Страница 22 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Чему вы научились

Обязательные умения

Умею проводить и обозначать прямые, лучи, строить и измерять отрезки.

1. Отметьте точки $A$ и $B$. Проведите прямую $AB$. Отложите на этой прямой отрезок $NM$, равный отрезку $AB$. Найдите длину отрезка $AN$. Назовите лучи с началом в точке $M$.

Для решения задачи сначала выполним построения, а затем ответим на поставленные вопросы.

1. Отмечаем на плоскости две произвольные точки A и B.

2. Через точки A и B проводим прямую. Эту прямую можно обозначить как прямая AB.

3. На прямой AB уже существует отрезок AB. Обозначим его длину как $L$, то есть $|AB| = L$.

4. По условию, на этой же прямой нужно отложить отрезок NM, длина которого равна длине отрезка AB. Таким образом, $|NM| = L$.

Далее, решим по пунктам.

Найдите длину отрезка AN

Условие "отложите на этой прямой отрезок NM" не определяет однозначно его положение. В задачах по геометрии это обычно означает, что новый отрезок строится с использованием уже существующих точек. Рассмотрим возможные варианты расположения отрезка NM и соответствующую длину отрезка AN.

Случай 1. Точка N совпадает с точкой A (N = A).

В этом случае длина отрезка AN, то есть отрезка AA, равна нулю. При этом точка M может либо совпадать с B, либо находиться по другую сторону от A.

$|AN| = 0$.

Случай 2. Точка N совпадает с точкой B (N = B).

В этом случае отрезок AN совпадает с отрезком AB. Его длина равна $L$.

$|AN| = |AB| = L$.

Случай 3. Точка M совпадает с точкой B (M = B).

В этом случае мы откладываем отрезок NB длиной $L$ от точки B. Возможны два подслучая:

а) Точка N откладывается в сторону точки A. Тогда N совпадает с A. Этот вариант рассмотрен в Случае 1, и $|AN| = 0$.

б) Точка N откладывается в сторону, противоположную A. Точки на прямой будут расположены в порядке A–B–N. Длина отрезка AN будет равна сумме длин отрезков AB и BN.

$|AN| = |AB| + |BN| = L + L = 2L = 2|AB|$.

Случай 4. Точка M совпадает с точкой A (M = A).

В этом случае мы откладываем отрезок NA длиной $L$ от точки A. Это означает, что расстояние от N до A равно $L$.

$|AN| = L = |AB|$. (При этом N может совпадать с B или находиться по другую сторону от A).

Объединив все рассмотренные случаи, мы видим, что длина отрезка AN может принимать три различных значения.

Ответ: Длина отрезка AN может быть равна $0$, $|AB|$ или $2|AB|$.

Назовите лучи с началом в точке М

Точка M лежит на прямой AB и делит ее на два луча, которые направлены в противоположные стороны. Чтобы назвать луч, нужно указать его начальную точку (M) и любую другую точку на этом луче. Название лучей зависит от расположения точки M относительно точек A и B.

Вариант 1. Точка M лежит между точками A и B.

В этом случае A и B находятся на разных лучах, выходящих из M. Лучи можно назвать луч MA и луч MB.

Вариант 2. Точка M совпадает с одной из точек, например, M = A.

В этом случае один из лучей начинается в A и проходит через B. Это луч AB. Второй луч также начинается в A, но направлен в противоположную сторону. Его называют луч, противоположный лучу AB.

Вариант 3. Точки A и B лежат по одну сторону от точки M (например, в порядке A–B–M).

В этом случае обе точки, A и B, лежат на одном луче, выходящем из M. Этот луч можно назвать луч MA или луч MB. Второй луч будет противоположным названному.

Таким образом, в общем виде лучи можно описать в зависимости от расположения точек.

Ответ: Из точки M выходят два противоположно направленных луча, лежащих на прямой AB. Если M находится между A и B, лучи называются MA и MB. Если M не находится между A и B, то один луч можно назвать, используя точку A или B (например, MA), а второй луч будет ему противоположным.

Умею находить длину ломаной.

2. Найдите длины ломаных, изображённых на рисунке.

а) б)

Длина ломаной линии — это сумма длин всех отрезков (звеньев), из которых она состоит. Чтобы найти длины ломаных, изображенных на рисунке, необходимо измерить длину каждого их звена с помощью линейки и сложить полученные значения.

а)
Розовая ломаная линия состоит из трех звеньев. Измерим их длины с помощью линейки:
Длина первого звена $l_1 = 5$ см.
Длина второго звена $l_2 = 3$ см.
Длина третьего звена $l_3 = 5$ см.
Общая длина ломаной $L_a$ равна сумме длин её звеньев:
$L_a = l_1 + l_2 + l_3 = 5 \text{ см} + 3 \text{ см} + 5 \text{ см} = 13 \text{ см}$.
Ответ: 13 см.

б)
Зеленая фигура представляет собой самопересекающуюся ломаную линию. Будем считать, что она состоит из трех звеньев: левого наклонного, нижнего горизонтального и правого наклонного. Измерим их длины линейкой:
Длина первого звена $l_1 = 6$ см.
Длина второго звена $l_2 = 4$ см.
Длина третьего звена $l_3 = 5$ см.
Общая длина ломаной $L_b$ равна сумме длин её звеньев:
$L_b = l_1 + l_2 + l_3 = 6 \text{ см} + 4 \text{ см} + 5 \text{ см} = 15 \text{ см}$.
Ответ: 15 см.

Примечание: так как в условии задачи не указаны конкретные размеры, измерения были произведены условно по изображению. В зависимости от масштаба, в котором изображение распечатано или отображается на экране, результаты ваших измерений могут отличаться. Однако метод решения (измерение всех звеньев и сложение их длин) останется верным.

Умею строить окружность заданного радиуса, окружность с заданным центром, проходящую через заданную точку. Знаю, как связаны радиус и диаметр окружности.

Для решения этой задачи необходимо знать связь между радиусом и диаметром окружности. Диаметр окружности ($d$) — это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через её центр. Радиус ($r$) — это отрезок, соединяющий центр с любой точкой на окружности. Диаметр всегда в два раза больше радиуса.

Это соотношение выражается математической формулой:

$d = 2 \cdot r$

По условию задачи, радиус окружности равен 4 см:

$r = 4$ см

Теперь мы можем подставить известное значение радиуса в формулу, чтобы вычислить диаметр:

$d = 2 \cdot 4 \text{ см}$

$d = 8 \text{ см}$

Следовательно, диаметр этой окружности равен 8 см.

Ответ: 8 см.

4. Отметьте точки $A$ и $B$. Проведите окружность с центром в точке $A$, проходящую через точку $B$. Проведите радиус окружности и найдите его длину.

Для выполнения этого задания следуйте инструкции по шагам.

Отметьте точки А и В.

На листе бумаги или в графическом редакторе поставьте две точки в произвольных местах. Обозначьте одну точку как А, а другую — как В.

Проведите окружность с центром в точке А, проходящую через точку В.

Для этого шага понадобится циркуль.
1. Установите острие (иглу) циркуля в точку А, которая будет центром окружности.
2. Раздвиньте ножки циркуля так, чтобы грифель (карандаш) коснулся точки В. Расстояние между ножками циркуля теперь равно расстоянию между точками А и В.
3. Не меняя раствора циркуля, проведите замкнутую линию. Все точки этой линии будут находиться на одинаковом расстоянии от центра А. Полученная фигура — это окружность с центром в А, проходящая через точку В.

Проведите радиус окружности и найдите его длину.

Радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на самой окружности.
По построению, точка А — центр, а точка В лежит на окружности. Следовательно, отрезок, соединяющий А и В, является радиусом этой окружности. С помощью линейки проведите прямую линию между точками А и В. Это и есть радиус.
Чтобы найти длину радиуса, измерьте длину отрезка АВ с помощью линейки. Приложите нулевую отметку линейки к точке А и определите, какому числу на шкале соответствует точка В. Это число и будет длиной радиуса.
Длина радиуса $r$ равна длине отрезка АВ, что можно записать как $r = |АВ|$. Поскольку начальное расположение точек было произвольным, результат измерения будет зависеть от вашего конкретного чертежа.

Ответ: Радиусом окружности является отрезок АВ. Его длина равна расстоянию между точками А и В и находится путем измерения этого расстояния с помощью линейки.

Знаю единицы длины метрической системы мер; умею выражать одни единицы измерения длины через другие.

5. Назовите предмет:

а) размеры которого меньше $1 \text{ см}$;

б) длина которого больше $1 \text{ м}$.

а) размеры которого меньше 1 см;

Чтобы найти предмет, размеры которого меньше $1 \text{ см}$, нужно представить эту величину. Один сантиметр равен десяти миллиметрам ($1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$). Это примерно ширина ногтя на мизинце взрослого человека. Существует множество предметов меньше этого размера. Например, это могут быть: рисовое зёрнышко, горошина, муравей, комар, канцелярская скоба, семечко подсолнуха или даже песчинка. Любой из этих примеров будет верным ответом, так как все их размеры (длина, ширина и высота) меньше одного сантиметра.

Ответ: рисовое зёрнышко.

б) длина которого больше 1 м.

Один метр ($1 \text{ м}$) – это базовая единица длины, равная $100$ сантиметрам. Эта длина сопоставима, например, с высотой кухонного стола или длиной большого шага взрослого человека. Нам нужно назвать предмет, который длиннее $1 \text{ м}$. Таких предметов в окружающем мире очень много. Например: легковой автомобиль (длина около $4$-$5 \text{ м}$), автобус, дерево, жираф, стандартная кровать (длина около $2 \text{ м}$), шкаф, река, улица. Все эти объекты имеют длину, значительно превышающую один метр.

Ответ: автомобиль.

6. Заполните пропуски:

$3 \text{ см } 2 \text{ мм } = \dots \text{ мм; } 325 \text{ см } = \dots \text{ м } \dots \text{ см;}$

$5 \text{ м } 20 \text{ см } = \dots \text{ см; } 672 \text{ мм } = \dots \text{ см } \dots \text{ мм.}$

3 см 2 мм = ... мм
Для решения этой задачи необходимо перевести сантиметры в миллиметры и сложить с уже имеющимися миллиметрами. В одном сантиметре содержится 10 миллиметров.
Формула перевода: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
1. Переводим 3 сантиметра в миллиметры:
$3 \text{ см} \times 10 = 30 \text{ мм}$
2. Добавляем оставшиеся 2 миллиметра:
$30 \text{ мм} + 2 \text{ мм} = 32 \text{ мм}$
Ответ: 32.

5 м 20 см = ... см
Здесь нужно перевести метры в сантиметры и сложить с имеющимися сантиметрами. В одном метре содержится 100 сантиметров.
Формула перевода: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
1. Переводим 5 метров в сантиметры:
$5 \text{ м} \times 100 = 500 \text{ см}$
2. Добавляем оставшиеся 20 сантиметров:
$500 \text{ см} + 20 \text{ см} = 520 \text{ см}$
Ответ: 520.

325 см = ... м ... см
Чтобы перевести сантиметры в метры и сантиметры, нужно разделить общее количество сантиметров на 100 (поскольку $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$). Целая часть от деления покажет количество метров, а остаток — количество сантиметров.
1. Делим 325 на 100:
$325 \div 100 = 3$ (целая часть) и $25$ (остаток).
Следовательно, 325 см равны 3 метрам и 25 сантиметрам.
Ответ: 3 м 25 см.

672 мм = ... см ... мм
Чтобы перевести миллиметры в сантиметры и миллиметры, нужно разделить общее количество миллиметров на 10 (поскольку $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$). Целая часть от деления покажет количество сантиметров, а остаток — количество миллиметров.
1. Делим 672 на 10:
$672 \div 10 = 67$ (целая часть) и $2$ (остаток).
Следовательно, 672 мм равны 67 сантиметрам и 2 миллиметрам.
Ответ: 67 см 2 мм.