Страница 35 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

2.41 Запишите координаты точек, отмеченных на координатной прямой (рис. 2.6).

M: $M(1.5)$

N: $N(2.5)$

P: $P(3.5)$

K: $K(4.5)$

L: $L(5.5)$

Рис. 2.6

Для того чтобы определить координаты точек, отмеченных на координатной прямой, необходимо сначала найти цену одного деления.

На прямой отмечены числа 0 и 1. Расстояние между ними составляет одну единицу. Этот единичный отрезок (от 0 до 1) разделен на 4 равных маленьких отрезка (деления). Следовательно, длина одного такого деления равна:

$1 \div 4 = \frac{1}{4} = 0.25$

Теперь мы можем найти координату каждой точки, посчитав, на каком по счету делении от начала отсчета (точки 0) она находится, и умножив это число на цену деления (0.25).

2.42 Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок одну клетку. Отметьте на ней точки:

a) $B(7)$, $C(10)$, $D(14)$, $E(19)$;

б) $L(6)$, $M(9)$, $N(12)$, $P(17).$

Для решения этой задачи необходимо начертить координатную прямую. Координатная прямая — это прямая линия, на которой выбрано начало отсчета (точка 0), указано положительное направление (обычно стрелкой вправо) и выбран единичный отрезок. По условию, единичный отрезок равен одной клетке.

а)

Требуется отметить на координатной прямой точки B(7), C(10), D(14), E(19). Координата точки указывает на ее положение относительно начала отсчета.
- Точка B(7) расположена на расстоянии 7 единичных отрезков (7 клеток) от начала отсчета в положительном направлении.
- Точка C(10) расположена на расстоянии 10 единичных отрезков (10 клеток) от начала отсчета.
- Точка D(14) расположена на расстоянии 14 единичных отрезков (14 клеток) от начала отсчета.
- Точка E(19) расположена на расстоянии 19 единичных отрезков (19 клеток) от начала отсчета.

Схематичное изображение координатной прямой с отмеченными точками:

----|----|----|----|----|----|----B----|----|----C----|----|----|----D----|----|----|----|----E----> 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Ответ: Точки B, C, D, E отмечены на координатной прямой в соответствии с их координатами 7, 10, 14, 19.

б)

Аналогичным образом отметим на координатной прямой точки L(6), M(9), N(12), P(17).
- Точка L(6) расположена на расстоянии 6 единичных отрезков (6 клеток) от начала отсчета.
- Точка M(9) расположена на расстоянии 9 единичных отрезков (9 клеток) от начала отсчета.
- Точка N(12) расположена на расстоянии 12 единичных отрезков (12 клеток) от начала отсчета.
- Точка P(17) расположена на расстоянии 17 единичных отрезков (17 клеток) от начала отсчета.

Схематичное изображение координатной прямой с отмеченными точками:

----|----|----|----|----|----L----|----|----M----|----|----N----|----|----|----|----P----|----|----> 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Ответ: Точки L, M, N, P отмечены на координатной прямой в соответствии с их координатами 6, 9, 12, 17.

2.43 а) Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок две клетки. Отметьте на ней числа 1, 3, 5, 7, 9.

б) Начертите координатную прямую. Отметьте на ней числа 2, 4, 8, 10.

а)

Чтобы начертить координатную прямую, нужно провести горизонтальную линию. На ней необходимо выбрать точку отсчета (начало координат), которую мы обозначим числом 0. Также нужно задать направление, обычно вправо, отметив его стрелкой, и выбрать единичный отрезок.

По условию задачи, единичный отрезок равен двум клеткам. Это означает, что расстояние от 0 до 1, от 1 до 2 и так далее будет равно двум клеткам тетради.

Чтобы отметить на прямой заданные числа (1, 3, 5, 7, 9), нужно отложить от начала координат (точки 0) вправо соответствующее количество единичных отрезков. Рассчитаем расстояние в клетках для каждого числа:

• Для числа 1: нужно отложить 1 единичный отрезок, что составляет $1 \times 2 = 2$ клетки.
• Для числа 3: нужно отложить 3 единичных отрезка, что составляет $3 \times 2 = 6$ клеток.
• Для числа 5: нужно отложить 5 единичных отрезков, что составляет $5 \times 2 = 10$ клеток.
• Для числа 7: нужно отложить 7 единичных отрезков, что составляет $7 \times 2 = 14$ клеток.
• Для числа 9: нужно отложить 9 единичных отрезков, что составляет $9 \times 2 = 18$ клеток.

Таким образом, мы наносим точки на прямую на вычисленном расстоянии от точки 0.

Ответ: На координатной прямой с началом в точке 0 и единичным отрезком в 2 клетки, числа 1, 3, 5, 7, 9 отмечаются на расстоянии 2, 6, 10, 14 и 18 клеток от начала отсчета соответственно.

б)

Аналогично первому пункту, начертим координатную прямую с началом отсчета в точке 0 и положительным направлением вправо.

В этом задании длина единичного отрезка не указана, поэтому мы можем выбрать ее самостоятельно для удобства. Поскольку все заданные числа (2, 4, 8, 10) четные, удобно будет принять за единичный отрезок одну клетку.

Теперь отметим заданные числа на прямой, откладывая от начала координат (точки 0) вправо расстояние, равное самому числу, умноженному на длину единичного отрезка (1 клетка):

• Для числа 2: расстояние от 0 составит $2 \times 1 = 2$ клетки.
• Для числа 4: расстояние от 0 составит $4 \times 1 = 4$ клетки.
• Для числа 8: расстояние от 0 составит $8 \times 1 = 8$ клеток.
• Для числа 10: расстояние от 0 составит $10 \times 1 = 10$ клеток.

Отмечаем соответствующие точки на координатной прямой.

Ответ: На координатной прямой с началом в точке 0 и выбранным единичным отрезком в 1 клетку, числа 2, 4, 8, 10 отмечаются на расстоянии 2, 4, 8 и 10 клеток от начала отсчета соответственно.

2.44 a) Начертите прямую и отметьте на ней точку О. Отступите от точки О вправо на четыре клетки, поставьте засечку и подпишите под ней число 2. Отметьте на этой координатной прямой числа 1, 4, 8.

б) Начертите прямую и отметьте на ней точку О. Отступив от точки О вправо на три клетки, поставьте засечку и подпишите под ней число 6. Отметьте на этой координатной прямой числа 12, 2, 8.

а)

Начертим прямую и отметим на ней точку O, соответствующую началу координат (числу 0). Согласно условию, точка с координатой 2 находится на расстоянии 4 клеток вправо от точки O. Из этого мы определяем масштаб: единичный отрезок, соответствующий числу 1, равен $4 \text{ клетки} \div 2 = 2 \text{ клетки}$. Зная это, находим положения остальных точек. Чтобы отметить число 1, отступаем от O вправо на $1 \times 2 = 2$ клетки. Для числа 4 отступаем вправо на $4 \times 2 = 8$ клеток. Для числа 8 отступаем вправо на $8 \times 2 = 16$ клеток.

Ответ: На координатной прямой с началом в точке О, где единичный отрезок равен 2 клеткам, число 1 будет находиться на расстоянии 2 клетки от О, число 4 — на расстоянии 8 клеток от О, а число 8 — на расстоянии 16 клеток от О.

б)

Начертим новую прямую и снова отметим точку O (начало координат, 0). По условию, точка с координатой 6 находится на расстоянии 3 клеток вправо от O. Из этого определим масштаб. Удобно найти, какому расстоянию соответствует число 2. Поскольку $6 \div 3 = 2$, то и расстояние в клетках нужно разделить на 3: $3 \text{ клетки} \div 3 = 1 \text{ клетка}$. Таким образом, число 2 соответствует 1 клетке. Используя этот масштаб, находим положения остальных точек. Для числа 12 ($12 = 6 \times 2$) отступаем от O вправо на $6 \times 1 = 6$ клеток. Для числа 2 отступаем вправо на 1 клетку. Для числа 8 ($8 = 4 \times 2$) отступаем вправо на $4 \times 1 = 4$ клетки.

Ответ: На координатной прямой с началом в точке О, где отрезку в 3 клетки соответствует число 6, число 2 будет находиться на расстоянии 1 клетки от О, число 8 — на расстоянии 4 клеток от О, а число 12 — на расстоянии 6 клеток от О.

РАССУЖДАЕМ (2.45–2.47)

2.45 Перечертите рисунок 2.7 в тетрадь и подпишите числа у каждой засечки.

a) 10 100

б) 100 700

Рис. 2.7

а)

Чтобы определить числа, соответствующие каждой засечке на координатной прямой, сначала найдем цену одного деления. На прямой отмечены точки со значениями 10 и 100.

1. Посчитаем количество делений (интервалов) между этими точками. Между отметками 10 и 100 находится 9 делений.

2. Найдем разность значений в этих точках: $100 - 10 = 90$.

3. Разделим разность значений на количество делений, чтобы найти цену одного деления: $90 \div 9 = 10$.

4. Теперь, зная, что каждое деление равно 10, мы можем определить значения для всех засечек. Двигаясь вправо от 10, мы прибавляем 10 к каждой следующей засечке (20, 30, 40,...). Двигаясь влево от 10, мы вычитаем 10 (0, -10).

В результате получаем следующий ряд чисел для всех засечек слева направо: -10, 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120.

Ответ: -10, 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120.

б)

Аналогично найдем цену деления для второй координатной прямой. На ней отмечены точки со значениями 100 и 700.

1. Посчитаем количество делений между этими точками. От 100 до 700 находится 12 делений.

2. Найдем разность значений в этих точках: $700 - 100 = 600$.

3. Найдем цену одного деления: $600 \div 12 = 50$.

4. Зная, что каждое деление равно 50, определим значения для всех засечек. Засечка слева от 100 будет иметь значение $100 - 50 = 50$. Двигаясь вправо от 100, мы прибавляем 50 к каждой следующей засечке (150, 200, 250, ...).

В результате получаем следующий ряд чисел для всех засечек слева направо: 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500, 550, 600, 650, 700, 750.

Ответ: 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500, 550, 600, 650, 700, 750.

2.46 Каким числам соответствуют точки A, B, C и D на рисунке 2.8?

Рис. 2.8

Для того чтобы определить, каким числам соответствуют точки на координатной прямой, необходимо сначала найти цену одного деления (единичного отрезка).

На прямой отмечены числа 0 и 5. Расстояние между этими отметками равно одному делению. Следовательно, цена одного деления составляет $5 - 0 = 5$.

Проверим это, используя другие отметки. Между 0 и 20 находятся 4 деления, и действительно $20 : 4 = 5$. Между 0 и 50 находятся 10 делений, и $50 : 10 = 5$. Таким образом, цена одного деления равна 5.

Теперь найдем координаты каждой точки, зная цену деления.

A

Точка A расположена на 3 деления правее начала координат (точки 0). Чтобы найти ее координату, умножим количество делений на цену одного деления: $3 \cdot 5 = 15$. Также можно отсчитать от точки 20: точка A находится на одно деление левее, то есть $20 - 5 = 15$.

Ответ: 15

B

Точка B расположена на 6 делений правее начала координат (точки 0). Ее координата равна: $6 \cdot 5 = 30$. Также можно отсчитать от точки 20: точка B находится на два деления правее, то есть $20 + 2 \cdot 5 = 20 + 10 = 30$.

Ответ: 30

C

Точка C расположена на одно деление левее отметки 50. Ее координата равна: $50 - 5 = 45$. Также можно отсчитать от начала координат: точка C находится на 9 делений правее, то есть $9 \cdot 5 = 45$.

Ответ: 45

D

Точка D расположена на одно деление правее отметки 50. Ее координата равна: $50 + 5 = 55$. Также можно отсчитать от начала координат: точка D находится на 11 делений правее, то есть $11 \cdot 5 = 55$.

Ответ: 55