Страница 15 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Чему равна длина ломаной, состоящей из трёх отрезков длиной 5 см?

Длина ломаной линии — это сумма длин всех отрезков, из которых она состоит.

По условию задачи, ломаная состоит из трёх отрезков. Длина каждого отрезка составляет 5 см.

Чтобы найти общую длину ломаной, можно сложить длины всех её отрезков:

$5 \text{ см} + 5 \text{ см} + 5 \text{ см} = 15 \text{ см}$

Так как все отрезки имеют одинаковую длину, можно также умножить длину одного отрезка на их количество:

$5 \text{ см} \times 3 = 15 \text{ см}$

Следовательно, общая длина ломаной равна 15 см.

Ответ: 15 см.

Найдите длину ломаной ② (см. рис. 1.2).

Для того чтобы найти длину ломаной линии, необходимо сложить длины всех составляющих ее отрезков (звеньев). Если ломаная состоит из нескольких звеньев с длинами $l_1$, $l_2$, $l_3$ и так далее, то ее общая длина $L$ вычисляется по формуле:

$L = l_1 + l_2 + l_3 + \dots$

В условии задачи указано, что нужно найти длину ломаной ②, используя рисунок 1.2. Однако сам рисунок 1.2 не предоставлен. Без изображения ломаной и данных о длинах ее звеньев невозможно выполнить вычисления и дать точный ответ.

В качестве примера, предположим, что на рисунке 1.2 ломаная ② состоит из трех звеньев со следующими длинами: 4 см, 6 см и 3 см. В этом случае ее общая длина была бы:

$L = 4 \text{ см} + 6 \text{ см} + 3 \text{ см} = 13 \text{ см}$

Для решения вашей конкретной задачи необходимо иметь данные с рисунка 1.2.

Ответ: Для предоставления ответа необходим рисунок 1.2, так как длина ломаной равна сумме длин ее звеньев, которые должны быть на нем указаны.

Найдите длину линии $\textcircled{4}$ (см. рис. 1.2).

Для нахождения длины линии ④, указанной в задании, необходимо обратиться к рисунку 1.2. На этом рисунке должна быть изображена сама линия, а также предоставлены данные, необходимые для расчета ее длины. Это могут быть размеры других элементов, масштаб чертежа, или же линия может быть расположена на координатной сетке.

Поскольку рисунок 1.2 не предоставлен, определить, что из себя представляет линия ④ и какова её длина, не представляется возможным.

Ответ: Решение невозможно без рисунка 1.2.

1.30 1) Определите на глаз среди четырёх изображённых на рисунке 1.24 отрезков наибольший и наименьший. Проверьте себя, воспользовавшись циркулем. Назовите отрезки в порядке убывания их длин.

2) Измерьте в миллиметрах длины отрезков (см. рис. 1.24) и запишите результат. На сколько длина отрезка $AB$ больше длины отрезка $EF$?

1)

При визуальном осмотре изображенных отрезков можно предположить, что отрезок AB является наибольшим, а отрезок EF — наименьшим. Для проверки этого предположения необходимо сравнить длины отрезков, например, с помощью циркуля.

Установив раствор циркуля равным длине отрезка AB и сравнив его с остальными, убеждаемся, что AB — самый длинный отрезок. Аналогично, сравнивая остальные отрезки, можно расположить их в порядке убывания (уменьшения) их длин.

Порядок отрезков по убыванию их длин:

1. AB
2. KM
3. CD
4. EF

Ответ: Наибольший отрезок — AB, наименьший — EF. Отрезки в порядке убывания их длин: AB, KM, CD, EF.

2)

Измерим длины отрезков с помощью линейки. (Примечание: результаты измерений могут незначительно отличаться в зависимости от масштаба изображения в вашем учебнике или на экране).

• Длина отрезка AB ≈ 46 мм
• Длина отрезка CD ≈ 33 мм
• Длина отрезка EF ≈ 22 мм
• Длина отрезка KM ≈ 38 мм

Чтобы найти, на сколько длина отрезка AB больше длины отрезка EF, необходимо из длины отрезка AB вычесть длину отрезка EF:

$AB - EF \approx 46 \text{ мм} - 22 \text{ мм} = 24 \text{ мм}$

Ответ: Длины отрезков: AB ≈ 46 мм, CD ≈ 33 мм, EF ≈ 22 мм, KM ≈ 38 мм. Длина отрезка AB больше длины отрезка EF на 24 мм.

1.31 Сделайте рисунок по условию задачи Рис. 1.24

и решите её:

а) Точка C принадлежит отрезку AB, причём $AC = 5 \text{ см } 4 \text{ мм}$, $CB = 3 \text{ см } 7 \text{ мм}$. Чему равна длина отрезка $AB$?

б) Точка C принадлежит отрезку AB, причём $AB = 8 \text{ см}$, $AC = 4 \text{ см } 5 \text{ мм}$. Чему равна длина отрезка $CB$?

Для решения задачи представим отрезок AB, на котором лежит точка C. Это означает, что точка C находится между точками A и B. Длина всего отрезка AB будет складываться из длин его частей: AC и CB.

а)

По условию, точка C принадлежит отрезку AB. Это означает, что длина всего отрезка AB равна сумме длин его частей, AC и CB.
Основная формула: $AB = AC + CB$.
Известны длины частей: $AC = 5$ см $4$ мм и $CB = 3$ см $7$ мм.
Для нахождения длины AB сложим длины AC и CB. Удобнее всего выполнять сложение, переведя все в одну единицу измерения, например, в миллиметры (в 1 см = 10 мм).
$AC = 5 \text{ см } 4 \text{ мм} = 5 \times 10 \text{ мм} + 4 \text{ мм} = 54 \text{ мм}$.
$CB = 3 \text{ см } 7 \text{ мм} = 3 \times 10 \text{ мм} + 7 \text{ мм} = 37 \text{ мм}$.
Теперь найдем сумму:
$AB = 54 \text{ мм} + 37 \text{ мм} = 91 \text{ мм}$.
Переведем результат обратно в сантиметры и миллиметры:
$91 \text{ мм} = 9 \text{ см } 1 \text{ мм}$.
Другой способ — сложить сантиметры и миллиметры отдельно:
$5 \text{ см } 4 \text{ мм} + 3 \text{ см } 7 \text{ мм} = (5+3) \text{ см } + (4+7) \text{ мм} = 8 \text{ см } 11 \text{ мм}$.
Поскольку $11 \text{ мм} = 1 \text{ см } 1 \text{ мм}$, то $8 \text{ см } 11 \text{ мм} = 8 \text{ см} + 1 \text{ см } 1 \text{ мм} = 9 \text{ см } 1 \text{ мм}$.
Ответ: $9$ см $1$ мм.

б)

В этом случае нам известна длина всего отрезка AB и одной из его частей, AC. Чтобы найти длину второй части, CB, нужно из длины всего отрезка вычесть длину известной части.
Основная формула: $CB = AB - AC$.
Известны длины: $AB = 8$ см и $AC = 4$ см $5$ мм.
Переведем все в миллиметры для удобства вычислений.
$AB = 8 \text{ см} = 8 \times 10 \text{ мм} = 80 \text{ мм}$.
$AC = 4 \text{ см } 5 \text{ мм} = 4 \times 10 \text{ мм} + 5 \text{ мм} = 45 \text{ мм}$.
Теперь выполним вычитание:
$CB = 80 \text{ мм} - 45 \text{ мм} = 35 \text{ мм}$.
Переведем результат обратно в сантиметры и миллиметры:
$35 \text{ мм} = 3 \text{ см } 5 \text{ мм}$.
Другой способ — выполнить вычитание в смешанных единицах. Для этого представим $8$ см как $7$ см $10$ мм:
$CB = (8 \text{ см}) - (4 \text{ см } 5 \text{ мм}) = (7 \text{ см } 10 \text{ мм}) - (4 \text{ см } 5 \text{ мм})$.
Вычитаем отдельно сантиметры и миллиметры:
$(7-4) \text{ см } + (10-5) \text{ мм} = 3 \text{ см } 5 \text{ мм}$.
Ответ: $3$ см $5$ мм.

1.32 АНАЛИЗИРУЕМ

Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Расстояние между точками $A$ и $B$ равно 10 см, а между точками $B$ и $C$ – 3 см. Найдите расстояние между точками $A$ и $C$.

Подсказка. Рассмотрите различные случаи расположения точек на прямой.

По условию, точки A, B и C лежат на одной прямой. Расстояние между точками A и B равно $AB = 10$ см, а расстояние между точками B и C равно $BC = 3$ см. Для нахождения расстояния между A и C ($AC$) необходимо рассмотреть два возможных случая взаимного расположения этих точек, так как от этого зависит итоговый результат.

Случай 1: Точка B лежит между точками A и C.
В этом случае порядок расположения точек на прямой следующий: A — B — C.
Расстояние $AC$ будет равно сумме расстояний $AB$ и $BC$.
$AC = AB + BC$
Подставляем известные значения:
$AC = 10 \text{ см} + 3 \text{ см} = 13 \text{ см}$.
Ответ: 13 см.

Случай 2: Точка C лежит между точками A и B.
В этом случае порядок расположения точек на прямой следующий: A — C — B.
Расстояние $AB$ складывается из расстояний $AC$ и $CB$.
$AB = AC + CB$
Чтобы найти искомое расстояние $AC$, выразим его из формулы:
$AC = AB - CB$
Подставляем известные значения ($CB$ равно $BC$):
$AC = 10 \text{ см} - 3 \text{ см} = 7 \text{ см}$.
Ответ: 7 см.

Примечание: Третий возможный вариант, когда точка A лежит между точками C и B, невозможен. В этом случае выполнялось бы равенство $CB = CA + AB$. Подстановка известных значений ($3 = CA + 10$) приводит к отрицательной длине отрезка $CA$, что противоречит определению расстояния.

1.33 В каких единицах вы будете измерять:

а) расстояние от дома до школы;

б) длину отреза ткани при покупке;

в) длину и ширину книги;

г) длину забора вокруг школьного участка?

а) расстояние от дома до школы;

Расстояние от дома до школы обычно является значительным, поэтому для его измерения целесообразно использовать крупные единицы длины. Если школа находится близко, в пешей доступности, то расстояние удобно измерять в метрах (м). Например, 700 метров. Если же до школы нужно добираться на транспорте, то расстояние, как правило, измеряют в километрах (км). Например, 3 километра.

Ответ: в метрах (м) или километрах (км).

б) длину отреза ткани при покупке;

При покупке ткани в магазине её длину измеряют в метрах (м). Это стандартная практика в торговле. Для указания длины, которая не является целым числом метров, могут использоваться также сантиметры (см) или десятичные доли метра. Например, можно купить 2,5 метра или 2 метра 50 сантиметров ткани.

Ответ: в метрах (м) и сантиметрах (см).

в) длину и ширину книги;

Книга является относительно небольшим предметом, поэтому её размеры (длину и ширину) удобнее всего измерять в сантиметрах (см). Например, формат книги может быть 20 см на 14 см. В технических характеристиках, например, в издательском деле, для большей точности часто используют миллиметры (мм).

Ответ: в сантиметрах (см) или миллиметрах (мм).

г) длину забора вокруг школьного участка?

Длина забора вокруг школьного участка, то есть его периметр, является достаточно большой величиной. Для измерения таких расстояний наиболее подходящей единицей являются метры (м). Длина забора может составлять, например, 300 или 500 метров. Использование более мелких единиц, как сантиметры, было бы неудобным.

Ответ: в метрах (м).

1.34 ИЩЕМ ИНФОРМАЦИЮ Одна миля – это примерно 2 км. Узнайте, как выражаются в метрической системе мер такие единицы, как ярд, фут, дюйм, как они возникли и что означали.

В задании требуется найти информацию о таких единицах измерения, как ярд, фут и дюйм, их происхождении и выражении в метрической системе.

Ярд

Один ярд (англ. yard) — это единица длины в британской имперской и американской системах мер. В метрической системе один ярд равен $0,9144$ метра. В ярде содержится 3 фута или 36 дюймов.

$1 \text{ ярд} = 3 \text{ фута} = 36 \text{ дюймов} = 0,9144 \text{ м}$

Существует несколько версий происхождения этой единицы. По одной из самых распространенных, ярд был определен в XII веке английским королем Генрихом I как расстояние от кончика его носа до кончика большого пальца вытянутой в сторону руки. Само слово «ярд» происходит от староанглийского слова gyrd, которое означало «палка» или «прут», что отражает использование измерительных стержней такой длины.

Ответ: 1 ярд равен $0,9144$ метра. Изначально это было расстояние от кончика носа до большого пальца вытянутой руки короля или длина измерительного прута.

Фут

Один фут (англ. foot — ступня) — единица длины, равная 1/3 ярда. В метрической системе один фут равен $0,3048$ метра или $30,48$ сантиметра. Один фут содержит 12 дюймов.

$1 \text{ фут} = 12 \text{ дюймов} = 0,3048 \text{ м}$

Название и происхождение единицы напрямую связаны с длиной человеческой ступни. В древности это была распространенная мера длины, однако ее точный размер варьировался в разных странах и эпохах, так как зависел от среднего размера стопы взрослого мужчины в данной местности. Современный стандарт был принят в 1959 году.

Ответ: 1 фут равен $0,3048$ метра. Единица возникла как мера длины, равная средней длине человеческой стопы.

Дюйм

Один дюйм (от нидерл. duim — большой палец) — единица длины, равная 1/12 фута. В метрической системе один дюйм равен $2,54$ сантиметра.

$1 \text{ дюйм} = 2,54 \text{ см}$

Исторически дюйм определялся как ширина большого пальца взрослого мужчины у основания ногтя. Другое старинное определение — длина трех сухих ячменных зерен, выложенных в ряд. Название «дюйм» в русском языке заимствовано из голландского и, как и английское слово inch (происходящее от латинского uncia - "одна двенадцатая"), стало обозначать эту меру длины.

Ответ: 1 дюйм равен $2,54$ сантиметра. Первоначально означал ширину большого пальца мужчины.

1.35 Значение какой величины может равняться 138 см?

1) Расстояние между городами.

2) Ширина тетради.

3) Рост школьника.

4) Длина карандаша.

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо проанализировать каждый из предложенных вариантов и оценить, насколько реалистичным является значение 138 см для каждой из величин.

1) Расстояние между городами. Расстояния между городами измеряются в километрах, а не в сантиметрах. 138 см равно $1.38$ м, что является ничтожно малой величиной для расстояния между городами. Этот вариант не подходит.

2) Ширина тетради. Стандартная ширина обычной школьной тетради составляет примерно 17 см. 138 см — это слишком большое значение, не соответствующее реальным размерам тетради. Этот вариант не подходит.

3) Рост школьника. Рост человека, в частности школьника, измеряется в сантиметрах. Рост 138 см является типичным для ребенка в возрасте 9–10 лет. Этот вариант является наиболее правдоподобным.

4) Длина карандаша. Длина нового стандартного карандаша составляет около 18-20 см. Длина 138 см является нереалистичной для пишущего карандаша. Этот вариант не подходит.

Таким образом, единственной величиной из предложенных, которая может иметь значение 138 см, является рост школьника.

Ответ: 3

1.36 Используя соотношения между единицами длины, выразите:

а) в сантиметрах: 12 дм, 9 дм 6 см, 1 м 88 см, 130 мм;

б) в дециметрах: 8 м, 24 м, 1 м 6 дм, 70 см, 320 см;

в) в миллиметрах: 5 см, 19 см, 3 см 6 мм, 11 дм;

г) в метрах: 7000 мм, 100 см, 80 дм, 3 км, 6 км 350 м;

д) в километрах: 2000 м, 14 000 м.

а) в сантиметрах

Для перевода заданных величин в сантиметры, будем использовать следующие соотношения между единицами длины:

• $1 \text{ дециметр (дм)} = 10 \text{ сантиметрам (см)}$
• $1 \text{ метр (м)} = 100 \text{ сантиметрам (см)}$
• $1 \text{ сантиметр (см)} = 10 \text{ миллиметрам (мм)}$

Выполним преобразования:

• 12 дм:
  Чтобы перевести дециметры в сантиметры, умножаем количество дециметров на 10.
  $12 \text{ дм} = 12 \times 10 \text{ см} = 120 \text{ см}$

• 9 дм 6 см:
  Сначала переводим дециметры в сантиметры, а затем прибавляем оставшиеся сантиметры.
  $9 \text{ дм} = 9 \times 10 \text{ см} = 90 \text{ см}$
  $90 \text{ см} + 6 \text{ см} = 96 \text{ см}$

• 1 м 88 см:
  Сначала переводим метры в сантиметры, а затем прибавляем оставшиеся сантиметры.
  $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$
  $100 \text{ см} + 88 \text{ см} = 188 \text{ см}$

• 130 мм:
  Чтобы перевести миллиметры в сантиметры, делим количество миллиметров на 10.
  $130 \text{ мм} = 130 \div 10 \text{ см} = 13 \text{ см}$

Ответ: 120 см, 96 см, 188 см, 13 см.

б) в дециметрах

Для перевода заданных величин в дециметры, будем использовать следующие соотношения:

• $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$
• $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$

Выполним преобразования:

• 8 м:
  Чтобы перевести метры в дециметры, умножаем количество метров на 10.
  $8 \text{ м} = 8 \times 10 \text{ дм} = 80 \text{ дм}$

• 24 м:
  $24 \text{ м} = 24 \times 10 \text{ дм} = 240 \text{ дм}$

• 1 м 6 дм:
  Переводим метры в дециметры и прибавляем оставшиеся дециметры.
  $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$
  $10 \text{ дм} + 6 \text{ дм} = 16 \text{ дм}$

• 70 см:
  Чтобы перевести сантиметры в дециметры, делим количество сантиметров на 10.
  $70 \text{ см} = 70 \div 10 \text{ дм} = 7 \text{ дм}$

• 320 см:
  $320 \text{ см} = 320 \div 10 \text{ дм} = 32 \text{ дм}$

Ответ: 80 дм, 240 дм, 16 дм, 7 дм, 32 дм.

в) в миллиметрах

Для перевода заданных величин в миллиметры, будем использовать следующие соотношения:

• $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$
• $1 \text{ дм} = 10 \text{ см} = 100 \text{ мм}$

Выполним преобразования:

• 5 см:
  Чтобы перевести сантиметры в миллиметры, умножаем количество сантиметров на 10.
  $5 \text{ см} = 5 \times 10 \text{ мм} = 50 \text{ мм}$

• 19 см:
  $19 \text{ см} = 19 \times 10 \text{ мм} = 190 \text{ мм}$

• 3 см 6 мм:
  Переводим сантиметры в миллиметры и прибавляем оставшиеся миллиметры.
  $3 \text{ см} = 3 \times 10 \text{ мм} = 30 \text{ мм}$
  $30 \text{ мм} + 6 \text{ мм} = 36 \text{ мм}$

• 11 дм:
  Чтобы перевести дециметры в миллиметры, умножаем количество дециметров на 100.
  $11 \text{ дм} = 11 \times 100 \text{ мм} = 1100 \text{ мм}$

Ответ: 50 мм, 190 мм, 36 мм, 1100 мм.

г) в метрах

Для перевода заданных величин в метры, будем использовать следующие соотношения:

• $1 \text{ километр (км)} = 1000 \text{ м}$
• $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$
• $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$
• $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$

Выполним преобразования:

• 7000 мм:
  Чтобы перевести миллиметры в метры, делим количество миллиметров на 1000.
  $7000 \text{ мм} = 7000 \div 1000 \text{ м} = 7 \text{ м}$

• 100 см:
  Чтобы перевести сантиметры в метры, делим количество сантиметров на 100.
  $100 \text{ см} = 100 \div 100 \text{ м} = 1 \text{ м}$

• 80 дм:
  Чтобы перевести дециметры в метры, делим количество дециметров на 10.
  $80 \text{ дм} = 80 \div 10 \text{ м} = 8 \text{ м}$

• 3 км:
  Чтобы перевести километры в метры, умножаем количество километров на 1000.
  $3 \text{ км} = 3 \times 1000 \text{ м} = 3000 \text{ м}$

• 6 км 350 м:
  Переводим километры в метры и прибавляем оставшиеся метры.
  $6 \text{ км} = 6 \times 1000 \text{ м} = 6000 \text{ м}$
  $6000 \text{ м} + 350 \text{ м} = 6350 \text{ м}$

Ответ: 7 м, 1 м, 8 м, 3000 м, 6350 м.

д) в километрах

Для перевода заданных величин в километры, будем использовать соотношение:

• $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

Выполним преобразования:

• 2000 м:
  Чтобы перевести метры в километры, делим количество метров на 1000.
  $2000 \text{ м} = 2000 \div 1000 \text{ км} = 2 \text{ км}$

• 14 000 м:
  $14000 \text{ м} = 14000 \div 1000 \text{ км} = 14 \text{ км}$

Ответ: 2 км, 14 км.