго-востоке — с Рязанской областью;
- на юге — с Тульской областью;
- на юго-западе — с Калужской областью;
- на западе — со Смоленской областью.
Таким образом, у Московской области 7 областей-соседей.
Ответ: 7 областей-соседей.

Пример 2: Псковская область

Для ответа на вопросы в качестве примера выберем Псковскую область.

Что представляет собой её граница?
Граница Псковской области — это также сложная замкнутая линия. Её западная часть проходит по Псковско-Чудскому озеру, которое является крупным природным рубежом. Остальная часть границы, как внутренняя, так и внешняя, определяется историческими и административными рубежами.
Ответ: Граница является сложной замкнутой линией, часть которой проходит по крупному озеру, а остальная часть — по историческим и административным рубежам.

Есть ли у этой границы части, совпадающие с границей России?
Да, Псковская область является приграничным регионом России. Значительная часть её границы на западе и юго-западе совпадает с государственной границей Российской Федерации. Псковская область граничит с тремя иностранными государствами:
- Эстонией на северо-западе;
- Латвией на юго-западе;
- Белоруссией на юге.
Ответ: Да, есть. Граница Псковской области совпадает с государственной границей РФ на участках с Эстонией, Латвией и Белоруссией.

Сколько рядом с вами областей-соседей?
Помимо границ с другими государствами, Псковская область имеет и внутренние границы с другими субъектами Российской Федерации. Таких регионов-соседей четыре:
- на севере — с Ленинградской областью;
- на востоке — с Новгородской областью;
- на юго-востоке — с Тверской областью;
- на юге — со Смоленской областью.
Ответ: 4 области-соседа (не считая иностранных государств).