Страница 26 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

2.1 1) Перерисуйте в тетрадь таблицу и заполните её:

Таблица:

V | X | L | C | D | M

5 | | | | |

2) Используя эту таблицу, выясните, какое число записано:

а) $XIV$;

б) $XVI$;

в) $XXIII$;

г) $XXXVI$;

д) $DC$;

е) $CM$;

ж) $CLIX$;

з) $DXIV$;

и) $CCCLXV$;

к) $MCCCXII$.

3) Запишите римскими цифрами год издания этого учебного пособия.

1)

Заполним таблицу, сопоставив римские цифры с соответствующими им арабскими числами. Основные римские цифры и их значения:

• V - 5
• X - 10
• L - 50
• C - 100
• D - 500
• M - 1000

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Ответ: V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000.

2)

Используя данные из таблицы и правила записи римских чисел, определим, какие числа записаны. Основное правило: если меньшая цифра стоит после большей, их значения складываются; если меньшая цифра стоит перед большей, её значение вычитается из большей.

а) XIV
Цифра I (1) стоит перед V (5), значит, из 5 вычитается 1, что дает 4. Затем это значение прибавляется к X (10).
$XIV = 10 + (5 - 1) = 10 + 4 = 14$
Ответ: 14

б) XVI
Цифры идут в порядке убывания их значений (X > V > I), поэтому они складываются.
$XVI = 10 + 5 + 1 = 16$
Ответ: 16

в) XXIII
Значения повторяющихся цифр и цифр, идущих в порядке убывания, складываются.
$XXIII = 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 23$
Ответ: 23

г) XXXVI
Все цифры расположены в порядке убывания их значений, поэтому они складываются.
$XXXVI = 10 + 10 + 10 + 5 + 1 = 36$
Ответ: 36

д) DC
Меньшая цифра C (100) стоит после большей D (500), поэтому их значения складываются.
$DC = 500 + 100 = 600$
Ответ: 600

е) CM
Меньшая цифра C (100) стоит перед большей M (1000), поэтому значение меньшей вычитается из большей.
$CM = 1000 - 100 = 900$
Ответ: 900

ж) CLIX
C (100) и L (50) складываются. Группа IX означает 9 ($10 - 1$).
$CLIX = 100 + 50 + (10 - 1) = 150 + 9 = 159$
Ответ: 159

з) DXIV
D (500) и X (10) складываются. Группа IV означает 4 ($5 - 1$).
$DXIV = 500 + 10 + (5 - 1) = 510 + 4 = 514$
Ответ: 514

и) CCCLXV
Все цифры идут в порядке убывания, поэтому их значения складываются.
$CCCLXV = 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 5 = 365$
Ответ: 365

к) MCCCXII
Все цифры идут в порядке убывания, поэтому их значения складываются.
$MCCCXII = 1000 + 100 + 100 + 100 + 10 + 1 + 1 = 1312$
Ответ: 1312

3)

В условии задачи не указан год издания учебного пособия. В качестве примера запишем римскими цифрами гипотетический год издания, например, 2023 год.
Чтобы записать число 2023, представим его в виде суммы разрядных слагаемых, которые можно выразить римскими цифрами: $2023 = 2000 + 20 + 3$.
- $2000$ записывается как $MM$.
- $20$ записывается как $XX$.
- $3$ записывается как $III$.
Соединив эти части, получаем: MMXXIII.
Ответ: Год издания в задаче не указан. В качестве примера, 2023 год записывается как MMXXIII.

2.2 Для каждого из данных чисел определите, сколько разрядов содержится в его записи и каков старший разряд; затем представьте число в виде суммы разрядных слагаемых:

а) 756;

б) 3418;

в) 2305;

г) 40387;

д) 947010;

е) 2518603.

а) 756

В записи числа 756 содержится 3 цифры, следовательно, оно имеет 3 разряда. Старшим разрядом является разряд сотен.

Представим число 756 в виде суммы разрядных слагаемых:

$756 = 7 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 6 = 700 + 50 + 6$

Ответ: 3 разряда; старший разряд – сотни; $756 = 700 + 50 + 6$.

б) 3418

В записи числа 3418 содержится 4 цифры, следовательно, оно имеет 4 разряда. Старшим разрядом является разряд тысяч.

Представим число 3418 в виде суммы разрядных слагаемых:

$3418 = 3 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 8 = 3000 + 400 + 10 + 8$

Ответ: 4 разряда; старший разряд – тысячи; $3418 = 3000 + 400 + 10 + 8$.

в) 2305

В записи числа 2305 содержится 4 цифры, следовательно, оно имеет 4 разряда. Старшим разрядом является разряд тысяч.

Представим число 2305 в виде суммы разрядных слагаемых (слагаемое с 0 в разряде десятков можно пропустить):

$2305 = 2 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 5 = 2000 + 300 + 5$

Ответ: 4 разряда; старший разряд – тысячи; $2305 = 2000 + 300 + 5$.

г) 40387

В записи числа 40387 содержится 5 цифр, следовательно, оно имеет 5 разрядов. Старшим разрядом является разряд десятков тысяч.

Представим число 40387 в виде суммы разрядных слагаемых:

$40387 = 4 \cdot 10000 + 0 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 7 = 40000 + 300 + 80 + 7$

Ответ: 5 разрядов; старший разряд – десятки тысяч; $40387 = 40000 + 300 + 80 + 7$.

д) 947010

В записи числа 947010 содержится 6 цифр, следовательно, оно имеет 6 разрядов. Старшим разрядом является разряд сотен тысяч.

Представим число 947010 в виде суммы разрядных слагаемых:

$947010 = 9 \cdot 100000 + 4 \cdot 10000 + 7 \cdot 1000 + 0 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 0 = 900000 + 40000 + 7000 + 10$

Ответ: 6 разрядов; старший разряд – сотни тысяч; $947010 = 900000 + 40000 + 7000 + 10$.

е) 2518603

В записи числа 2518603 содержится 7 цифр, следовательно, оно имеет 7 разрядов. Старшим разрядом является разряд миллионов.

Представим число 2518603 в виде суммы разрядных слагаемых:

$2518603 = 2 \cdot 1000000 + 5 \cdot 100000 + 1 \cdot 10000 + 8 \cdot 1000 + 6 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 3 = 2000000 + 500000 + 10000 + 8000 + 600 + 3$

Ответ: 7 разрядов; старший разряд – миллионы; $2518603 = 2000000 + 500000 + 10000 + 8000 + 600 + 3$.

2.3 Разбейте число на классы и прочитайте его:

a) 157398246;

б) 14084000;

в) 70000012;

г) 79312333415;

д) 114521800000;

е) 18800011603.

Чтобы разбить число на классы, необходимо сгруппировать его цифры по три, начиная справа. Каждая такая группа (класс) имеет свое название: класс единиц (первый справа), класс тысяч (второй), класс миллионов (третий), класс миллиардов (четвертый) и так далее.

а)

Разобьем число $157398246$ на классы, группируя цифры по три справа налево: $157\;398\;246$.

Получаем три класса: $157$ — класс миллионов, $398$ — класс тысяч и $246$ — класс единиц.

Прочитаем число: сто пятьдесят семь миллионов триста девяносто восемь тысяч двести сорок шесть.

Ответ: $157\;398\;246$; сто пятьдесят семь миллионов триста девяносто восемь тысяч двести сорок шесть.

б)

Разобьем число $14084000$ на классы: $14\;084\;000$.

Получаем три класса: $14$ — класс миллионов, $084$ — класс тысяч и $000$ — класс единиц.

Прочитаем число: четырнадцать миллионов восемьдесят четыре тысячи.

Ответ: $14\;084\;000$; четырнадцать миллионов восемьдесят четыре тысячи.

в)

Разобьем число $70000012$ на классы: $70\;000\;012$.

Получаем три класса: $70$ — класс миллионов, $000$ — класс тысяч и $012$ — класс единиц.

Прочитаем число: семьдесят миллионов двенадцать.

Ответ: $70\;000\;012$; семьдесят миллионов двенадцать.

г)

Разобьем число $79312333415$ на классы: $79\;123\;333\;415$.

Получаем четыре класса: $79$ — класс миллиардов, $123$ — класс миллионов, $333$ — класс тысяч и $415$ — класс единиц.

Прочитаем число: семьдесят девять миллиардов сто двадцать три миллиона триста тридцать три тысячи четыреста пятнадцать.

Ответ: $79\;123\;333\;415$; семьдесят девять миллиардов сто двадцать три миллиона триста тридцать три тысячи четыреста пятнадцать.

д)

Разобьем число $114521800000$ на классы: $114\;521\;800\;000$.

Получаем четыре класса: $114$ — класс миллиардов, $521$ — класс миллионов, $800$ — класс тысяч и $000$ — класс единиц.

Прочитаем число: сто четырнадцать миллиардов пятьсот двадцать один миллион восемьсот тысяч.

Ответ: $114\;521\;800\;000$; сто четырнадцать миллиардов пятьсот двадцать один миллион восемьсот тысяч.

е)

Разобьем число $18800011603$ на классы: $18\;800\;011\;603$.

Получаем четыре класса: $18$ — класс миллиардов, $800$ — класс миллионов, $011$ — класс тысяч и $603$ — класс единиц.

Прочитаем число: восемнадцать миллиардов восемьсот миллионов одиннадцать тысяч шестьсот три.

Ответ: $18\;800\;011\;603$; восемнадцать миллиардов восемьсот миллионов одиннадцать тысяч шестьсот три.

2.4 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Определите, правильно ли записано цифрами указанное число, и, если неправильно, объясните, в чём ошибка:

а) шесть тысяч двадцать семь 60027

б) тридцать девять тысяч одиннадцать 39011

в) четыреста сорок тысяч двенадцать 440012

г) пятьсот тысяч десять 50010

а) Неверно. Число "шесть тысяч двадцать семь" состоит из 6 тысяч ($6 \times 1000$) и 27 единиц. Правильная запись этого числа — 6027. Число 60027, указанное в задании, читается как "шестьдесят тысяч двадцать семь", так как цифра 6 находится в разряде десятков тысяч. Ошибка заключается в лишнем нуле после цифры 6.
Ответ: неверно, правильная запись — 6027.

б) Верно. Число "тридцать девять тысяч одиннадцать" состоит из 39 тысяч ($39 \times 1000$) и 11 единиц. При сложении получаем $39000 + 11 = 39011$. Запись верна.
Ответ: верно.

в) Верно. Число "четыреста сорок тысяч двенадцать" состоит из 440 тысяч ($440 \times 1000$) и 12 единиц. При сложении получаем $440000 + 12 = 440012$. Запись верна.
Ответ: верно.

г) Неверно. Число "пятьсот тысяч десять" состоит из 500 тысяч ($500 \times 1000$) и 10 единиц. Правильная запись этого числа — 500010. Число 50010, указанное в задании, читается как "пятьдесят тысяч десять", так как цифра 5 находится в разряде десятков тысяч. Ошибка заключается в том, что в записи пропущен один ноль.
Ответ: неверно, правильная запись — 500010.

2.5 В газетах и журналах вы могли видеть, что при записи больших чисел используют сокращения: тыс., млн, млрд. Например, число 2 047 000 записывают так: 2 млн 47 тыс.

1) Используя указанные сокращения, запишите число:
а) 100000;
б) 10000000;
в) 39526000;
г) 250032000000.

Подсказка. Разбейте число на классы.

2) Запишите цифрами число и прочитайте его:
а) 237 тыс.;
в) 407 млн;
д) 23004 тыс.;
б) 12 млн;
г) 1324 тыс.;
е) 60005 млн.

1) Используя указанные сокращения, запишите число:

а) 100000
Чтобы записать число с сокращениями, разобьем его на классы по три цифры справа налево: 100 000.
Первый класс справа (000) — это класс единиц.
Второй класс (100) — это класс тысяч.
Таким образом, число 100 000 можно записать как 100 тысяч.
Ответ: 100 тыс.

б) 10000000
Разобьем число на классы: 10 000 000.
Класс единиц: 000.
Класс тысяч: 000.
Класс миллионов: 10.
Таким образом, число 10 000 000 можно записать как 10 миллионов.
Ответ: 10 млн.

в) 39526000
Разобьем число на классы: 39 526 000.
Класс единиц: 000.
Класс тысяч: 526.
Класс миллионов: 39.
Таким образом, число 39 526 000 можно записать как 39 миллионов 526 тысяч.
Ответ: 39 млн 526 тыс.

г) 25003200000
Разобьем число на классы: 25 003 200 000.
Класс единиц: 000.
Класс тысяч: 200.
Класс миллионов: 003 (или 3).
Класс миллиардов: 25.
Таким образом, число 25 003 200 000 можно записать как 25 миллиардов 3 миллиона 200 тысяч.
Ответ: 25 млрд 3 млн 200 тыс.

2) Запишите цифрами число и прочитайте его:

а) 237 тыс.
Сокращение "тыс." означает "тысяч". Чтобы записать число цифрами, нужно умножить 237 на 1000.
$237 \cdot 1000 = 237000$.
Число читается: двести тридцать семь тысяч.
Ответ: 237 000 (двести тридцать семь тысяч).

б) 12 млн
Сокращение "млн" означает "миллионов". Чтобы записать число цифрами, нужно умножить 12 на 1 000 000.
$12 \cdot 1000000 = 12000000$.
Число читается: двенадцать миллионов.
Ответ: 12 000 000 (двенадцать миллионов).

в) 407 млн
Сокращение "млн" означает "миллионов". Чтобы записать число цифрами, нужно умножить 407 на 1 000 000.
$407 \cdot 1000000 = 407000000$.
Число читается: четыреста семь миллионов.
Ответ: 407 000 000 (четыреста семь миллионов).

г) 1324 тыс.
Сокращение "тыс." означает "тысяч". Чтобы записать число цифрами, нужно умножить 1324 на 1000.
$1324 \cdot 1000 = 1324000$.
Это число можно разбить на классы: 1 324 000. Оно читается: один миллион триста двадцать четыре тысячи.
Ответ: 1 324 000 (один миллион триста двадцать четыре тысячи).

д) 23004 тыс.
Сокращение "тыс." означает "тысяч". Чтобы записать число цифрами, нужно умножить 23004 на 1000.
$23004 \cdot 1000 = 23004000$.
Это число можно разбить на классы: 23 004 000. Оно читается: двадцать три миллиона четыре тысячи.
Ответ: 23 004 000 (двадцать три миллиона четыре тысячи).

е) 60005 млн.
Сокращение "млн" означает "миллионов". Чтобы записать число цифрами, нужно умножить 60005 на 1 000 000.
$60005 \cdot 1000000 = 60005000000$.
Это число можно разбить на классы: 60 005 000 000. Оно читается: шестьдесят миллиардов пять миллионов.
Ответ: 60 005 000 000 (шестьдесят миллиардов пять миллионов).