Страница 27 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

2.6 1) Сколько различных цифр использовано в записи числа 30 350 500 000?

2) Можно ли записать восьмизначное число, используя только одну цифру? Если можно, приведите пример.

3) Сколько чисел можно записать, используя только цифры 3 и 7? Приведите примеры таких чисел.

1) Чтобы найти количество различных цифр, использованных в записи числа 30 350 500 000, выпишем все уникальные цифры из этого числа. В его записи встречаются цифры 3, 0 и 5. Таким образом, использовано всего 3 различные цифры.
Ответ: 3.

2) Да, можно записать восьмизначное число, используя только одну цифру. Восьмизначное число — это число, состоящее из восьми цифр, при этом первая цифра не может быть нулём. Мы можем взять любую цифру от 1 до 9 и повторить её восемь раз. Например, число, состоящее из восьми двоек.
Пример: 2 222 222.
Ответ: да, можно, например, 2 222 222.

3) Используя только цифры 3 и 7, можно записать бесконечно много чисел. Это связано с тем, что в условии задачи нет ограничения на количество знаков (разрядов) в числе. Можно составлять числа любой длины: однозначные, двузначные, трёхзначные и так далее.
Примеры таких чисел: 3, 7, 33, 37, 73, 77, 333, 373, 737, 777, 3377 и т.д.
Поскольку мы можем составлять числа с любым количеством цифр, их общее количество бесконечно.
Ответ: бесконечно много.

2.7 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ Придумайте правило, по которому можно продолжить последовательность чисел, запишите четыре следующих числа и прочитайте их:

a) 3; 33; 333; ...;

б) 20; 202; 2020; ...;

в) 10; 1010; 101010; ... .

а)

В последовательности 3; 33; 333; ... прослеживается следующая закономерность.
Правило: Каждое следующее число получается путем дописывания цифры 3 в конец предыдущего числа. Таким образом, n-й член последовательности состоит из n цифр 3. Рекуррентно это можно записать как $a_n = a_{n-1} \cdot 10 + 3$, где $a_1 = 3$.

Четыре следующих числа последовательности и их чтение:
1. 3333 – три тысячи триста тридцать три.
2. 33333 – тридцать три тысячи триста тридцать три.
3. 333333 – триста тридцать три тысячи триста тридцать три.
4. 3333333 – три миллиона триста тридцать три тысячи триста тридцать три.

Ответ: 3333; 33333; 333333; 3333333.

б)

В последовательности 20; 202; 2020; ... можно выявить следующую закономерность.
Правило: Каждое следующее число получается путем поочередного дописывания в конец предыдущего числа цифры 2, а затем цифры 0. К первому числу (20) добавляем 2, получаем 202. Ко второму числу (202) добавляем 0, получаем 2020. Далее снова добавляем 2, и так далее.

Четыре следующих числа последовательности и их чтение:
1. 20202 (к 2020 добавили 2) – двадцать тысяч двести два.
2. 202020 (к 20202 добавили 0) – двести две тысячи двадцать.
3. 2020202 (к 202020 добавили 2) – два миллиона двадцать тысяч двести два.
4. 20202020 (к 2020202 добавили 0) – двадцать миллионов двадцать тысяч двести.

Ответ: 20202; 202020; 2020202; 20202020.

в)

В последовательности 10; 1010; 101010; ... наблюдается следующая закономерность.
Правило: Каждое следующее число получается путем дописывания группы цифр «10» в конец предыдущего числа. Таким образом, n-й член последовательности состоит из n повторений группы цифр «10». Рекуррентно это можно записать как $a_n = a_{n-1} \cdot 100 + 10$, где $a_1 = 10$.

Четыре следующих числа последовательности и их чтение:
1. 10101010 (группа «10» повторяется 4 раза) – десять миллионов сто одна тысяча десять.
2. 1010101010 (группа «10» повторяется 5 раз) – один миллиард десять миллионов сто одна тысяча десять.
3. 101010101010 (группа «10» повторяется 6 раз) – сто один миллиард десять миллионов сто одна тысяча десять.
4. 10101010101010 (группа «10» повторяется 7 раз) – десять триллионов сто один миллиард десять миллионов сто одна тысяча десять.

Ответ: 10101010; 1010101010; 101010101010; 10101010101010.

2.8 Запишите и прочитайте:

а) наименьшее четырёхзначное число;

б) наибольшее пятизначное число;

в) наименьшее трёхзначное число, в записи которого нет цифры 0;

г) наибольшее четырёхзначное число, в записи которого нет цифры 9.

а) наименьшее четырёхзначное число

Чтобы найти наименьшее четырёхзначное число, необходимо рассмотреть разряды числа, начиная со старшего (разряда тысяч). Первая цифра четырёхзначного числа не может быть нулём, иначе число не будет четырёхзначным. Поэтому в разряд тысяч нужно поставить наименьшую возможную цифру, отличную от нуля, — это 1. В остальные разряды (сотни, десятки и единицы) для получения наименьшего числа нужно поставить наименьшую возможную цифру, а это 0. Таким образом, мы получаем число 1000.
Это число читается как: одна тысяча.
Ответ: $1000$

б) наибольшее пятизначное число

Чтобы найти наибольшее пятизначное число, нужно в каждый из пяти разрядов поставить наибольшую возможную цифру. Самая большая цифра в десятичной системе счисления — это 9. Поставив цифру 9 в каждый разряд (десятки тысяч, тысячи, сотни, десятки и единицы), мы получим наибольшее возможное пятизначное число — 99999.
Это число читается как: девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять.
Ответ: $99999$

в) наименьшее трёхзначное число, в записи которого нет цифры 0

Нам нужно найти наименьшее число из трёх цифр, при этом мы не можем использовать цифру 0. Доступные цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Чтобы число было наименьшим, цифры в старших разрядах должны быть наименьшими из возможных. Наименьшая доступная цифра — это 1. Чтобы всё число было наименьшим, нужно поставить цифру 1 во все разряды: в разряд сотен, десятков и единиц. В результате получаем число 111.
Это число читается как: сто одиннадцать.
Ответ: $111$

г) наибольшее четырёхзначное число, в записи которого нет цифры 9

Нам нужно найти наибольшее число из четырёх цифр, при этом мы не можем использовать цифру 9. Доступные цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Чтобы число было наибольшим, цифры во всех разрядах должны быть наибольшими из возможных. Наибольшая доступная цифра в данном случае — это 8. Поставив цифру 8 во все четыре разряда (тысячи, сотни, десятки и единицы), мы получим искомое число — 8888.
Это число читается как: восемь тысяч восемьсот восемьдесят восемь.
Ответ: $8888$

2.9 РАССУЖДАЕМ

1) Сколько всего имеется двузначных чисел? Чтобы выяснить это, будем рассуждать так:

• наибольшее двузначное число — это 99;

• среди чисел от 1 до 99 имеется девять однозначных;

• количество двузначных чисел находим вычитанием: $99 - 9 = 90$.

2) Сколько всего трёхзначных чисел? Рассуждайте по следующему плану:

• определите наибольшее трёхзначное число;

• выясните, сколько всего однозначных и двузначных чисел;

• найдите вычитанием количество трёхзначных чисел.

3) Догадайтесь, сколько всего четырёхзначных чисел. Проверьте себя, проведя подсчёты.

1) Чтобы найти общее количество двузначных чисел, нужно взять все числа до наибольшего двузначного (включительно) и вычесть из них все однозначные числа. Наибольшее двузначное число — это 99. Однозначных чисел девять (от 1 до 9). Следовательно, количество двузначных чисел равно разности между 99 и 9.
$99 - 9 = 90$
Ответ: 90

2) Для нахождения количества трёхзначных чисел будем следовать предложенному плану:

• Наибольшее трёхзначное число — это 999.
• Выясним, сколько всего однозначных и двузначных чисел. Однозначных чисел 9, а двузначных — 90. Вместе их $9 + 90 = 99$. Также можно сказать, что это все натуральные числа до 99 включительно, то есть их 99.
• Чтобы найти количество трёхзначных чисел, нужно из общего количества чисел до 999 вычесть все числа, которые не являются трёхзначными (то есть однозначные и двузначные).
  $999 - 99 = 900$

Ответ: 900

3) Основываясь на результатах предыдущих пунктов, можно заметить закономерность: количество двузначных чисел — 90, трёхзначных — 900. Логично предположить, что количество четырёхзначных чисел будет 9000.
Проверим это предположение с помощью подсчётов, используя тот же метод. Наибольшее четырёхзначное число — это 9999. Количество всех чисел, имеющих менее четырёх разрядов (однозначные, двузначные и трёхзначные), равно 999.
Найдём количество четырёхзначных чисел вычитанием:
$9999 - 999 = 9000$
Наше предположение оказалось верным.
Ответ: 9000

2.10 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ

Рассмотрите последовательность фигур (рис. 2.1). Нарисуйте пятую фигуру. Догадайтесь, не делая рисунок, из скольких клеток состоит десятая фигура в этой последовательности.

Рис. 2.1

Для решения задачи проанализируем представленную последовательность фигур, чтобы выявить закономерность.

- Первая фигура (примем её номер $n=1$) представляет собой прямоугольник размером 1×2 клетки. Общее количество клеток: $1 \times 2 = 2$.
- Вторая фигура ($n=2$) — прямоугольник размером 2×3 клетки. Количество клеток: $2 \times 3 = 6$.
- Третья фигура ($n=3$) — прямоугольник размером 3×4 клетки. Количество клеток: $3 \times 4 = 12$.
- Четвертая фигура ($n=4$) — прямоугольник размером 4×5 клеток. Количество клеток: $4 \times 5 = 20$.

На основе этого анализа можно сделать вывод, что каждая фигура с порядковым номером $n$ является прямоугольником с высотой $n$ клеток и шириной $n+1$ клеток. Таким образом, общее количество клеток $K$ в фигуре с номером $n$ можно найти по формуле: $K_n = n \times (n+1)$.

Нарисуйте пятую фигуру.

Используя выведенную закономерность, пятая фигура в последовательности (при $n=5$) будет представлять собой прямоугольник высотой в 5 клеток и шириной в $5+1=6$ клеток. Общее количество клеток в этой фигуре составит: $K_5 = 5 \times (5+1) = 5 \times 6 = 30$ клеток.
Ответ: Пятая фигура — это прямоугольник размером 5 на 6 клеток, который состоит из 30 клеток.

Догадайтесь, не делая рисунок, из скольких клеток состоит десятая фигура в этой последовательности.

Для определения количества клеток в десятой фигуре ($n=10$) применим нашу формулу $K_n = n \times (n+1)$. Подставим в нее значение $n=10$:
$K_{10} = 10 \times (10+1) = 10 \times 11 = 110$.
Таким образом, десятая фигура будет состоять из 110 клеток.
Ответ: 110 клеток.

2.11 НАБЛЮДАЕМ И ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТИ Познакомьтесь со старинной легендой об изобретении шахмат, которая напрямую связана с математикой.

Индийский правитель, желая отблагодарить мудреца — изобретателя шахмат, предложил ему самому выбрать себе награду. Мудрец попросил дать ему за первое поле доски одно пшеничное зерно, за второе — два, за третье — четыре и так далее: за каждое следующее — вдвое больше, чем за предыдущее.

Правитель был удивлён скромной просьбой мудреца. Однако вскоре придворные математики сообщили ему, что выполнить её невозможно. Оказалось, что это количество зёрен фантастически велико: оно записывается числом, содержащим 20 цифр. А общая масса зёрен составляет сотни миллиардов тонн.

Познакомьтесь с последовательностью чисел, «возникающей» согласно легенде на клетках шахматной доски. Для этого сначала изготовьте фрагмент шахматной доски: возьмите альбомный лист бумаги, расположите его горизонтально и начертите на нём первые три ряда клеток, сделав их как можно крупнее. Затем пронумеруйте клетки, двигаясь в каждом ряду слева направо, номер проставляйте в углу.

Впишите в каждую клетку, начиная с первой, число, обозначающее соответствующее количество зёрен, и ответьте на вопросы:

1) За какую по счёту клетку количество зёрен впервые превысит 1 тыс.; 100 тыс.; 1 млн? Превысит ли количество зёрен за 26-ю клетку 20 млн?

2) Сравните сумму зёрен за первые две клетки с количеством зёрен за 3-ю клетку; сумму зёрен за первые три клетки с количеством зёрен за 4-ю клетку. Можете ли вы без подсчётов сказать, что больше: количество зёрен за первые десять клеток или количество зёрен за 11-ю клетку — и на сколько?

3) Во сколько раз количество зёрен на 9-й клетке больше числа зёрен на 1-й клетке; на 10-й больше, чем на 2-й; на 11-й больше, чем на 3-й? Можете ли вы ответить на такой вопрос для любой пары «верхней» и «нижней» клеток, не выполняя вычислений?

1) Количество зёрен на n-й клетке шахматной доски описывается формулой $a_n = 2^{n-1}$, так как на первой клетке $2^{1-1}=1$ зерно, на второй $2^{2-1}=2$ зерна и так далее. Это геометрическая прогрессия.

Чтобы найти, на какой клетке количество зёрен впервые превысит 1 тысячу (1000), нужно решить неравенство $2^{n-1} > 1000$. Мы знаем, что $2^{10} = 1024$. Значит, нам нужно, чтобы показатель степени $n-1$ был равен 10. $n-1 = 10 \implies n = 11$. На 10-й клетке будет $2^9 = 512$ зёрен, а на 11-й – $2^{10} = 1024$ зерна. Следовательно, количество зёрен впервые превысит 1 тысячу на 11-й клетке.

Аналогично для 100 тысяч (100 000): ищем наименьшее $n$, для которого $2^{n-1} > 100000$. Подбирая степени двойки, находим: $2^{16} = 65536$, а $2^{17} = 131072$. Неравенство выполняется, когда $n-1 = 17$, то есть $n = 18$. Количество зёрен впервые превысит 100 тысяч на 18-й клетке.

Для 1 миллиона (1 000 000): ищем наименьшее $n$, для которого $2^{n-1} > 1000000$. $2^{19} = 524288$, а $2^{20} = 1048576$. Неравенство выполняется, когда $n-1 = 20$, то есть $n = 21$. Количество зёрен впервые превысит 1 миллион на 21-й клетке.

Проверим, превысит ли количество зёрен на 26-й клетке 20 миллионов (20 000 000). Количество зёрен на 26-й клетке равно $a_{26} = 2^{26-1} = 2^{25}$. Вычислим: $2^{25} = 2^5 \times 2^{20} = 32 \times 1048576 = 33554432$. Поскольку $33554432 > 20000000$, количество зёрен на 26-й клетке превысит 20 миллионов.
Ответ: Количество зёрен впервые превысит 1 тыс. на 11-й клетке; 100 тыс. – на 18-й клетке; 1 млн – на 21-й клетке. Да, количество зёрен на 26-й клетке превысит 20 млн.

2) Сравним сумму зёрен на первых двух клетках с количеством зёрен на 3-й клетке. Сумма на первых двух клетках: $S_2 = a_1 + a_2 = 1 + 2 = 3$. Количество на 3-й клетке: $a_3 = 2^{3-1} = 4$. Поскольку $3 < 4$, сумма зёрен на первых двух клетках меньше, чем на третьей.

Сравним сумму зёрен на первых трех клетках с количеством зёрен на 4-й клетке. Сумма на первых трех клетках: $S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 1 + 2 + 4 = 7$. Количество на 4-й клетке: $a_4 = 2^{4-1} = 8$. Поскольку $7 < 8$, сумма зёрен на первых трех клетках меньше, чем на четвертой.

Можно заметить закономерность: сумма зёрен на первых $n$ клетках ($S_n$) на единицу меньше, чем количество зёрен на следующей, $(n+1)$-й клетке ($a_{n+1}$). Это можно доказать с помощью формулы суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$. В нашем случае $a_1=1$ и $q=2$, поэтому $S_n = \frac{1(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1$. Количество зёрен на $(n+1)$-й клетке равно $a_{n+1} = 2^{(n+1)-1} = 2^n$. Таким образом, мы видим, что $S_n = a_{n+1} - 1$.

Используя эту закономерность для $n=10$, можно без подсчётов сказать, что сумма зёрен за первые десять клеток ($S_{10}$) на 1 меньше, чем количество зёрен на 11-й клетке ($a_{11}$). Следовательно, количество зёрен на 11-й клетке больше.
Ответ: Сумма зёрен за первые две клетки (3) меньше, чем количество зёрен за 3-ю клетку (4). Сумма зёрен за первые три клетки (7) меньше, чем количество зёрен за 4-ю клетку (8). Количество зёрен на 11-й клетке больше, чем сумма зёрен за первые десять клеток, на 1.

3) Чтобы определить, во сколько раз количество зёрен на одной клетке больше, чем на другой, нужно найти их отношение.

Отношение количества зёрен на 9-й клетке к 1-й: $\frac{a_9}{a_1} = \frac{2^{9-1}}{2^{1-1}} = \frac{2^8}{2^0} = 2^8 = 256$. В 256 раз больше.

Отношение количества зёрен на 10-й клетке ко 2-й: $\frac{a_{10}}{a_2} = \frac{2^{10-1}}{2^{2-1}} = \frac{2^9}{2^1} = 2^{9-1} = 2^8 = 256$. В 256 раз больше.

Отношение количества зёрен на 11-й клетке к 3-й: $\frac{a_{11}}{a_3} = \frac{2^{11-1}}{2^{3-1}} = \frac{2^{10}}{2^2} = 2^{10-2} = 2^8 = 256$. В 256 раз больше.

Да, можно ответить на такой вопрос для любой пары клеток, не выполняя вычислений. Отношение количества зёрен на «верхней» клетке $m$ к количеству на «нижней» клетке $n$ ($m > n$) всегда будет равно: $\frac{a_m}{a_n} = \frac{2^{m-1}}{2^{n-1}} = 2^{(m-1)-(n-1)} = 2^{m-n}$. Это означает, что отношение зависит только от разницы номеров клеток. Во всех приведенных примерах разница была $8$, поэтому и результат был одинаковый ($2^8$).
Ответ: Количество зёрен на 9-й клетке больше, чем на 1-й, в 256 раз. На 10-й больше, чем на 2-й, в 256 раз. На 11-й больше, чем на 3-й, в 256 раз. Да, можно. Отношение количества зёрен зависит только от разницы номеров клеток и равно $2^{m-n}$, где $m$ и $n$ — номера «верхней» и «нижней» клеток соответственно.