Страница 10 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Приведите свои примеры прямых из окружающего мира.

В геометрии прямая линия — это абстрактное понятие, обозначающее бесконечную, идеально ровную линию без толщины. В окружающем нас мире мы можем наблюдать множество объектов, которые являются физическими моделями прямых линий или их частей (отрезков). Вот несколько примеров, сгруппированных по категориям:

• Натянутые объекты: Туго натянутая струна гитары или веревка, рыболовная леска, паутина, провода линии электропередач. Сила натяжения заставляет их принимать форму, максимально близкую к прямой.
• Края и грани предметов: Края стола, книги, линейки, экрана смартфона. Грани зданий, ребра кирпича или шкафа. Стык двух стен или стены и потолка в комнате.
• Лучи и траектории: Луч света от лазерной указки или прожектора в тумане или дыму. Траектория полета пули на небольшом расстоянии. Инверсионный след от самолета в небе. Прямой участок железнодорожных рельсов.
• Созданные человеком линии: Линия, проведенная карандашом по линейке. Сгиб на листе бумаги. Иголка для шитья.

Все эти примеры являются приближениями, так как в реальности они имеют толщину и конечную длину, а некоторые (как рельсы или линия горизонта) на больших расстояниях искривляются из-за кривизны Земли.

Ответ: Примерами прямых из окружающего мира могут служить: натянутая струна, луч лазера, край линейки, железнодорожные рельсы на прямом участке, сгиб на листе бумаги.

Отметьте на листе бумаги точки A, В и С. Проведите прямые AB, AC, BC.

Решение этой задачи зависит от взаимного расположения точек A, B и C. Существует два возможных случая.

Случай 1: Точки не лежат на одной прямой

Если точки A, B и C не лежат на одной прямой (неколлинеарны), они образуют вершины треугольника. Проведя с помощью линейки прямую через точки A и B, мы получим прямую AB. Аналогично, проведя прямую через A и C, получим прямую AC, а через B и C — прямую BC. В итоге мы получим три различные прямые, которые попарно пересекаются в точках A, B и C, образуя треугольник.

Ответ: Получатся три пересекающиеся прямые.

Случай 2: Точки лежат на одной прямой

Если точки A, B и C лежат на одной прямой (коллинеарны), то, проведя прямую через любые две из этих точек (например, A и B), мы получим прямую, которая пройдет и через третью точку (C). Таким образом, прямые AB, AC и BC будут совпадать. Это означает, что все три обозначения относятся к одной и той же прямой.

Ответ: Получится одна прямая линия.

Видели ли вы, как проводят прямые на местности? Объясните это, глядя на фотографии. $Э (Т-Н) + 8Т + 2С (1С)$ $R + EA (1A)$ $AS + BS (B)$

Здесь будет проложено шоссе

Разметка фундамента

На фотографиях показаны два основных способа проведения (вешения) прямых линий на местности. Выбор способа зависит от масштаба работ и требуемой точности. В основе обоих методов лежит геометрическая аксиома: через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

На левой фотографии мы видим работу геодезиста с высокоточным оптическим прибором — теодолитом (или более современным его вариантом — тахеометром). Этот метод применяется для прокладки прямых линий на большие расстояния при строительстве крупных объектов: дорог, мостов, линий электропередач.

Процесс выглядит следующим образом:
1. Прибор на штативе устанавливается в начальной точке A.
2. С помощью зрительной трубы прибор наводится на конечную точку B (если она видна) или задается нужное направление (азимут). Таким образом создается "линия визирования" — луч.
3. Помощник геодезиста с вехой (специальной рейкой) отходит на некоторое расстояние вдоль этой линии.
4. Геодезист, глядя в окуляр, подает команды помощнику, чтобы тот перемещал веху влево или вправо до тех пор, пока она не окажется точно на линии визирования. В этом месте (точка C) в землю забивается колышек.
5. Затем прибор можно перенести в точку C, навести на точку A и продолжить линию дальше, отмечая новые точки.

Этот метод позволяет с минимальной погрешностью проложить прямую линию длиной в несколько километров.

Ответ: Для проведения длинных и точных прямых линий на местности, как при строительстве шоссе, используются геодезические приборы (теодолиты, тахеометры). Они позволяют создать невидимую прямую линию (линию визирования), вдоль которой затем расставляются видимые метки (вехи, колышки).

На правой фотографии показан более простой и древний способ, который идеально подходит для небольших участков и не требует сложного оборудования. Здесь для построения прямых используются колышки и прочный шнур (бечевка).

Процесс заключается в следующем:
1. В землю вбиваются два колышка в начальной и конечной точках будущего отрезка прямой.
2. Между ними максимально туго натягивается шнур. Согласно свойствам прямой, натянутый шнур является физической моделью кратчайшего расстояния между двумя точками, то есть отрезка прямой.
3. Для построения перпендикулярных прямых, необходимых для прямоугольного фундамента, часто применяют "египетский треугольник". С помощью рулетки или веревки с узлами размечают треугольник со сторонами, относящимися как 3:4:5 (например, 3 м, 4 м и 5 м). Угол, лежащий напротив самой длинной стороны (гипотенузы), будет прямым (90°), что следует из теоремы Пифагора: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Таким образом, с помощью колышков, шнура и рулетки можно разметить на земле контуры будущего фундамента с достаточной для строительства точностью.

Ответ: На небольших участках, например при разметке фундамента, прямую линию проводят, натягивая шнур между двумя забитыми в землю колышками. Прямые углы размечают с помощью рулетки и теоремы Пифагора, строя треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц длины.

Назовите прямую несколькими способами (см. рис. 1.12).

Рис. 1.12

В геометрии прямую принято обозначать двумя заглавными латинскими буквами, которые соответствуют любым двум точкам, лежащим на этой прямой. Порядок букв в названии прямой не имеет значения.

На представленном рисунке на прямой лежат три точки: A, O и B. Для того чтобы назвать эту прямую, мы можем выбрать любую пару из этих точек.

Возможные варианты названий прямой:

• Используя точки A и B: прямая AB или прямая BA.
• Используя точки A и O: прямая AO или прямая OA.
• Используя точки O и B: прямая OB или прямая BO.

Все эти шесть обозначений (AB, BA, AO, OA, OB, BO) являются названиями одной и той же прямой.

Ответ: AB, BA, AO, OA, OB, BO.

Сколько лучей на рисунке 1.13?

Подсказка. Каждая точка — это начало двух лучей.

Рис. 1.13

Луч — это часть прямой, которая имеет начальную точку и продолжается бесконечно в одном направлении. На рисунке 1.13 мы видим прямую, на которой отмечены две точки: K и M. Каждая из этих точек может служить началом для лучей.

Как указано в подсказке, каждая точка является началом двух лучей, направленных в противоположные стороны.

1. Из точки K исходят два луча:

• Один луч начинается в точке K и идет вправо, проходя через точку M.
• Второй луч начинается в точке K и идет влево.

2. Из точки M также исходят два луча:

• Один луч начинается в точке M и идет вправо.
• Второй луч начинается в точке M и идет влево, проходя через точку K.

Таким образом, на рисунке изображено 2 луча с началом в точке K и 2 луча с началом в точке M. Общее количество лучей равно $2 + 2 = 4$.

Ответ: 4

Назовите каждый из отрезков на рисунке 1.12 двумя «именами».

Имена отрезков:

$AO$, $OA$

$OB$, $BO$

$AB$, $BA$

Рис. 1.12

На рисунке изображены три точки, лежащие на одной прямой: A, O и B. Эти точки являются концами трех различных отрезков. Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Принято называть отрезок по его конечным точкам. Порядок букв в названии отрезка не имеет значения, поэтому каждый отрезок можно назвать двумя способами.

Отрезок с концами в точках A и O
Этот отрезок можно назвать, перечислив его конечные точки в любом порядке. Таким образом, у него есть два «имени»: $AO$ и $OA$.
Ответ: $AO$ и $OA$.

Отрезок с концами в точках O и B
Аналогично, этот отрезок можно назвать двумя способами: $OB$ и $BO$.
Ответ: $OB$ и $BO$.

Отрезок с концами в точках A и B
Самый длинный из изображенных отрезков, с концами в точках A и B, также можно назвать двумя способами: $AB$ и $BA$.
Ответ: $AB$ и $BA$.