Страница 41 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

2.64 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Представьте, что вы – комментатор на телевидении в региональном центре. Готовясь к эфиру, вы просматриваете имеющиеся блоки информации и округляете некоторые числовые данные, для того чтобы они легче воспринимались на слух. Как бы вы озвучили в эфире следующую информацию (употребляйте такие слова, как «примерно», «около», «более»)?

а) В праздничном марафоне «Спорт без возраста» приняли участие 596 человек.

б) В район, пострадавший во время стихийного бедствия, поступило 42 т гуманитарного груза.

в) Фермер, по его подсчётам, собрал в своём саду 328 кг яблок.

г) Автолюбитель совершил за сутки пробег длиной 1015 км.

При выполнении заданий 2.65–2.67 пользуйтесь правилом округления.

а) Исходное число — 596 человек. Для упрощения восприятия на слух, это число целесообразно округлить до ближайшего круглого числа — 600. Правило округления до сотен: смотрим на цифру в разряде десятков. Так как $9 \geq 5$, округляем в большую сторону: $596 \approx 600$. Слово «около» или «примерно» хорошо передаёт небольшое отклонение от точного значения.

Ответ: В праздничном марафоне «Спорт без возраста» приняли участие около 600 человек.

б) Исходное число — 42 тонны. Это число немного больше 40. Удобно округлить его до десятков. По правилам округления, так как цифра в разряде единиц равна 2 ($2 < 5$), мы округляем в меньшую сторону: $42 \approx 40$. Чтобы подчеркнуть, что реальное значение больше, но при этом использовать круглое число, идеально подходит слово «более».

Ответ: В район, пострадавший во время стихийного бедствия, поступило более 40 тонн гуманитарного груза.

в) Исходное число — 328 кг. Это число можно округлить до сотен. При округлении до сотен смотрим на разряд десятков. Так как $2 < 5$, округляем в меньшую сторону: $328 \approx 300$. Поскольку исходное значение больше, чем 300, использование слова «более» будет корректным и информативным. Фраза «более 300 килограммов» звучит весомо и легко запоминается.

Ответ: Фермер, по его подсчётам, собрал в своём саду более 300 килограммов яблок.

г) Исходное число — 1015 км. Это значение ненамного превышает 1000 км. Для удобства восприятия округлим его до тысяч. По правилам округления, так как цифра в разряде сотен равна 0 ($0 < 5$), округление происходит в меньшую сторону: $1015 \approx 1000$. Чтобы отразить, что значение на самом деле больше, используем слово «более». Это также подчеркивает значимость достижения (преодоление отметки в 1000 км).

Ответ: Автолюбитель совершил за сутки пробег длиной более 1000 километров.

2.65 Округлите:

a) до десятков числа: 281, 69, 347, 23;

б) до тысяч числа: 3267, 8750, 26 342, 21 623;

в) до миллионов числа: 5 487 900, 31 672 350.

а) Чтобы округлить число до десятков, нужно посмотреть на цифру в разряде единиц. Если эта цифра от 5 до 9, то разряд десятков увеличивается на единицу, а разряд единиц обнуляется. Если цифра в разряде единиц от 0 до 4, то разряд десятков остается без изменений, а разряд единиц обнуляется.
- В числе 281 в разряде единиц стоит цифра 1. Так как $1 < 5$, округляем в меньшую сторону: $281 \approx 280$.
- В числе 69 в разряде единиц стоит цифра 9. Так как $9 \ge 5$, округляем в большую сторону: $69 \approx 70$.
- В числе 347 в разряде единиц стоит цифра 7. Так как $7 \ge 5$, округляем в большую сторону: $347 \approx 350$.
- В числе 23 в разряде единиц стоит цифра 3. Так как $3 < 5$, округляем в меньшую сторону: $23 \approx 20$.
Ответ: 280; 70; 350; 20.

б) Чтобы округлить число до тысяч, нужно посмотреть на цифру в разряде сотен. Если эта цифра от 5 до 9, то разряд тысяч увеличивается на единицу, а все последующие разряды (сотни, десятки, единицы) обнуляются. Если цифра в разряде сотен от 0 до 4, то разряд тысяч остается без изменений, а все последующие разряды обнуляются.
- В числе 3267 в разряде сотен стоит цифра 2. Так как $2 < 5$, округляем в меньшую сторону: $3267 \approx 3000$.
- В числе 8750 в разряде сотен стоит цифра 7. Так как $7 \ge 5$, округляем в большую сторону: $8750 \approx 9000$.
- В числе 26 342 в разряде сотен стоит цифра 3. Так как $3 < 5$, округляем в меньшую сторону: $26 \ 342 \approx 26 \ 000$.
- В числе 21 623 в разряде сотен стоит цифра 6. Так как $6 \ge 5$, округляем в большую сторону: $21 \ 623 \approx 22 \ 000$.
Ответ: 3000; 9000; 26 000; 22 000.

в) Чтобы округлить число до миллионов, нужно посмотреть на цифру в разряде сотен тысяч. Если эта цифра от 5 до 9, то разряд миллионов увеличивается на единицу, а все последующие разряды обнуляются. Если цифра в разряде сотен тысяч от 0 до 4, то разряд миллионов остается без изменений, а все последующие разряды обнуляются.
- В числе 5 487 900 в разряде сотен тысяч стоит цифра 4. Так как $4 < 5$, округляем в меньшую сторону: $5 \ 487 \ 900 \approx 5 \ 000 \ 000$.
- В числе 31 672 350 в разряде сотен тысяч стоит цифра 6. Так как $6 \ge 5$, округляем в большую сторону: $31 \ 672 \ 350 \approx 32 \ 000 \ 000$.
Ответ: 5 000 000; 32 000 000.

2.66 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Округляя до миллионов число $26\,547\,049$, три ученика дали такие ответы:

Маша: $26\,547\,049 \approx 26\,000\,000$.

Лиля: $26\,547\,049 \approx 2\,700\,000$.

Костя: $26\,547\,049 \approx 26\,500\,000$.

Объясните, какую ошибку допустил каждый из них, и дайте правильный ответ.

Для того чтобы округлить число до миллионов, необходимо посмотреть на цифру, стоящую в разряде сотен тысяч (справа от разряда миллионов). В числе $26\ 547\ 049$ это цифра $5$.

Согласно правилу округления, если эта цифра $5$ или больше ($5, 6, 7, 8, 9$), то цифру в разряде миллионов нужно увеличить на единицу. Если она меньше $5$ ($0, 1, 2, 3, 4$), то цифра в разряде миллионов не изменяется. Во всех случаях цифры в разрядах, стоящих правее миллионов, заменяются нулями.

В нашем случае цифра $5$, поэтому мы должны увеличить разряд миллионов ($6$) на $1$ и получить $7$. Правильный ответ: $27\ 000\ 000$.

Разберем ошибки учеников:

Маша: $26\ 547\ 049 \approx 26\ 000\ 000$.

Маша произвела округление с недостатком (в меньшую сторону), не применив правило. Она проигнорировала тот факт, что цифра $5$ в разряде сотен тысяч требует увеличения разряда миллионов на единицу.
Ответ: Ошибка в применении правила округления.

Лиля: $26\ 547\ 049 \approx 2\ 700\ 000$.

Лиля, вероятно, правильно определила, что разряд миллионов нужно увеличить до $7$, но при записи итогового числа потеряла разряд десятков миллионов (цифру $2$). В результате ее ответ оказался значительно меньше верного.
Ответ: Ошибка в записи числа, потерян старший разряд.

Костя: $26\ 547\ 049 \approx 26\ 500\ 000$.

Костя выполнил округление до другого разряда. Вместо того чтобы округлить до миллионов, он округлил число до сотен тысяч.
Ответ: Округление произведено до неверного разряда.

Таким образом, правильное решение выглядит так:

В числе $26\ 547\ 049$ цифра в разряде миллионов — $6$. Следующая за ней цифра в разряде сотен тысяч — $5$. Так как $5 \ge 5$, то разряд миллионов увеличиваем на $1$: $6+1=7$. Все последующие разряды заменяем нулями.
Ответ: $26\ 547\ 049 \approx 27\ 000\ 000$.

2.67 Выполните округление указанного числа и запишите результат с использованием сокращённого наименования:

a) 514 908 – до тысяч;

б) 1 892 665 – до миллионов.

а) Требуется округлить число 514 908 до тысяч и записать результат с использованием сокращенного наименования.

1. Находим разряд, до которого нужно округлить. Это разряд тысяч. В числе 514 908 в этом разряде стоит цифра 4.

2. Смотрим на цифру, стоящую справа от разряда тысяч. Это цифра в разряде сотен — 9.

3. Правило округления гласит: если следующая за округляемым разрядом цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9, то цифру в округляемом разряде увеличивают на единицу, а все последующие цифры заменяют нулями. Если же она равна 0, 1, 2, 3 или 4, то цифру в округляемом разряде оставляют без изменений, а последующие также заменяют нулями.

4. Так как цифра 9 больше 5 ($9 > 5$), мы увеличиваем цифру в разряде тысяч (4) на 1, получая 5. Все цифры справа от разряда тысяч заменяем нулями.

Получаем: $514\;908 \approx 515\;000$.

5. Теперь запишем результат с использованием сокращенного наименования. 515 000 — это 515 тысяч. Сокращенное наименование для "тысяч" — "тыс.".

Ответ: 515 тыс.

б) Требуется округлить число 1 892 665 до миллионов и записать результат с использованием сокращенного наименования.

1. Находим разряд, до которого нужно округлить. Это разряд миллионов. В числе 1 892 665 в этом разряде стоит цифра 1.

2. Смотрим на цифру, стоящую справа от разряда миллионов. Это цифра в разряде сотен тысяч — 8.

3. Применяем правило округления. Так как цифра 8 больше 5 ($8 > 5$), мы увеличиваем цифру в разряде миллионов (1) на 1, получая 2. Все цифры справа от разряда миллионов заменяем нулями.

Получаем: $1\;892\;665 \approx 2\;000\;000$.

4. Теперь запишем результат с использованием сокращенного наименования. 2 000 000 — это 2 миллиона. Сокращенное наименование для "миллионов" — "млн".

Ответ: 2 млн.

2.68 Округлите данное число до десятков, до сотен, до тысяч и т. д., вплоть до старшего разряда:

а) 62 538;

б) 908 125;

в) 5 069 874.

а) Для числа 62 538:
Чтобы округлить число, нужно посмотреть на цифру, стоящую справа от разряда, до которого округляем. Если эта цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то цифру в округляемом разряде оставляем без изменений, а все последующие заменяем нулями. Если справа стоит 5, 6, 7, 8 или 9, то цифру в округляемом разряде увеличиваем на 1, а все последующие заменяем нулями.

• Округление до десятков: смотрим на разряд единиц (8). Так как $8 \ge 5$, увеличиваем разряд десятков (3) на 1. Получаем: $62 540$.
• Округление до сотен: смотрим на разряд десятков (3). Так как $3 < 5$, оставляем разряд сотен (5) без изменений. Получаем: $62 500$.
• Округление до тысяч: смотрим на разряд сотен (5). Так как $5 \ge 5$, увеличиваем разряд тысяч (2) на 1. Получаем: $63 000$.
• Округление до десятков тысяч (старший разряд): смотрим на разряд тысяч (2). Так как $2 < 5$, оставляем разряд десятков тысяч (6) без изменений. Получаем: $60 000$.

Ответ: 62 540 (до десятков); 62 500 (до сотен); 63 000 (до тысяч); 60 000 (до десятков тысяч).

б) Для числа 908 125:

• Округление до десятков: смотрим на разряд единиц (5). Так как $5 \ge 5$, увеличиваем разряд десятков (2) на 1. Получаем: $908 130$.
• Округление до сотен: смотрим на разряд десятков (2). Так как $2 < 5$, оставляем разряд сотен (1) без изменений. Получаем: $908 100$.
• Округление до тысяч: смотрим на разряд сотен (1). Так как $1 < 5$, оставляем разряд тысяч (8) без изменений. Получаем: $908 000$.
• Округление до десятков тысяч: смотрим на разряд тысяч (8). Так как $8 \ge 5$, увеличиваем разряд десятков тысяч (0) на 1. Получаем: $910 000$.
• Округление до сотен тысяч (старший разряд): смотрим на разряд десятков тысяч (0). Так как $0 < 5$, оставляем разряд сотен тысяч (9) без изменений. Получаем: $900 000$.

Ответ: 908 130 (до десятков); 908 100 (до сотен); 908 000 (до тысяч); 910 000 (до десятков тысяч); 900 000 (до сотен тысяч).

в) Для числа 5 069 874:

• Округление до десятков: смотрим на разряд единиц (4). Так как $4 < 5$, оставляем разряд десятков (7) без изменений. Получаем: $5 069 870$.
• Округление до сотен: смотрим на разряд десятков (7). Так как $7 \ge 5$, увеличиваем разряд сотен (8) на 1. Получаем: $5 069 900$.
• Округление до тысяч: смотрим на разряд сотен (8). Так как $8 \ge 5$, увеличиваем разряд тысяч (9) на 1. Так как $9+1=10$, то в разряде тысяч пишем 0, а в разряд десятков тысяч переносим 1 ($6+1=7$). Получаем: $5 070 000$.
• Округление до десятков тысяч: смотрим на разряд тысяч (9). Так как $9 \ge 5$, увеличиваем разряд десятков тысяч (6) на 1. Получаем: $5 070 000$.
• Округление до сотен тысяч: смотрим на разряд десятков тысяч (6). Так как $6 \ge 5$, увеличиваем разряд сотен тысяч (0) на 1. Получаем: $5 100 000$.
• Округление до миллионов (старший разряд): смотрим на разряд сотен тысяч (0). Так как $0 < 5$, оставляем разряд миллионов (5) без изменений. Получаем: $5 000 000$.

Ответ: 5 069 870 (до десятков); 5 069 900 (до сотен); 5 070 000 (до тысяч); 5 070 000 (до десятков тысяч); 5 100 000 (до сотен тысяч); 5 000 000 (до миллионов).

2.69 Рассмотрите приближенные равенства и в каждом случае скажите, до какого разряда округлили число 486 573:

1) $486 573 \approx 486 600;$

2) $486 573 \approx 487 000;$

3) $486 573 \approx 500 000.$

1) В приближенном равенстве $486 573 \approx 486 600$ мы видим, что цифры в разрядах единиц и десятков заменены нулями. Изменение произошло в разряде сотен (цифра 5 стала 6), а цифры в старших разрядах (тысяч, десятков тысяч, сотен тысяч) остались без изменений. Это указывает на то, что число округляли до разряда сотен.
Проверим: при округлении до сотен мы смотрим на цифру в разряде десятков. В числе 486 573 это цифра 7. Так как $7 \ge 5$, мы увеличиваем цифру в разряде сотен на единицу ($5+1=6$) и заменяем все последующие цифры нулями. Получаем 486 600. Равенство верное.
Ответ: до сотен.

2) В приближенном равенстве $486 573 \approx 487 000$ нулями заменены цифры в разрядах единиц, десятков и сотен. Изменение произошло в разряде тысяч (цифра 6 стала 7). Это указывает на то, что число округляли до разряда тысяч.
Проверим: при округлении до тысяч мы смотрим на цифру в разряде сотен. В числе 486 573 это цифра 5. Так как $5 \ge 5$, мы увеличиваем цифру в разряде тысяч на единицу ($6+1=7$) и заменяем все последующие цифры нулями. Получаем 487 000. Равенство верное.
Ответ: до тысяч.

3) В приближенном равенстве $486 573 \approx 500 000$ нулями заменены все цифры, кроме первой. Изменение произошло в разряде сотен тысяч (цифра 4 стала 5). Это указывает на то, что число округляли до разряда сотен тысяч.
Проверим: при округлении до сотен тысяч мы смотрим на цифру в разряде десятков тысяч. В числе 486 573 это цифра 8. Так как $8 \ge 5$, мы увеличиваем цифру в разряде сотен тысяч на единицу ($4+1=5$) и заменяем все последующие цифры нулями. Получаем 500 000. Равенство верное.
Ответ: до сотен тысяч.

2.70 В школе 20 классов, в каждом из которых от 30 до 40 учеников. Оцените число учащихся школы. Какое из двух полученных чисел точнее указывает примерное число учащихся в школе, если в школе 758 учеников; 626 учеников?

Оценка числа учащихся школы

В школе 20 классов, и в каждом из них от 30 до 40 учеников. Чтобы оценить общее число учащихся, найдем его минимальное и максимальное возможные значения.

1. Минимальное число учащихся будет, если в каждом из 20 классов будет по 30 учеников:
$20 \times 30 = 600$ учеников.

2. Максимальное число учащихся будет, если в каждом из 20 классов будет по 40 учеников:
$20 \times 40 = 800$ учеников.

Таким образом, число учащихся в школе находится в пределах от 600 до 800 человек. Два полученных оценочных числа — это 600 (нижняя граница) и 800 (верхняя граница).
Ответ: число учащихся школы оценивается в пределах от 600 до 800.

Сравнение точности для 758 учеников

Чтобы определить, какая из оценок (600 или 800) точнее для реального числа 758, нужно найти, к какой из них это число ближе. Для этого вычислим абсолютную разность (погрешность) между фактическим числом и каждой из оценок.

Разница с нижней оценкой: $|758 - 600| = 158$.
Разница с верхней оценкой: $|758 - 800| = 42$.

Поскольку $42 < 158$, число 758 находится ближе к 800. Следовательно, 800 является более точной оценкой.
Ответ: 800.

Сравнение точности для 626 учеников

Проведем аналогичные вычисления для реального числа учеников 626.

Разница с нижней оценкой: $|626 - 600| = 26$.
Разница с верхней оценкой: $|626 - 800| = 174$.

Поскольку $26 < 174$, число 626 находится ближе к 600. Следовательно, 600 является более точной оценкой.
Ответ: 600.

2.71 РАССУЖДАЕМ

Миша задумал число и, округлив его до десятков, записал: 280. Какое число мог задумать Миша?

Подсказка. Подумайте, какая цифра могла стоять в разряде десятков.

Для решения этой задачи нужно вспомнить правила округления чисел до десятков. При округлении до десятков смотрят на цифру в разряде единиц (справа от десятков).

• Если эта цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то разряд десятков оставляют без изменений, а в разряде единиц ставят 0. Это называется округлением в меньшую сторону.
• Если эта цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то разряд десятков увеличивают на единицу, а в разряде единиц ставят 0. Это называется округлением в большую сторону.

В нашем случае результатом округления стало число 280. Рассмотрим два варианта, как это могло получиться.

1. Округление в меньшую сторону
Это возможно, если у задуманного числа в разряде десятков была цифра 8, а в разряде единиц — цифра от 0 до 4. Тогда Миша мог задумать следующие числа: 280, 281, 282, 283, 284. Например, при округлении числа 284, мы смотрим на цифру 4 в разряде единиц и округляем до 280.

2. Округление в большую сторону
Это возможно, если задуманное число было меньше 280, но при округлении стало равным 280. Для этого разряд десятков должен был увеличиться на 1 и стать равным 8. Значит, до округления в разряде десятков была цифра 7. А чтобы произошло округление в большую сторону, в разряде единиц должна была быть цифра от 5 до 9. Таким образом, Миша мог задумать числа: 275, 276, 277, 278, 279. Например, при округлении числа 275, мы смотрим на цифру 5 в разряде единиц и округляем до 280 ($270 + 10 = 280$).

Объединив оба случая, мы получаем полный диапазон возможных чисел. Миша мог задумать любое целое число $x$, удовлетворяющее неравенству $275 \le x \le 284$.
Ответ: Миша мог задумать любое целое число от 275 до 284 включительно.