Страница 11 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

1.15 Начертите две пересекающиеся прямые и обозначьте точку пересечения буквой D. Проведите через точку D ещё одну прямую. Закончите предложение: Через одну точку можно провести... Сколько лучей с началом в точке D? Обозначьте лучи буквами.

Для решения задачи сначала выполним указанные действия. Начертим две пересекающиеся прямые и обозначим их точку пересечения буквой $D$. Затем через эту же точку $D$ проведём третью прямую. В результате мы получим три прямые, которые все пересекаются в одной точке $D$.

Закончите предложение: Через одну точку можно провести ...
Согласно основной аксиоме геометрии, через любую одну точку на плоскости можно провести бесконечное множество прямых. Таким образом, предложение будет звучать так: Через одну точку можно провести бесконечно много прямых.
Ответ: бесконечно много прямых.

Сколько лучей с началом в точке D? Обозначьте лучи буквами.
Каждая из трёх прямых, проходящих через точку $D$, делится этой точкой на два луча, которые выходят из точки $D$ в противоположных направлениях. Следовательно, общее количество лучей с началом в точке $D$ составляет $3 \times 2 = 6$.
Чтобы обозначить эти лучи, необходимо на каждой прямой выбрать по одной дополнительной точке с каждой стороны от точки $D$. Например, на первой прямой отметим точки $A$ и $B$, на второй — $C$ и $E$, на третьей — $F$ и $G$. В этом случае мы получим шесть лучей с началом в точке $D$: луч $DA$, луч $DB$, луч $DC$, луч $DE$, луч $DF$ и луч $DG$.
Ответ: 6 лучей; например, $DA$, $DB$, $DC$, $DE$, $DF$, $DG$.

1.16 Отметьте в тетради точки $A$ и $C$. Проведите через них прямую. Отметьте точку $B$, лежащую на прямой $AC$, и точку $K$, не лежащую на прямой $AC$. Проведите луч с началом в точке $K$, пересекающий отрезок $AB$.

Задача представляет собой геометрическое построение. Выполним его по шагам, как указано в условии:
1. Сначала отметим в плоскости две произвольные точки $A$ и $C$.
2. Через точки $A$ и $C$ проведем прямую. Согласно аксиоме, через любые две различные точки можно провести прямую, и притом только одну. Обозначим эту прямую $AC$.
3. Далее отметим точку $B$, которая лежит на прямой $AC$. Существует бесконечно много вариантов расположения точки $B$. Например, она может лежать между точками $A$ и $C$, или точка $A$ может лежать между $B$ и $C$. В нашем примере выберем случай, когда $B$ находится между $A$ и $C$.
4. Отметим точку $K$, не лежащую на прямой $AC$. Это означает, что точка $K$ может быть расположена где угодно на плоскости, за исключением точек самой прямой $AC$.
5. Проведем луч с началом в точке $K$, который пересекает отрезок $AB$. Отрезок $AB$ — это часть прямой $AC$, ограниченная точками $A$ и $B$. Чтобы луч пересек этот отрезок, он должен быть направлен из точки $K$ в сторону любой точки, находящейся на отрезке $AB$.
Графический результат выполнения всех шагов представлен на рисунке.

Ответ:

1.17 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Рассмотрите рисунок 1.15 и скажите, верно ли утверждение:

1) Точка $A$ лежит на отрезке $BC$.

2) Точка $A$ лежит на луче $BD$.

3) Точка $D$ не лежит между точками $A$ и $C$.

4) Точки $D$ и $C$ лежат на одном и том же луче с началом в точке $B$.

Рис. 1.15

1) Точка А лежит на отрезке ВС.
Отрезок $BC$ – это множество точек прямой, состоящее из точек $B$ и $C$ и всех точек, лежащих между ними. Из рисунка видно, что точки на прямой расположены в следующем порядке: $D, A, B, C$. Точка $A$ не лежит между точками $B$ и $C$, следовательно, она не принадлежит отрезку $BC$.
Ответ: неверно.

2) Точка А лежит на луче BD.
Луч $BD$ – это часть прямой, которая начинается в точке $B$ и проходит через точку $D$, продолжаясь бесконечно в этом направлении. На рисунке точка $A$ лежит на прямой между точками $B$ и $D$. Таким образом, точка $A$ является частью луча, исходящего из точки $B$ в направлении точки $D$.
Ответ: верно.

3) Точка D не лежит между точками А и С.
Чтобы точка лежала между двумя другими, все три точки должны принадлежать одной прямой, и одна из них должна находиться на отрезке, образованном двумя другими. Порядок точек на прямой: $D, A, B, C$. Точка $D$ не находится на отрезке $AC$, так как она расположена левее точки $A$. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: верно.

4) Точки D и С лежат на одном и том же луче с началом в точке B.
Из точки $B$ на данной прямой выходят два луча в противоположных направлениях. Один луч $BC$ идет вправо от точки $B$. Другой луч $BD$ идет влево от точки $B$. Точка $C$ лежит на луче $BC$, а точка $D$ – на луче $BD$. Так как эти лучи направлены в разные стороны, точки $D$ и $C$ не лежат на одном и том же луче с началом в точке $B$.
Ответ: неверно.

1.18 АНАЛИЗИРУЕМ

Проведите прямую и отметьте на ней точки $A$ и $B$. Отметьте на прямой $AB$ точку $C$ так, чтобы она принадлежала отрезку $AB$; точку $D$ так, чтобы она не принадлежала отрезку $AB$.

Проведите прямую и отметьте на ней точки A и B.

Начертим прямую линию. На ней отметим две произвольные различные точки, которые обозначим $A$ и $B$. Эти точки являются концами отрезка $AB$. Отрезок $AB$ — это множество всех точек прямой, которые расположены между $A$ и $B$, включая сами точки $A$ и $B$.

Отметьте на прямой AB точку C так, чтобы она принадлежала отрезку AB.

Условие «точка $C$ принадлежит отрезку $AB$» (математически это записывается как $C \in [AB]$) означает, что точка $C$ должна быть расположена между точками $A$ и $B$. Частными случаями являются совпадение точки $C$ с точкой $A$ или с точкой $B$.

Отметьте точку D так, чтобы она не принадлежала отрезку AB.

Условие «точка $D$ не принадлежит отрезку $AB$» (математически $D \notin [AB]$) означает, что точка $D$ лежит на прямой $AB$, но находится вне отрезка $AB$. Это возможно в двух случаях:

• Точка $D$ расположена на прямой таким образом, что точка $A$ находится между $D$ и $B$.
• Точка $D$ расположена на прямой таким образом, что точка $B$ находится между $A$ и $D$.

Таким образом, выполнив все условия, мы можем получить следующее расположение точек (это один из возможных вариантов):

На этом рисунке точка $C$ находится между $A$ и $B$, следовательно, $C \in [AB]$. Точка $D$ находится на прямой, но правее точки $B$, следовательно, $D \notin [AB]$. Все условия задачи выполнены.

Ответ:
На рисунке представлено одно из возможных решений. Точка $C$ расположена на отрезке $AB$, а точка $D$ — на прямой $AB$, но вне отрезка $AB$.

1.19 Перечертите в тетрадь ломаную (рис. 1.16).

Запишите её звенья.

$AB$, $BC$, $CD$.

Рис. 1.16

Запишите её звенья

Ломаная линия — это геометрическая фигура, состоящая из последовательно соединенных отрезков. Эти отрезки называются звеньями ломаной, а точки их соединения — вершинами.

На рисунке 1.16 изображена ломаная линия с вершинами в точках A, B, C и D. Звенья этой ломаной — это отрезки, соединяющие соседние вершины:

• отрезок, соединяющий вершину A и вершину B, — звено $AB$;
• отрезок, соединяющий вершину B и вершину C, — звено $BC$;
• отрезок, соединяющий вершину C и вершину D, — звено $CD$.

Таким образом, данная ломаная состоит из трёх звеньев.

Ответ: звенья ломаной: $AB$, $BC$, $CD$.

1.20 СТРОИМ ПО АЛГОРИТМУ

1) Что такое алгоритм? Найдите в словаре значение этого слова.

2) Постройте в тетради ломаную по следующему алгоритму:

Шаг 1. Отметьте в одном из узлов квадратной сетки точку А.

Рис. 1.16

Шаг 2. От точки А отсчитайте 7 клеток влево и 1 клетку вниз. Отметьте точку В.

Шаг 3. От точки В отсчитайте 5 клеток вправо и 3 клетки вниз. Отметьте точку С.

Шаг 4. От точки С отсчитайте 3 клетки вправо и 6 клеток вверх. Отметьте точку О.

Шаг 5. Соедините точки по линейке в том порядке, в котором вы их строили.

3) Начертите в тетради ломаную с вершинами в узлах сетки и продиктуйте её соседу по парте. Сравните построенные вами ломаные.

1) Что такое алгоритм? Найдите в словаре значение этого слова.

Алгоритм — это конечная совокупность точно заданных правил и инструкций, описывающих последовательность операций для решения определённой задачи. Проще говоря, это пошаговый план действий, который гарантированно приводит к нужному результату. Например, кулинарный рецепт, инструкция по сборке мебели или правила перехода улицы являются алгоритмами.

Ответ: Алгоритм — это точная и понятная последовательность действий, приводящая к решению поставленной задачи.

2) Постройте в тетради ломаную по следующему алгоритму:

Для построения ломаной выполним последовательно все шаги алгоритма на листе в клетку.

Шаг 1. Отмечаем в произвольном узле сетки (в месте пересечения линий) точку $A$.

Шаг 2. От точки $A$ отсчитываем 7 клеток влево и 1 клетку вниз. В полученном узле сетки ставим точку $B$.

Шаг 3. От точки $B$ отсчитываем 5 клеток вправо и 3 клетки вниз. В полученном узле ставим точку $C$.

Шаг 4. От точки $C$ отсчитываем 3 клетки вправо и 6 клеток вверх. В полученном узле ставим точку $O$.

Шаг 5. С помощью линейки последовательно соединяем отрезками точки в том порядке, в котором мы их строили: сначала $A$ и $B$, затем $B$ и $C$, и наконец $C$ и $O$.

В результате мы получим ломаную линию $ABCO$, состоящую из трех звеньев: $AB$, $BC$ и $CO$.

Ответ: Построена ломаная линия $ABCO$ в соответствии с заданным алгоритмом.

3) Начертите в тетради ломаную с вершинами в узлах сетки и продиктуйте её соседу по парте. Сравните построенные вами ломаные.

Это задание предполагает совместную работу. Вам нужно придумать собственную ломаную, составить для неё алгоритм построения (по аналогии с заданием 2) и продиктовать его соседу. Сосед должен, не глядя на ваш чертёж, построить ломаную, следуя только вашим инструкциям.

Пример алгоритма, который можно продиктовать:

Шаг 1. Отметьте в узле сетки начальную точку $P$.

Шаг 2. От точки $P$ отсчитайте 4 клетки вправо и 2 клетки вверх. Отметьте точку $Q$.

Шаг 3. От точки $Q$ отсчитайте 1 клетку влево и 3 клетки вверх. Отметьте точку $R$.

Шаг 4. От точки $R$ отсчитайте 5 клеток влево. Отметьте точку $S$.

Шаг 5. Соедините точки $P$, $Q$, $R$ и $S$ последовательно.

После выполнения задания сравните ваш чертёж и чертёж соседа. Если алгоритм был составлен точно и без двусмысленностей, а сосед в точности следовал инструкциям, то у вас должны получиться две абсолютно одинаковые (конгруэнтные) ломаные. Они могут располагаться в разных частях листа, но их форма, длина звеньев и углы между ними должны полностью совпадать.

Ответ: При точном составлении и выполнении алгоритма построенные ломаные должны быть одинаковыми (конгруэнтными).

1.21 Начертите в тетради:

а) замкнутую ломаную, состоящую из трёх звеньев;

б) незамкнутую ломаную, состоящую из четырёх звеньев.

а) замкнутую ломаную, состоящую из трёх звеньев;

Замкнутая ломаная, состоящая из трёх звеньев, является треугольником. Чтобы её начертить, нужно сначала отметить три точки, не лежащие на одной прямой, например, точки $A$, $B$ и $C$. Затем следует последовательно соединить их отрезками с помощью линейки: точку $A$ с точкой $B$, точку $B$ с точкой $C$ и точку $C$ с точкой $A$. Получившаяся фигура $ABC$ будет искомой замкнутой ломаной, так как её начало (точка $A$) совпадает с её концом, и она состоит из трёх звеньев (отрезков) $AB$, $BC$ и $CA$.

Ответ: Пример замкнутой ломаной из трёх звеньев (треугольник) показан на рисунке.

б) незамкнутую ломаную, состоящую из четырёх звеньев.

Чтобы начертить незамкнутую ломаную, состоящую из четырёх звеньев, нужно отметить пять различных точек, например, $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$. Затем следует последовательно соединить их четырьмя отрезками с помощью линейки: точку $A$ с точкой $B$, точку $B$ с точкой $C$, точку $C$ с точкой $D$ и точку $D$ с точкой $E$. Так как начальная точка ломаной ($A$) не совпадает с её конечной точкой ($E$), ломаная является незамкнутой. Она состоит из четырёх звеньев: $AB$, $BC$, $CD$ и $DE$.

Ответ: Пример незамкнутой ломаной из четырёх звеньев показан на рисунке.