Номер 2.11, страница 27 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 2.1. Как записывают и читают натуральные числа. Глава 2. Натуральные числа - номер 2.11, страница 27.

2.11 НАБЛЮДАЕМ И ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТИ Познакомьтесь со старинной легендой об изобретении шахмат, которая напрямую связана с математикой.

Индийский правитель, желая отблагодарить мудреца — изобретателя шахмат, предложил ему самому выбрать себе награду. Мудрец попросил дать ему за первое поле доски одно пшеничное зерно, за второе — два, за третье — четыре и так далее: за каждое следующее — вдвое больше, чем за предыдущее.

Правитель был удивлён скромной просьбой мудреца. Однако вскоре придворные математики сообщили ему, что выполнить её невозможно. Оказалось, что это количество зёрен фантастически велико: оно записывается числом, содержащим 20 цифр. А общая масса зёрен составляет сотни миллиардов тонн.

Познакомьтесь с последовательностью чисел, «возникающей» согласно легенде на клетках шахматной доски. Для этого сначала изготовьте фрагмент шахматной доски: возьмите альбомный лист бумаги, расположите его горизонтально и начертите на нём первые три ряда клеток, сделав их как можно крупнее. Затем пронумеруйте клетки, двигаясь в каждом ряду слева направо, номер проставляйте в углу.

Впишите в каждую клетку, начиная с первой, число, обозначающее соответствующее количество зёрен, и ответьте на вопросы:

1) За какую по счёту клетку количество зёрен впервые превысит 1 тыс.; 100 тыс.; 1 млн? Превысит ли количество зёрен за 26-ю клетку 20 млн?

2) Сравните сумму зёрен за первые две клетки с количеством зёрен за 3-ю клетку; сумму зёрен за первые три клетки с количеством зёрен за 4-ю клетку. Можете ли вы без подсчётов сказать, что больше: количество зёрен за первые десять клеток или количество зёрен за 11-ю клетку — и на сколько?

3) Во сколько раз количество зёрен на 9-й клетке больше числа зёрен на 1-й клетке; на 10-й больше, чем на 2-й; на 11-й больше, чем на 3-й? Можете ли вы ответить на такой вопрос для любой пары «верхней» и «нижней» клеток, не выполняя вычислений?

1) Количество зёрен на n-й клетке шахматной доски описывается формулой $a_n = 2^{n-1}$, так как на первой клетке $2^{1-1}=1$ зерно, на второй $2^{2-1}=2$ зерна и так далее. Это геометрическая прогрессия.

Чтобы найти, на какой клетке количество зёрен впервые превысит 1 тысячу (1000), нужно решить неравенство $2^{n-1} > 1000$. Мы знаем, что $2^{10} = 1024$. Значит, нам нужно, чтобы показатель степени $n-1$ был равен 10. $n-1 = 10 \implies n = 11$. На 10-й клетке будет $2^9 = 512$ зёрен, а на 11-й – $2^{10} = 1024$ зерна. Следовательно, количество зёрен впервые превысит 1 тысячу на 11-й клетке.

Аналогично для 100 тысяч (100 000): ищем наименьшее $n$, для которого $2^{n-1} > 100000$. Подбирая степени двойки, находим: $2^{16} = 65536$, а $2^{17} = 131072$. Неравенство выполняется, когда $n-1 = 17$, то есть $n = 18$. Количество зёрен впервые превысит 100 тысяч на 18-й клетке.

Для 1 миллиона (1 000 000): ищем наименьшее $n$, для которого $2^{n-1} > 1000000$. $2^{19} = 524288$, а $2^{20} = 1048576$. Неравенство выполняется, когда $n-1 = 20$, то есть $n = 21$. Количество зёрен впервые превысит 1 миллион на 21-й клетке.

Проверим, превысит ли количество зёрен на 26-й клетке 20 миллионов (20 000 000). Количество зёрен на 26-й клетке равно $a_{26} = 2^{26-1} = 2^{25}$. Вычислим: $2^{25} = 2^5 \times 2^{20} = 32 \times 1048576 = 33554432$. Поскольку $33554432 > 20000000$, количество зёрен на 26-й клетке превысит 20 миллионов.
Ответ: Количество зёрен впервые превысит 1 тыс. на 11-й клетке; 100 тыс. – на 18-й клетке; 1 млн – на 21-й клетке. Да, количество зёрен на 26-й клетке превысит 20 млн.

2) Сравним сумму зёрен на первых двух клетках с количеством зёрен на 3-й клетке. Сумма на первых двух клетках: $S_2 = a_1 + a_2 = 1 + 2 = 3$. Количество на 3-й клетке: $a_3 = 2^{3-1} = 4$. Поскольку $3 < 4$, сумма зёрен на первых двух клетках меньше, чем на третьей.

Сравним сумму зёрен на первых трех клетках с количеством зёрен на 4-й клетке. Сумма на первых трех клетках: $S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 1 + 2 + 4 = 7$. Количество на 4-й клетке: $a_4 = 2^{4-1} = 8$. Поскольку $7 < 8$, сумма зёрен на первых трех клетках меньше, чем на четвертой.

Можно заметить закономерность: сумма зёрен на первых $n$ клетках ($S_n$) на единицу меньше, чем количество зёрен на следующей, $(n+1)$-й клетке ($a_{n+1}$). Это можно доказать с помощью формулы суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$. В нашем случае $a_1=1$ и $q=2$, поэтому $S_n = \frac{1(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1$. Количество зёрен на $(n+1)$-й клетке равно $a_{n+1} = 2^{(n+1)-1} = 2^n$. Таким образом, мы видим, что $S_n = a_{n+1} - 1$.

Используя эту закономерность для $n=10$, можно без подсчётов сказать, что сумма зёрен за первые десять клеток ($S_{10}$) на 1 меньше, чем количество зёрен на 11-й клетке ($a_{11}$). Следовательно, количество зёрен на 11-й клетке больше.
Ответ: Сумма зёрен за первые две клетки (3) меньше, чем количество зёрен за 3-ю клетку (4). Сумма зёрен за первые три клетки (7) меньше, чем количество зёрен за 4-ю клетку (8). Количество зёрен на 11-й клетке больше, чем сумма зёрен за первые десять клеток, на 1.

3) Чтобы определить, во сколько раз количество зёрен на одной клетке больше, чем на другой, нужно найти их отношение.

Отношение количества зёрен на 9-й клетке к 1-й: $\frac{a_9}{a_1} = \frac{2^{9-1}}{2^{1-1}} = \frac{2^8}{2^0} = 2^8 = 256$. В 256 раз больше.

Отношение количества зёрен на 10-й клетке ко 2-й: $\frac{a_{10}}{a_2} = \frac{2^{10-1}}{2^{2-1}} = \frac{2^9}{2^1} = 2^{9-1} = 2^8 = 256$. В 256 раз больше.

Отношение количества зёрен на 11-й клетке к 3-й: $\frac{a_{11}}{a_3} = \frac{2^{11-1}}{2^{3-1}} = \frac{2^{10}}{2^2} = 2^{10-2} = 2^8 = 256$. В 256 раз больше.

Да, можно ответить на такой вопрос для любой пары клеток, не выполняя вычислений. Отношение количества зёрен на «верхней» клетке $m$ к количеству на «нижней» клетке $n$ ($m > n$) всегда будет равно: $\frac{a_m}{a_n} = \frac{2^{m-1}}{2^{n-1}} = 2^{(m-1)-(n-1)} = 2^{m-n}$. Это означает, что отношение зависит только от разницы номеров клеток. Во всех приведенных примерах разница была $8$, поэтому и результат был одинаковый ($2^8$).
Ответ: Количество зёрен на 9-й клетке больше, чем на 1-й, в 256 раз. На 10-й больше, чем на 2-й, в 256 раз. На 11-й больше, чем на 3-й, в 256 раз. Да, можно. Отношение количества зёрен зависит только от разницы номеров клеток и равно $2^{m-n}$, где $m$ и $n$ — номера «верхней» и «нижней» клеток соответственно.