Страница 47 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

2.93 МОДЕЛИРУЕМ

На поле пять игроков. Начал комбинацию игрок № 1, продолжили игроки с другими номерами, а забил гол игрок № 5. Каждый хоккеист ударил по шайбе только один раз. На рисунке 2.18 с помощью стрелок изображён один из возможных вариантов комбинации. Изобразите в тетради все другие возможные варианты передачи шайбы между игроками в данной комбинации.

Согласно условию задачи, в голевой комбинации участвуют пять игроков. Начинает комбинацию игрок № 1, а забивает гол игрок № 5. Каждый хоккеист ударяет по шайбе только один раз, это значит, что все пять игроков задействованы в комбинации. Шайба должна пройти от игрока № 1 к игроку № 5 через остальных трех игроков: № 2, № 3 и № 4.

Задача состоит в том, чтобы найти все возможные последовательности (перестановки) для средних трех игроков (№ 2, № 3, № 4).

Количество всех возможных перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле факториала:

$P_n = n!$

В данном случае у нас 3 игрока, поэтому $n=3$. Общее число возможных комбинаций равно:

$P_3 = 3! = 1 \times 2 \times 3 = 6$

Таким образом, существует всего 6 возможных вариантов передачи шайбы от игрока № 1 к игроку № 5.

На рисунке 2.18 уже показан один из этих вариантов:

1 → 2 → 3 → 4 → 5

Необходимо найти все остальные $6 - 1 = 5$ вариантов. Перечислим их:

1. Начинаем с передачи 1 → 2. После игрока № 2 шайба может пойти к игроку № 4, а затем к № 3:
   1 → 2 → 4 → 3 → 5
2. Начинаем с передачи 1 → 3. После игрока № 3 шайба может пойти к игроку № 2, а затем к № 4:
   1 → 3 → 2 → 4 → 5
3. Начинаем с передачи 1 → 3. После игрока № 3 шайба может пойти к игроку № 4, а затем к № 2:
   1 → 3 → 4 → 2 → 5
4. Начинаем с передачи 1 → 4. После игрока № 4 шайба может пойти к игроку № 2, а затем к № 3:
   1 → 4 → 2 → 3 → 5
5. Начинаем с передачи 1 → 4. После игрока № 4 шайба может пойти к игроку № 3, а затем к № 2:
   1 → 4 → 3 → 2 → 5

Ответ: Другие возможные варианты передачи шайбы между игроками, кроме показанного на рисунке:
1 → 2 → 4 → 3 → 5
1 → 3 → 2 → 4 → 5
1 → 3 → 4 → 2 → 5
1 → 4 → 2 → 3 → 5
1 → 4 → 3 → 2 → 5

2.94 В школьной лотерее должно быть всего десять различных выигрышей. Есть ручки, блокноты, записные книжки, альбомы для рисования. Можно ли из этих предметов составить десять различных выигрышей, по два разных предмета в каждом?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно посчитать, сколько всего различных выигрышей можно составить из имеющихся предметов. В наличии есть 4 вида предметов: ручки, блокноты, записные книжки, альбомы для рисования. Каждый выигрыш должен состоять из двух разных предметов.

Эта задача относится к комбинаторике, а именно к нахождению числа сочетаний. Нам нужно найти, сколькими способами можно выбрать 2 предмета из 4 без учёта порядка их следования. Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит следующим образом:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае, общее количество видов предметов $n = 4$, а количество предметов в одном выигрыше $k = 2$.

Подставим эти значения в формулу:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Таким образом, из четырёх видов предметов можно составить всего 6 различных выигрышей, каждый из которых состоит из двух предметов. Давайте перечислим их все для наглядности:

• ручка + блокнот
• ручка + записная книжка
• ручка + альбом
• блокнот + записная книжка
• блокнот + альбом
• записная книжка + альбом

По условию, в лотерее должно быть десять различных выигрышей. Поскольку из имеющихся предметов можно составить только 6 различных выигрышей, а $6 < 10$, то составить 10 различных выигрышей невозможно.

Ответ: нет, нельзя.

2.95 Назовите все цифры, которые можно подставить вместо звёздочки, чтобы получилось верное неравенство:

a) $7\text{*}38 > 7238$;

б) $96\text{*}4 < 9614$;

в) $1596 > 159\text{*}$.

а) В неравенстве $7*38 > 7238$ сравниваются два четырехзначных числа. Чтобы найти все возможные цифры для подстановки вместо звёздочки, будем сравнивать числа поразрядно, слева направо (от старших разрядов к младшим).
1. Разряд тысяч: цифры одинаковы (7 и 7).
2. Разряд сотен: в первом числе стоит звёздочка ($*$), а во втором – цифра 2. Чтобы первое число было больше второго, цифра в разряде сотен первого числа должна быть больше цифры в разряде сотен второго числа. То есть, должно выполняться условие $* > 2$.
Если $* = 2$, неравенство примет вид $7238 > 7238$, что неверно. Если $* < 2$, неравенство также будет неверным.
Следовательно, вместо звёздочки можно подставить любую цифру, которая больше 2. Это цифры 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Ответ: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

б) В неравенстве $96*4 < 9614$ сравниваются два четырехзначных числа. Сравниваем их поразрядно слева направо.
1. Разряд тысяч: цифры одинаковы (9 и 9).
2. Разряд сотен: цифры одинаковы (6 и 6).
3. Разряд десятков: в первом числе стоит звёздочка ($*$), а во втором – цифра 1. Чтобы первое число было меньше второго, цифра в разряде десятков первого числа должна быть меньше цифры в разряде десятков второго числа. То есть, должно выполняться условие $* < 1$.
Если $* = 1$, неравенство примет вид $9614 < 9614$, что неверно. Если $* > 1$, неравенство также будет неверным.
Следовательно, вместо звёздочки можно подставить только цифру, которая меньше 1. Это цифра 0.
Ответ: 0.

в) В неравенстве $1596 > 159*$ сравниваются два четырехзначных числа. Сравниваем их поразрядно слева направо.
1. Разряд тысяч: цифры одинаковы (1 и 1).
2. Разряд сотен: цифры одинаковы (5 и 5).
3. Разряд десятков: цифры одинаковы (9 и 9).
4. Разряд единиц: в первом числе стоит цифра 6, а во втором – звёздочка ($*$). Чтобы первое число было больше второго, цифра в разряде единиц первого числа должна быть больше цифры в разряде единиц второго числа. То есть, должно выполняться условие $6 > *$.
Следовательно, вместо звёздочки можно подставить любую цифру, которая меньше 6. Это цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

2.96 Сравните:

а) 3 км 650 м и 3560 м;

б) 172 см и 17 дм 2 см;

в) 2 см 3 мм и 30 мм;

г) 35 км и 25 000 000 см.

а) Чтобы сравнить 3 км 650 м и 3560 м, приведем обе величины к одной единице измерения, например, к метрам.
В одном километре 1000 метров, поэтому:
$3 \text{ км } 650 \text{ м} = 3 \times 1000 \text{ м} + 650 \text{ м} = 3000 \text{ м} + 650 \text{ м} = 3650 \text{ м}$.
Теперь сравним полученные значения:
$3650 \text{ м} > 3560 \text{ м}$.
Следовательно, $3 \text{ км } 650 \text{ м} > 3560 \text{ м}$.
Ответ: $3 \text{ км } 650 \text{ м} > 3560 \text{ м}$.

б) Чтобы сравнить 172 см и 17 дм 2 см, приведем обе величины к сантиметрам.
В одном дециметре 10 сантиметров, поэтому:
$17 \text{ дм } 2 \text{ см} = 17 \times 10 \text{ см} + 2 \text{ см} = 170 \text{ см} + 2 \text{ см} = 172 \text{ см}$.
Теперь сравним полученные значения:
$172 \text{ см} = 172 \text{ см}$.
Следовательно, $172 \text{ см} = 17 \text{ дм } 2 \text{ см}$.
Ответ: $172 \text{ см} = 17 \text{ дм } 2 \text{ см}$.

в) Чтобы сравнить 2 см 3 мм и 30 мм, приведем обе величины к миллиметрам.
В одном сантиметре 10 миллиметров, поэтому:
$2 \text{ см } 3 \text{ мм} = 2 \times 10 \text{ мм} + 3 \text{ мм} = 20 \text{ мм} + 3 \text{ мм} = 23 \text{ мм}$.
Теперь сравним полученные значения:
$23 \text{ мм} < 30 \text{ мм}$.
Следовательно, $2 \text{ см } 3 \text{ мм} < 30 \text{ мм}$.
Ответ: $2 \text{ см } 3 \text{ мм} < 30 \text{ мм}$.

г) Чтобы сравнить 35 км и 25 000 000 см, приведем обе величины к одной единице измерения, например, к метрам.
В одном километре 1000 метров, а в одном метре 100 сантиметров.
Переведем 35 км в метры:
$35 \text{ км} = 35 \times 1000 \text{ м} = 35000 \text{ м}$.
Переведем 25 000 000 см в метры:
$25\,000\,000 \text{ см} = 25\,000\,000 \div 100 \text{ м} = 250\,000 \text{ м}$.
Теперь сравним полученные значения:
$35\,000 \text{ м} < 250\,000 \text{ м}$.
Следовательно, $35 \text{ км} < 25\,000\,000 \text{ см}$.
Ответ: $35 \text{ км} < 25\,000\,000 \text{ см}$.

2.97 Выполните действия:

а) $524 + 2588$;

б) $3000 - 1023$;

в) $369 \cdot 205$;

г) $680 \cdot 700$;

д) $6675 \div 5$;

е) $10800 \div 40$.

а) Выполним сложение чисел в столбик:
$ \begin{array}{r} + \\ \end{array} \begin{array}{r} \phantom{0}524 \\ 2588 \\ \hline 3112 \end{array} $
Таким образом, $524 + 2588 = 3112$.
Ответ: 3112

б) Выполним вычитание чисел в столбик:
$ \begin{array}{r} - \\ \end{array} \begin{array}{r} 3000 \\ 1023 \\ \hline 1977 \end{array} $
Таким образом, $3000 - 1023 = 1977$.
Ответ: 1977

в) Для умножения $369$ на $205$ можно использовать распределительное свойство умножения:
$369 \cdot 205 = 369 \cdot (200 + 5) = 369 \cdot 200 + 369 \cdot 5$
$369 \cdot 200 = 73800$
$369 \cdot 5 = 1845$
$73800 + 1845 = 75645$
Таким образом, $369 \cdot 205 = 75645$.
Ответ: 75645

г) Для умножения чисел с нулями на конце, можно перемножить числа без нулей, а затем приписать к результату общее количество нулей.
$680 \cdot 700 = (68 \cdot 7) \cdot 1000$
$68 \cdot 7 = 476$
Приписываем три нуля: 476000.
Таким образом, $680 \cdot 700 = 476000$.
Ответ: 476000

д) Выполним деление в столбик:
$ \begin{array}{r|l} 6675 & 5 \\ \cline{2-2} -5 \phantom{000} & 1335 \\ \hline 16 \phantom{00} \\ -15 \phantom{00} \\ \hline \phantom{0}17 \phantom{0} \\ -15 \phantom{0} \\ \hline \phantom{00}25 \\ -25 \\ \hline \phantom{000}0 \end{array} $
Таким образом, $6675 : 5 = 1335$.
Ответ: 1335

е) При делении чисел, оканчивающихся нулями, можно сократить одинаковое количество нулей в делимом и делителе.
$10800 : 40 = 1080 : 4$
Теперь выполним деление в столбик:
$ \begin{array}{r|l} 1080 & 4 \\ \cline{2-2} -8 \phantom{00} & 270 \\ \hline \phantom{0}28 \phantom{0} \\ -28 \phantom{0} \\ \hline \phantom{00}0 \end{array} $
Таким образом, $10800 : 40 = 270$.
Ответ: 270

2.98 Начертите две окружности, каждую радиусом 3 см, так, чтобы они пересекались. Обозначьте точки их пересечения буквами $A$ и $B$. Начертите окружность, диаметром которой служит отрезок $AB$.

Для решения данной задачи необходимо выполнить последовательность геометрических построений с помощью циркуля и линейки.

1. Построение первой окружности.
Начертим первую окружность. Для этого выберем на плоскости произвольную точку $O_1$, которая будет центром окружности. С помощью циркуля, установив его раствор на 3 см, проведем окружность с центром в точке $O_1$.

2. Построение второй окружности.
Чтобы вторая окружность пересекалась с первой, расстояние $d$ между их центрами должно быть меньше суммы их радиусов и больше модуля их разности. Поскольку радиусы обеих окружностей равны 3 см ($r_1 = r_2 = 3$ см), условие пересечения выглядит так: $|3-3| < d < 3+3$, то есть $0 < d < 6$ см. Выберем любое расстояние в этом диапазоне, например, $d = 4$ см. Отложим от точки $O_1$ отрезок длиной 4 см и поставим точку $O_2$ — это будет центр второй окружности. Не меняя раствора циркуля (3 см), начертим вторую окружность с центром в точке $O_2$.

3. Обозначение точек пересечения.
Построенные окружности пересекутся в двух точках. Обозначим верхнюю точку пересечения буквой $A$, а нижнюю — буквой $B$.

4. Построение третьей окружности.
Третья окружность должна иметь отрезок $AB$ в качестве диаметра. Центром такой окружности будет середина отрезка $AB$. Найдем эту точку (обозначим ее $M$) и установим в нее ножку циркуля. Радиус этой окружности будет равен половине длины отрезка $AB$, то есть $AM$ или $BM$. Установим грифель циркуля в точку $A$ (или $B$) и начертим третью окружность.

Результат выполнения всех построений показан на чертеже ниже.

Ответ: Построение выполнено в соответствии с шагами, описанными выше. Итоговый чертеж, содержащий две пересекающиеся окружности радиусом 3 см и третью окружность с диаметром $AB$, представлен на рисунке.