Страница 12 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

1.22 НАБЛЮДАЕМ На рисунке 1.17 изображён куб.

1) Назовите: а) все отрезки, одним из концов кото-рых является точка $M$; б) какую-нибудь ломаную, со-стоящую из трёх отрезков; в) несколько ломаных, по-которым можно пройти из точки $A$ в точку $K$.

2) Какой путь короче: $ABKM$ или $ABCDNM$? Назовите ещё какой-нибудь путь такой же длины, что и $ABKM$, и путь такой же длины, что и $ABCDNM$.

3) Сколько кусков проволоки нужно взять, чтобы спаять из них каркас куба?

Рис. 1.17

1)

а) Точка M является одной из вершин куба. Из каждой вершины куба выходит по три ребра. Судя по рисунку, вершина M соединена рёбрами с вершинами K, C и N.

Ответ: MK, MC, MN.

б) Ломаная линия — это линия, составленная из последовательно соединённых отрезков. Чтобы составить ломаную из трёх отрезков, нужно выбрать путь, проходящий через четыре вершины. Например, путь из вершины A через B и K в M.

Ответ: ABKM (состоит из отрезков AB, BK, KM).

в) Пройти из точки А в точку K по рёбрам куба можно разными путями (ломаными). Вот несколько примеров:

• Путь из двух отрезков: A → B → K. Ломаная ABK.
• Другой путь из двух отрезков: A → L → K. Ломаная ALK.
• Более длинный путь, например, из четырёх отрезков: A → D → N → M → K. Ломаная ADNMК.

Ответ: ABK, ALK, ADNMК.

2)

Поскольку фигура является кубом, все её рёбра имеют одинаковую длину. Обозначим эту длину как $a$. Длина пути (ломаной) равна произведению количества отрезков (рёбер) в нём на длину одного ребра.

• Путь ABKM состоит из 3 отрезков (AB, BK, KM). Его длина равна $3a$.
• Путь ABCDNM состоит из 5 отрезков (AB, BC, CD, DN, NM). Его длина равна $5a$.

Сравнивая длины, получаем, что $3a < 5a$. Следовательно, путь ABKM короче.

Теперь назовём другие пути такой же длины. В качестве примера приведём пути, которые так же, как и исходные, начинаются в точке А и заканчиваются в точке M.

• Путь, состоящий из 3 отрезков (такой же длины, как ABKM): A → D → N → M. Ломаная ADNM.
• Путь, состоящий из 5 отрезков (такой же длины, как ABCDNM): A → L → K → B → C → M. Ломаная ALKBCM.

Ответ: Путь ABKM короче. Путь такой же длины, что и ABKM, — ADNM. Путь такой же длины, что и ABCDNM, — ALKBCM.

3)

Каркас куба — это модель, состоящая из его рёбер. Чтобы узнать, сколько кусков проволоки потребуется, нужно посчитать количество рёбер у куба.

Это можно сделать несколькими способами:

• У куба 8 вершин, и из каждой выходит по 3 ребра. Произведение $8 \times 3 = 24$. Поскольку каждое ребро соединяет две вершины, оно было посчитано дважды. Значит, количество рёбер равно $24 \div 2 = 12$.
• У куба 6 граней, каждая из которых — квадрат. У квадрата 4 ребра. Произведение $6 \times 4 = 24$. Поскольку каждое ребро является общим для двух смежных граней, оно также было посчитано дважды. Значит, количество рёбер равно $24 \div 2 = 12$.

Таким образом, для спайки каркаса куба нужно 12 кусков проволоки.

Ответ: 12.

1.23 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ

Скопируйте отрезок $AB$ (рис. 1.18). От точки $A$ отсчитайте 5 клеток вправо, 2 клетки вниз и отметьте точку $C$. Проведите отрезок $AC$. От точки $A$ отсчитайте 5 клеток влево, 2 клетки вверх и отметьте точку $D$. Проведите отрезок $AD$. Отрезок $AC$ равен отрезку $AB$. Отрезки $AC$ и $AD$ равны отрезку $AB$. Поступая аналогично, начертите отрезки $AM$ и $AK$, равные $AB$.

В данной задаче предложено найти закономерность, по которой строятся отрезки, равные некоторому исходному отрезку AB, и применить ее для построения двух новых отрезков, AM и AK.

Проанализируем, как были построены точки C и D относительно точки A:

• Точка C: получена смещением от точки A на 5 клеток вправо и 2 клетки вниз.
• Точка D: получена смещением от точки A на 5 клеток влево и 2 клетки вверх.

Закономерность заключается в использовании теоремы Пифагора для нахождения длины отрезка на клетчатой бумаге. Длина отрезка (гипотенуза) связана со смещением по горизонтали и вертикали (катеты). Примем длину стороны одной клетки за 1.

Длина отрезка AC вычисляется следующим образом: $AC^2 = (\text{смещение вправо})^2 + (\text{смещение вниз})^2 = 5^2 + 2^2 = 25 + 4 = 29$. Следовательно, длина $AC = \sqrt{29}$.

Длина отрезка AD вычисляется аналогично: $AD^2 = (\text{смещение влево})^2 + (\text{смещение вверх})^2 = (-5)^2 + 2^2 = 25 + 4 = 29$. Следовательно, длина $AD = \sqrt{29}$.

По условию, отрезки AC и AD равны отрезку AB. Это означает, что длина отрезка AB также равна $\sqrt{29}$.

Чтобы построить новые отрезки AM и AK, равные AB, нам нужно найти другие комбинации целочисленных смещений по горизонтали и вертикали, которые дают в сумме квадратов число 29.

Кроме уже использованной пары чисел (5 и 2), мы можем заметить, что $2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29$.

Таким образом, мы можем использовать новую пару смещений (2 клетки и 5 клеток) для построения точек M и K. "Поступая аналогично" построению точек C и D, мы можем выбрать симметричные направления для M и K.

Построение отрезка AM
От точки A отсчитайте 2 клетки вправо и 5 клеток вверх. Отметьте точку M и проведите отрезок AM. Его длина будет равна $AM = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{29}$.

Построение отрезка AK
От точки A отсчитайте 2 клетки влево и 5 клеток вниз. Отметьте точку K и проведите отрезок AK. Его длина будет равна $AK = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{29}$.

Полученные отрезки AM и AK равны по длине отрезку AB.

Ответ: Чтобы начертить отрезки AM и AK, равные AB, необходимо:
1. Для получения точки M: от точки A отсчитать 2 клетки вправо и 5 клеток вверх, затем соединить точки A и M.
2. Для получения точки K: от точки A отсчитать 2 клетки влево и 5 клеток вниз, затем соединить точки A и K. (Возможны и другие комбинации направлений, например: 2 клетки вправо и 5 клеток вниз для M, и 2 клетки влево и 5 клеток вверх для K).

Рассмотрите звезду (рис. 1.19). Верно ли, что её образует замкнутая ломаная, состоящая из пяти отрезков? Начертите звезду в тетради.

Подсказка. Сначала отметьте все вершины, а затем соедините их последовательно отрезками.

Верно ли, что её образует замкнутая ломаная, состоящая из пяти отрезков?

Да, это утверждение абсолютно верно. Пятиконечная звезда является классическим примером замкнутой самопересекающейся ломаной линии.

• Ломаная линия – это геометрическая фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединенных друг с другом в своих концах.
• Замкнутая ломаная – это ломаная, у которой начальная точка первого отрезка совпадает с конечной точкой последнего отрезка.

Чтобы начертить звезду, мы последовательно соединяем пять её вершин отрезками. Например, если мысленно пронумеровать вершины $1, 2, 3, 4, 5$, расположенные по кругу, то звезда образуется отрезками, соединяющими вершины в следующем порядке: $1 \rightarrow 3 \rightarrow 5 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 1$. Как видно, мы начинаем с вершины 1 и, проведя ровно пять отрезков, возвращаемся в неё же. Это полностью соответствует определению замкнутой ломаной, состоящей из пяти отрезков.
Ответ: Да, верно.

Начертите звезду в тетради.

Чтобы начертить пятиконечную звезду в тетради, следуйте пошаговой инструкции, основанной на подсказке из задания:
1. Отметьте вершины. На листе бумаги отметьте пять точек, которые будут служить вершинами звезды. Для того чтобы звезда получилась симметричной, расположите эти точки так, как будто они являются вершинами правильного пятиугольника (то есть на равном расстоянии друг от друга по воображаемой окружности).
2. Пронумеруйте вершины. Для удобства мысленно или легким нажимом карандаша пронумеруйте точки от 1 до 5 по часовой стрелке.
3. Соедините вершины отрезками. Начните с любой вершины (например, с верхней, номер 1) и соединяйте их отрезками, всегда пропуская одну вершину:

• Проведите отрезок от вершины 1 к вершине 3.
• От вершины 3 проведите отрезок к вершине 5.
• От вершины 5 проведите отрезок к вершине 2.
• От вершины 2 проведите отрезок к вершине 4.
• От вершины 4 проведите отрезок к вершине 1, чтобы замкнуть фигуру.

Выполнив эти действия, вы получите аккуратную пятиконечную звезду.
Ответ: Звезда чертится путем последовательного соединения пяти вершин через одну до замыкания фигуры.

1.25 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

1) Начертите две пересекающиеся прямые. Проведите третью прямую, пересекающую каждую из этих прямых и не проходящую через их точку пересечения. Сколько точек пересечения прямых у вас получилось?

2) В некотором городке всего три попарно пересекающиеся прямолинейные улицы. На каждом перекрёстке установлен светофор. Других светофоров в городе нет. Сколько всего светофоров в этом городке? Было решено проложить новую улицу, пересекающую все старые и не проходящую через уже имеющиеся перекрёстки. Сколько придётся установить светофоров? А если прокладка улиц в городке будет продолжена таким же образом, можно ли сказать, сколько будет светофоров в городке с десятью улицами?

Рис. 1.18

Рис. 1.19

Рис. 1.20

1)

Пусть даны две пересекающиеся прямые a и b. Они пересекаются в одной точке, назовем ее M. Проведем третью прямую c так, чтобы она пересекала прямую a и прямую b, но не проходила через точку M. Прямая c пересечет прямую a в новой точке N, а прямую b — в еще одной новой точке K. Так как прямая c не проходит через M, а прямые a и b различны, все три точки пересечения (M, N, K) будут уникальными. Таким образом, у нас получится 3 точки пересечения.
Ответ: 3 точки пересечения.

2)

Сколько всего светофоров в этом городке?
В городе 3 прямолинейные улицы, и они попарно пересекаются. Это означает, что каждая пара улиц образует один перекресток. Чтобы найти общее количество перекрестков, необходимо посчитать количество уникальных пар, которые можно составить из 3 улиц. Это классическая задача на комбинаторику — нахождение числа сочетаний из 3 элементов по 2.
Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Для нашего случая $n=3$ и $k=2$:
$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3$.
Таким образом, в городе 3 перекрестка. Поскольку на каждом перекрестке установлен один светофор, всего в городе 3 светофора.
Ответ: 3 светофора.

Было решено проложить новую улицу, пересекающую все старые и не проходящую через уже имеющиеся перекрёстки. Сколько придётся установить светофоров?
В городе уже есть 3 улицы. Прокладывается новая, четвертая улица. По условию, она пересекает все 3 старые улицы. Так как все улицы — это прямые, новая улица создаст по одному новому перекрестку с каждой из трех старых улиц. Условие, что новая улица не проходит через уже существующие перекрестки, гарантирует, что все 3 новых перекрестка будут уникальными и не будут совпадать со старыми. Следовательно, в городе появится 3 новых перекрестка. На каждый из них нужно будет установить по одному светофору.
Ответ: Придётся установить 3 светофора.

А если прокладка улиц в городке будет продолжена таким же образом, можно ли сказать, сколько будет светофоров в городке с десятью улицами?
Да, можно. Условие "прокладка улиц будет продолжена таким же образом" означает, что каждая улица в городе пересекается с каждой другой улицей, и при этом никакие три улицы не пересекаются в одной точке. В этом случае общее число перекрестков (и, соответственно, светофоров) будет равно числу всех возможных пар улиц. Нам нужно найти число сочетаний из 10 улиц по 2.
Используем ту же формулу $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n=10$ и $k=2$:
$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.
Таким образом, в городе с десятью улицами будет 45 перекрестков.
Ответ: В городе с десятью улицами будет 45 светофоров.