Страница 30 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

В каком порядке в натуральном ряду появляются числа 1010, 1001, 1100, 1000?

Натуральный ряд чисел — это последовательность всех целых положительных чисел (1, 2, 3, 4, ...), расположенных в порядке их возрастания. Чтобы определить, в каком порядке в этом ряду появляются числа 1010, 1001, 1100, 1000, их необходимо сравнить между собой и расположить от наименьшего к наибольшему.

Проведем сравнение данных чисел:

1. Сначала найдем самое маленькое число. Все числа четырехзначные и начинаются с цифры 1 в разряде тысяч. Сравним следующий разряд — сотен. У чисел 1000, 1001, 1010 в разряде сотен стоит 0, а у числа 1100 — 1. Значит, 1100 — самое большое число.

2. Теперь сравним оставшиеся три числа: 1000, 1001, 1010. У них одинаковые разряды тысяч и сотен. Сравним разряд десятков. У чисел 1000 и 1001 в разряде десятков стоит 0, а у числа 1010 — 1. Следовательно, 1010 больше, чем 1000 и 1001.

3. Осталось сравнить 1000 и 1001. У них совпадают разряды тысяч, сотен и десятков. Сравниваем разряд единиц. У числа 1000 в этом разряде 0, а у 1001 — 1. Так как $0 < 1$, то $1000 < 1001$.

4. Расположив все числа в порядке возрастания, мы получим последовательность их появления в натуральном ряду.

Итоговый порядок: 1000, 1001, 1010, 1100.

Ответ: 1000, 1001, 1010, 1100.

В натуральном ряду число $a$ располагается дальше, чем $b$. Какое из этих чисел больше и какое меньше? Запишите ответ сначала с помощью знака $>$, а потом с помощью знака $<$.

Натуральный ряд чисел представляет собой последовательность чисел $1, 2, 3, 4, \ldots$, где каждое последующее число больше предыдущего. Если в этом ряду число $a$ располагается дальше, чем число $b$, это означает, что число $a$ находится правее на числовой прямой и, следовательно, оно больше, чем число $b$. Соответственно, число $b$ меньше, чем число $a$.

Запишем это сравнение в виде неравенств.

Сначала запишем ответ с помощью знака "$>$" (больше). Это неравенство показывает, что $a$ больше $b$:

$a > b$

Теперь запишем ответ с помощью знака "$<$" (меньше). Это неравенство показывает, что $b$ меньше $a$, что является равносильным утверждением:

$b < a$

Ответ: число $a$ больше, чем число $b$; число $b$ меньше, чем число $a$. Запись с помощью знака "$>$": $a > b$. Запись с помощью знака "$<$": $b < a$.

Число 37 находится между числами 30 и 40. Запишите это утверждение в виде двойного неравенства сначала с помощью знака $<$, а потом с помощью знака $>$.

Пример записи с использованием знака $<$: $30 < 37 < 40$

Пример записи с использованием знака $>$: $40 > 37 > 30$

Запись утверждения с помощью знака <
Утверждение "число 37 находится между числами 30 и 40" означает, что число 37 больше, чем 30, и одновременно меньше, чем 40. В виде неравенства "37 больше 30" записывается как $30 < 37$. Неравенство "37 меньше 40" записывается как $37 < 40$. Чтобы объединить эти два условия в одно двойное неравенство, мы располагаем числа в порядке возрастания: сначала наименьшее число (30), затем среднее (37), и потом наибольшее (40), соединяя их знаком "меньше".
Ответ: $30 < 37 < 40$

Запись утверждения с помощью знака >
Для записи этого же утверждения с помощью знака "больше" (>), мы рассуждаем наоборот. Число 37 больше 30, что записывается как $37 > 30$. Число 40 больше 37, что записывается как $40 > 37$. Объединяя эти условия, мы располагаем числа в порядке убывания: сначала наибольшее число (40), затем среднее (37), и в конце наименьшее (30), соединяя их знаком "больше".
Ответ: $40 > 37 > 30$

2.16 а) Какое натуральное число следует за числом $1099; 7909; 49899; 19999$?

б) Какое натуральное число предшествует числу $10100; 99000; 1000000$?

в) Какие числа расположены между числами $3587$ и $3592$?

а) Чтобы найти натуральное число, которое следует за данным, необходимо к этому числу прибавить единицу.

• Для числа 1099: $1099 + 1 = 1100$
• Для числа 7909: $7909 + 1 = 7910$
• Для числа 49 899: $49899 + 1 = 49900$
• Для числа 19 999: $19999 + 1 = 20000$

Ответ: за числом 1099 следует 1100; за числом 7909 следует 7910; за числом 49 899 следует 49 900; за числом 19 999 следует 20 000.

б) Чтобы найти натуральное число, которое предшествует данному, необходимо из этого числа вычесть единицу.

• Для числа 10 100: $10100 - 1 = 10099$
• Для числа 99 000: $99000 - 1 = 98999$
• Для числа 1 000 000: $1000000 - 1 = 999999$

Ответ: числу 10 100 предшествует 10 099; числу 99 000 предшествует 98 999; числу 1 000 000 предшествует 999 999.

в) Чтобы найти числа, расположенные между двумя данными числами, нужно перечислить все целые числа, которые больше первого числа (3587) и меньше второго (3592).

Начнем с числа, следующего за 3587, то есть $3587 + 1 = 3588$, и будем последовательно прибавлять по единице, пока не достигнем числа, предшествующего 3592, то есть $3592 - 1 = 3591$.

Таким образом, получаем ряд чисел: 3588, 3589, 3590, 3591.

Ответ: между числами 3587 и 3592 расположены числа 3588, 3589, 3590, 3591.

2.17 Сколько чётных и сколько нечётных чисел содержится среди первых пятидесяти натуральных чисел; среди первых ста натуральных чисел?

среди первых пятидесяти натуральных чисел

Первые пятьдесят натуральных чисел — это последовательность от $1$ до $50$. В этой последовательности чётные и нечётные числа чередуются: $1$ (нечётное), $2$ (чётное), $3$ (нечётное), $4$ (чётное) и так далее до $50$ (чётное).

Поскольку общее количество чисел, равное $50$, является чётным, то количество чётных и нечётных чисел в этой последовательности будет одинаковым. Чтобы найти их количество, нужно общее число разделить на $2$.

Количество чётных чисел: $50 \div 2 = 25$.

Количество нечётных чисел: $50 \div 2 = 25$.

Проверка: $25$ чётных $+ 25$ нечётных $= 50$ чисел всего.

Ответ: 25 чётных и 25 нечётных чисел.

среди первых ста натуральных чисел

Первые сто натуральных чисел — это последовательность от $1$ до $100$. В этой последовательности, как и в предыдущей, чётные и нечётные числа чередуются, начиная с нечётного числа $1$ и заканчивая чётным числом $100$.

Общее количество чисел равно $100$. Так как это чётное число, количество чётных и нечётных чисел будет равным. Для нахождения их количества разделим общее число на $2$.

Количество чётных чисел: $100 \div 2 = 50$.

Количество нечётных чисел: $100 \div 2 = 50$.

Проверка: $50$ чётных $+ 50$ нечётных $= 100$ чисел всего.

Ответ: 50 чётных и 50 нечётных чисел.

2.18 Назовите:

а) наименьшее чётное однозначное число;

б) наибольшее чётное однозначное число;

в) наименьшее нечётное двузначное число;

г) наибольшее чётное двузначное число;

д) наименьшее нечётное трёхзначное число.

а) наименьшее чётное однозначное число

Однозначными числами являются числа от 0 до 9. Чётными называют числа, которые делятся на 2 без остатка. К ним относятся числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6 или 8. Среди однозначных чисел чётными являются: 0, 2, 4, 6, 8. Наименьшим из этих чисел является 0.
Ответ: 0

б) наибольшее чётное однозначное число

Ряд чётных однозначных чисел: 0, 2, 4, 6, 8. Наибольшим из этих чисел является 8.
Ответ: 8

в) наименьшее нечётное двузначное число

Двузначные числа — это числа от 10 до 99. Нечётными называют числа, которые при делении на 2 дают остаток 1 (оканчиваются на 1, 3, 5, 7, 9). Наименьшее двузначное число — это 10. Оно чётное. Следующее за ним число — 11. Оно является двузначным и нечётным. Следовательно, это и есть искомое число.
Ответ: 11

г) наибольшее чётное двузначное число

Двузначные числа находятся в диапазоне от 10 до 99. Наибольшее двузначное число — 99. Оно нечётное. Предыдущее число — 98. Оно является двузначным и чётным, так как оканчивается на 8. Это наибольшее чётное двузначное число.
Ответ: 98

д) наименьшее нечётное трёхзначное число

Трёхзначные числа — это числа от 100 до 999. Наименьшее трёхзначное число — 100. Оно чётное. Следующее за ним число — 101. Оно является трёхзначным и нечётным, так как оканчивается на 1. Это и есть наименьшее нечётное трёхзначное число.
Ответ: 101

2.19 Произвольное натуральное число обычно обозначают буквой $n$.

а) Пусть $n$ — некоторое натуральное число, большее 1. Как вы думаете, что обозначает запись $n + 1$; $n - 1$?

б) Пусть буквой $n$ обозначено некоторое чётное число. Каким числом — чётным или нечётным — будет число $n + 1$; $n + 2$; $n + 5$?

а) В натуральном ряду чисел (1, 2, 3, ...) каждое следующее число на 1 больше предыдущего. Если $n$ — это некоторое натуральное число, большее 1, то запись $n + 1$ обозначает натуральное число, которое непосредственно следует за числом $n$ (его называют последующим). Запись $n - 1$ обозначает натуральное число, которое непосредственно предшествует числу $n$ (его называют предыдущим). Таким образом, числа $n-1$, $n$ и $n+1$ являются тремя последовательными натуральными числами.
Например, если взять $n=10$, то $n-1=9$, а $n+1=11$. Числа 9, 10 и 11 — последовательные.
Ответ: $n + 1$ — это число, следующее за $n$; $n - 1$ — это число, предшествующее $n$.

б) Чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Любое чётное число $n$ можно представить в виде формулы $n = 2k$, где $k$ — некоторое натуральное число. Определим чётность для каждого из данных выражений, используя это свойство.

1. Для числа $n + 1$:
Сумма чётного числа ($n$) и нечётного числа (1) всегда является нечётным числом. Алгебраически: $n + 1 = 2k + 1$. Выражения такого вида при делении на 2 дают в остатке 1, следовательно, число $n + 1$ является нечётным.

2. Для числа $n + 2$:
Сумма чётного числа ($n$) и чётного числа (2) всегда является чётным числом. Алгебраически: $n + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1)$. Так как это выражение имеет множитель 2, оно делится на 2 без остатка, следовательно, число $n + 2$ является чётным.

3. Для числа $n + 5$:
Сумма чётного числа ($n$) и нечётного числа (5) всегда является нечётным числом. Алгебраически: $n + 5 = 2k + 5 = 2k + 4 + 1 = 2(k + 2) + 1$. Это выражение при делении на 2 даёт в остатке 1, следовательно, число $n + 5$ является нечётным.

Ответ: число $n + 1$ — нечётное, число $n + 2$ — чётное, число $n + 5$ — нечётное.

Ищем закономерность (2.20–2.21)

2.20 Будем выписывать последовательные чётные числа:

$2, 4, 6, 8, 10, 12, \dots$

Какое число окажется на $20$-м месте? на $100$-м месте; на $175$-м месте?

Подсказка. Установить закономерность вам поможет такая схема:

Номер места $1 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad \dots \quad 10 \quad \dots$

Число $2 \quad 4 \quad 6 \quad 8 \quad \dots \quad 20 \quad \dots$

Чтобы решить эту задачу, нужно найти закономерность в последовательности последовательных чётных чисел: 2, 4, 6, 8, 10, ...

Давайте сопоставим номер места (позицию) числа в последовательности с самим числом:

На 1-м месте стоит число 2. Это можно записать как $1 \times 2$.

На 2-м месте стоит число 4. Это можно записать как $2 \times 2$.

На 3-м месте стоит число 6. Это можно записать как $3 \times 2$.

На 10-м месте стоит число 20. Это можно записать как $10 \times 2$.

Закономерность заключается в том, что число в последовательности равно номеру его места, умноженному на 2. Если обозначить номер места буквой $n$, то число на этом месте будет равно $n \times 2$.

Теперь, используя эту закономерность, ответим на вопросы задачи.

на 20-м месте

Чтобы найти число, которое окажется на 20-м месте, нужно номер места (20) умножить на 2.

$20 \times 2 = 40$

Ответ: 40.

на 100-м месте

Чтобы найти число, которое окажется на 100-м месте, нужно номер места (100) умножить на 2.

$100 \times 2 = 200$

Ответ: 200.

на 175-м месте

Чтобы найти число, которое окажется на 175-м месте, нужно номер места (175) умножить на 2.

$175 \times 2 = 350$

Ответ: 350.