Страница 8 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

1.8 РАССУЖДАЕМ

Главный судья автомобильных гонок должен обязательно присутствовать и на старте, и на финише. Каким из известных вам свойств линий должна обладать трасса гонок? Какие из нарисованных на рисунке 1.6 линий могут изображать трассу для проведения автомобильных гонок?

Рис. 1.6

Каким из известных вам свойств линий должна обладать трасса гонок?

Согласно условию задачи, главный судья должен находиться на старте и на финише одновременно. Это возможно только в том случае, если точка старта и точка финиша — это одна и та же точка в пространстве. Линия, у которой начало и конец совпадают, называется замкнутой линией. Следовательно, трасса гонок должна быть замкнутой.
Ответ: трасса гонок должна быть замкнутой линией.

Какие из нарисованных на рисунке 1.6 линий могут изображать трассу для проведения автомобильных гонок?

Исходя из того, что трасса должна быть замкнутой линией, проанализируем предложенные варианты:
- Линия 1 является незамкнутой (разомкнутой), так как ее начальная и конечная точки не совпадают.
- Линия 2 также является незамкнутой, ее начало и конец находятся в разных местах.
- Линия 3 представляет собой замкнутую линию. Любая точка на этой линии может служить одновременно и стартом, и финишем.
Таким образом, только линия 3 подходит для проведения автомобильных гонок в соответствии с заданным условием.
Ответ: линия 3.

1.9 Ищем способ копирования

Скопируйте овал (рис. 1.7), используя клетки. Для этого:

1) Обратите внимание, что четыре точки на овале разбили его на 4 фрагмента.

2) Чтобы нарисовать один из фрагментов, отсчитайте от центральной точки 5 клеток влево и отметьте левую точку, затем отсчитайте от центра 2 клетки вверх и отметьте верхнюю точку. Соедините точки линией так же, как на рисунке.

Рис. 1.7

3) Отметьте правую точку и нарисуйте следующий фрагмент.

4) Так же нарисуйте два нижних фрагмента.

1) В задании обращается внимание на то, что овал можно рассматривать как фигуру, состоящую из четырех симметричных фрагментов (дуг). Границами этих фрагментов служат четыре основные точки: самая левая, самая правая, самая верхняя и самая нижняя.

Ответ: Четыре точки, расположенные на крайних позициях овала (слева, справа, сверху и снизу), делят его на четыре симметричных фрагмента.

2) Для того чтобы нарисовать первый, левый верхний, фрагмент, необходимо выполнить следующие действия на листе в клетку:
1. Выбрать произвольную точку, которая будет центром овала. Примем ее за начало координат $O(0, 0)$.
2. Отсчитать от центра 5 клеток влево и отметить левую точку $L(-5, 0)$.
3. Отсчитать от центра 2 клетки вверх и отметить верхнюю точку $T(0, 2)$.
4. Соединить точки $L$ и $T$ плавной дугой, повторяя ее изгиб как на рисунке 1.7. Дуга должна быть выпуклой вверх и влево.

Ответ: Для построения первого фрагмента необходимо отметить на сетке левую точку с координатами $(-5, 0)$ и верхнюю точку с координатами $(0, 2)$ относительно выбранного центра, а затем соединить их плавной кривой, как на образце.

3) Следующий, правый верхний, фрагмент рисуется с использованием симметрии:
1. Отметить правую точку $R$. Так как овал симметричен, эта точка будет находиться на расстоянии 5 клеток вправо от центра, ее координаты $R(5, 0)$.
2. Соединить верхнюю точку $T(0, 2)$ и правую точку $R(5, 0)$ дугой. Эта дуга должна быть зеркальным отражением первого фрагмента относительно вертикальной оси, проходящей через центр овала.

Ответ: Для второго фрагмента отмечается правая точка с координатами $(5, 0)$, которая затем соединяется с верхней точкой $(0, 2)$ дугой, симметричной первой дуге.

4) Два нижних фрагмента рисуются аналогично, используя симметрию относительно горизонтальной оси:
1. Отметить нижнюю точку $B$. Она симметрична верхней точке и находится на 2 клетки ниже центра, ее координаты $B(0, -2)$.
2. Нарисовать левый нижний фрагмент, соединив левую точку $L(-5, 0)$ и нижнюю точку $B(0, -2)$. Эта дуга симметрична левому верхнему фрагменту.
3. Нарисовать правый нижний фрагмент, соединив правую точку $R(5, 0)$ и нижнюю точку $B(0, -2)$. Эта дуга симметрична правому верхнему фрагменту.
После выполнения всех шагов получится замкнутая фигура — овал.

Ответ: Для завершения овала отмечается нижняя точка с координатами $(0, -2)$. Затем рисуются два нижних фрагмента: один соединяет левую и нижнюю точки, другой — правую и нижнюю. Оба фрагмента симметричны соответствующим верхним фрагментам.

1.10 Воспроизведите узор, изображённый на рисунке 1.8. Из какого количества линий он состоит?

Для ответа на данный вопрос необходимо изображение узора (рисунок 1.8), которое не было предоставлено. В тексте задания содержится только формулировка вопроса.

Пожалуйста, предоставьте изображение рисунка 1.8 для получения полного решения.

1.11 НАБЛЮДАЕМ И ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ

Кусок верёвки выложен так, как показано на рисунке 1.9, а–в. Как вы думаете, завяжется ли узел, если потянуть за концы шнура? Проверьте себя, проведя эксперимент.

Рис. 1.8

Рис. 1.9

а) б) в)

Для того чтобы определить, завяжется ли узел, необходимо проанализировать, как части верёвки переплетены между собой. Узел образуется, если одна часть верёвки создаёт петлю, а другая проходит через неё таким образом, что при натяжении концов петля затягивается и фиксирует проходящую через неё часть.

а)

В данной конфигурации левый конец верёвки проходит сначала над правой стороной большой петли, а затем под левой стороной. Это создаёт зацепление. Когда мы потянем за оба конца, петли начнут затягиваться, и в результате образуется простой узел. Эксперимент с реальной верёвкой или шнурком подтверждает этот вывод.
Ответ: Да, узел завяжется.

б)

Здесь верёвка уложена в виде двух петель, но она нигде не проходит сама через себя, образуя замкнутую структуру. Пересечения, которые мы видим, — это просто наложения одной части верёвки на другую. Если потянуть за концы, верёвка свободно выпрямится, поскольку петли просто "соскользнут" и исчезнут. Узел не образуется.
Ответ: Нет, узел не завяжется.

в)

В этом случае в нижней части верёвка образует петлю, проходя под самой собой. Это является основой для простого узла. Несмотря на сложную форму верхней части, ключевое переплетение уже создано. При натяжении концов верёвки нижняя петля затянется, формируя надёжный узел.
Ответ: Да, узел завяжется.